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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第18章
课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系，探索并证明矩形的性质定理；2.探索并证明矩形的判定定理，能运用矩形的判定方法解决简单的几何证明和实际问题；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何证明与计算问题；4.理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理，能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题；5.探索并证明菱形的判定定理，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题；6.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题；7.在探索矩形、菱形、正方形性质和判定的过程中，体会从一般到特殊的数学思想，经历观察、猜想、证明的完整探究过程，发展逻辑推理能力和几何直观；8.能运用矩形、菱形、正方形的性质与判定解决综合性的几何问题，体会几何图形性质与判定之间的内在联系。
内容分析 矩形、菱形与正方形这一章是在学生已经掌握了平行四边形的基础上展开的，可以看作是特殊平行四边形的集中学习。本章从矩形开始，通过改变平行四边形的内角引出“有一个角是直角”的特殊情况，再通过改变边的关系引出菱形，最后把两者结合起来得到正方形。整个编排思路很清晰，让学生体会“一般到特殊”的研究方法。每种图形都按照“性质—判定—应用”的路径来学，性质靠观察猜想证明，判定则从性质逆向思考，这样的设计符合学生的认知规律。本章还安排了直角三角形斜边上的中线这一内容，巧妙地借助矩形性质来证明，让学生感受到图形之间的相互转化。本章整体呈现了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑结构，帮助学生形成完整的知识体系，也为后续学习更多特殊图形打下了坚实基础。
学情分析 八年级学生已经学行四边形的概念和性质，对“对边平行且相等”“对角线互相平分”等结论比较熟悉，也具备了一定的几何推理和证明能力。但本章要学习的矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，学生需要从“一般”走向“特殊”，理解“加了什么条件就变成了什么图形”，这对他们来说是一个思维上的进阶。学生在日常生活中对长方形、正方形接触较多，但对菱形和它们之间的从属关系认识不够清晰，容易混淆几种图形的性质和判定条件，比如经常误以为“对角线相等的四边形是矩形”或“四条边相等的四边形是正方形”。而且几何证明的规范性书写仍然是不少学生的薄弱环节，推理步骤跳跃、依据不充分的情况比较常见。教学中要多用对比表格和反例辨析，帮助学生理清知识脉络，同时加强证明过程的训练。
单元目标 （一）教学目标1.经历从平行四边形到矩形的演变过程，理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理和判定定理，体会从一般到特殊的数学思想；2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何问题，感受矩形与直角三角形之间的相互转化；3.经历菱形的折纸操作和观察猜想过程，理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理和判定定理，发展几何直观和逻辑推理能力；4.通过矩形、菱形与正方形的对比学习，理解正方形与它们之间的从属关系，掌握正方形的性质及判定方法，形成知识网络；5.能综合运用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决几何证明与计算问题，提升分析问题和解决问题的能力；6.在探究特殊平行四边形性质和判定的过程中，养成严谨推理、规范书写的习惯，体会几何图形之间的内在联系。（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探究与证明，直角三角形斜边上的中线性质及其逆定理的掌握，三种特殊平行四边形之间的区别与联系。教学难点：从平行四边形到特殊平行四边形的逻辑转化，矩形、菱形、正方形性质和判定定理的综合运用，几何证明中辅助线的构造与规范书写。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1矩形318.2菱形218.3正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1矩形1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，能说出矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理；4.能运用矩形的性质与判定解决简单的几何证明和实际问题。1.能准确说出矩形的定义及其与平行四边形的区别；2.能完成矩形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用直角三角形斜边中线定理解决计算与证明问题；4.能在综合问题中灵活运用矩形的性质和判定。任务1：通过尺规作图发现改变平行四边形内角会得到矩形；任务2：完成矩形性质定理和判定定理的证明；任务3：运用矩形性质解决例题中的几何计算与证明问题；任务4：运用直角三角形斜边中线定理完成课堂练习。18.2菱形1.理解菱形的概念，知道菱形是特殊的平行四边形；2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理；3.能运用菱形的性质与判定解决简单的几何证明和计算问题。1.能准确说出菱形的定义；2.能完成菱形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用菱形性质解决边长、对角线、面积等计算问题。任务1：通过折纸剪裁操作引入菱形概念；任务2：观察图形，归纳猜想菱形的特殊性质；任务3：完成菱形性质定理和判定定理的证明；任务4：运用菱形性质解决例题中的角度、边长和面积计算问题。18.3正方形1.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念和性质；2.掌握正方形的判定方法；3.能运用正方形的性质与判定解决简单的几何证明与计算问题。1.能说出正方形与矩形、菱形之间的从属关系；2.能完整说出正方形的性质并能完成相关计算；3.能判断给定的条件是否足以判定正方形。任务1：回顾并归纳正方形的性质；任务2：辨析三种检验正方形方法的合理性；任务3：完成课堂练习中的正方形性质与判定综合题。
《矩形、菱形与正方形》单元教学设计
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第十八章 矩形、菱形与正方形
菱形的性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
典例精析
06
课堂练习
04
新知讲解
07
课堂小结
08
作业布置
01
教学目标
通过折纸活动观察菱形的形成过程，建立菱形与矩形之间的图形关联，发展空间观念；
01
经历“观察—猜想—证明”的完整探究过程，体会几何研究的逻辑思路；
02
在性质定理的证明中运用等腰三角形和平行四边形已有知识，提升几何推理能力；
03
通过课本中的实际情境，感受菱形性质在生活中的应用价值。
04
02
新知导入
将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图18.2.1所示的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
03
新知探究
这就是另一种特殊的平行四边形，即菱形。
如图18.2.2，菱形是有一组邻边相等的平行四边形。
04
新知讲解
作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.2.2所示的菱形，将你的发现填入下表。
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称
菱形的特殊性质
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
互相平分
四条边都相等
轴对称
对角相等
互相垂直，平分对角
04
新知讲解
如图18.2.3，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线。
【提问】菱形有几条对称轴？对称中心在哪里？
菱形有2条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。
菱形的对称中心是两条对角线的交点（即点O）。
由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质：
菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等。
菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直。
04
新知讲解
对于性质定理1，如图18.2.4，我们很容易根据菱形的定义和平行四边形的性质加以证明。
性质定理1：菱形的四条边都相等。
已知：如图18.2.4，四边形 是菱形，即 是平行四边形，且 （一组邻边相等）。
求证：。
04
新知讲解
证明：
∵ 四边形 是菱形，
∴ 四边形 是平行四边形（菱形的定义），
∴ ，（平行四边形的对边相等）。
又 ∵ （菱形的定义：一组邻边相等），
∴ ，
即菱形的四条边都相等。
04
新知讲解
对于性质定理2，如图18.2.5，我们可以依据性质定理1，找到其中的等腰三角形，由“等腰三角形的三线合一”得到结论。
性质定理2：菱形的对角线互相垂直。
已知：如图18.2.5，四边形 是菱形，对角线 与 相交于点 。
求证：。
04
新知讲解
证明：
∵ 四边形 是菱形，∴ （菱形的四条边都相等），
（平行四边形的对角线互相平分）。
在等腰三角形 中，∵ ，，
∴ 是底边 上的中线。
又 ∵ 等腰三角形底边上的中线也是底边上的高
（等腰三角形的三线合一），
∴ ，即 。
05
典例精析
例1 如图18.2.6，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B。试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形。
解：在菱形ABCD中，
∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，
∴∠B=60°。
在菱形ABCD中，
∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形。
05
典例精析
菱形的应用非常广泛。有一种衣帽架，如图18.2.7所示，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用。
05
典例精析
例2 如图18.2.8，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O。求这个菱形的两条对角线AC和BD的长。（保留根号）
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
AB=AD（菱形的四条边都相等）。
又∵AO=AO，
∴△ABO≌△ADO。
05
典例精析
∴∠BAO=∠DAO=∠BAD=60°。
在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形。∴AC=AB=2(cm)。
在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴△AOB为直角三角形。
∴BO===。
∴BD=2BO= (cm)。
05
典例精析
例3 如图18.2.9，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E。求∠BCD的大小。
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）。
又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD。
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC和△ABC都是等边三角形。
∴∠ACD=∠ACB=60°。∴∠BCD=120°。
06
课堂练习
1.菱形的两条对角线长分别是6和 8，则菱形的周长为　 　。
解：设菱形 的对角线 =8， =6，对角线相交于点 。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴ = =×8=4， = =×6=3，且∠ =90°。
在 中，由勾股定理得 =5。
∵菱形的四条边长度相等，
∴菱形的周长为4× =4×5=20。
06
课堂练习
2.在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若 的面积为5，则菱形ABCD 的面积为　 　.
解：∵ABCD为菱形,
O为AC、BD的交点
∴,∴
06
课堂练习
3.如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则　 　．
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴，故答案为：．
06
课堂练习
4.如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵
∴OB=，∴BD=12，
∵于点E，∴OE=
06
课堂练习
5.如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．不确定
解：在菱形中，,
∴，
∵E，F分别是，的中点，
∴。
06
课堂练习
6.如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（　　）
A． B．4 C． D．
06
课堂练习
解：四边形是菱形，，
线段沿折叠后点与点恰好重合在一起，
，，
，
。
06
课堂练习
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．
（1）证明： ∵ 菱形ABCD∴AD∥BC ，AD=BC
∵CF=BE,∴BC=EF，∴AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD是平行四边形
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°，∴平行四边形AEFD是矩形
06
课堂练习
（2）根据题意可知∠ABE=∠DCF，AB=CD，CF=BE
∴△ABE≌△DCF (SAS)
∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形
AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO=
矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
=
07
课堂小结
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
四条边都相等
对角线互相垂直
轴对称图形（2条对称轴）
中心对称图形（对角线交点）
菱形的性质
定义
性质
08
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知一菱形的边长为4，则其周长为　 　．
解：菱形的周长为．
2.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=　 　．
解：根据菱形面积公式，计算如下：。
08
作业布置
3.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F 的左侧)，且EF=1，则DE+BF的最小值为　 　.
08
作业布置
解：如图， 作DM∥AC， 使得DM=EF =1， 连接BM交AC于F，
∵DM =EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE=FM，
∴DE+BF =FM+FB= BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形， AB=3， ∠BAD=60°
∴AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，
在Rt△BDM中，
∴DE+BF的最小值为
08
作业布置
4.如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为　 　．
解：∵在菱形中，，，
∴，，，
∴．
08
作业布置
5.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE=DE，若∠ADE=2∠ODE，则∠CDE的度数为（　　）
A．60° B．64° C．70° D．72°
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD并且互相平分，
∴∠ADO=∠CDO，在Rt△AOD中，∵ AE=DE ，∴∠DAO=∠ADE，
∵ ∠ADE=2∠ODE ，设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x，
∴x+2x+2x=90°，解得x=18°，
∴∠ADO=∠CDO=54°，∴∠CDE=∠CDO+∠ODE=72°
08
作业布置
6.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．72 C．96 D．108
解：在菱形中，∴BO=DO，AO=CO，
∵，∴在Rt△BHD中，O为BD中点，
∴，∴，
∵，∴，
∴菱形的面积=。
08
作业布置
【综合实践类作业】
7.如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求菱形的面积．
08
作业布置
（1）证明：∵四边形是菱形，∴，
又∵，∴是等边三角形，
∵E是的中点，∴，∴，
∵E、F分别是、的中点，∴，，
∵四边形是菱形，
∴且，∴且，
则四边形是平行四边形，
又∵，∴四边形是矩形；
（2）解：∵是等边三角形，，
∴．
08
作业布置
Thanks!
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18.2.1菱形的性质 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章
课题 18.2菱形 课时 2课时
课标要求 理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直。能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题。在探索菱形性质的过程中，进一步体会图形变换研究几何图形中的作用。
教材分析 本节内容是学生在已经学行四边形概念及性质、矩形性质的基础上，进一步学习另一种特殊的平行四边形——菱形。教材从折纸活动引入菱形概念，通过观察、猜想、证明等环节，引导学生发现并证明菱形的边、对角线等特殊性质，最后通过三个例题巩固性质的应用。菱形性质的学习不仅是对平行四边形知识的延伸，也为后续学习正方形等内容奠定基础。教材注重从一般到特殊的逻辑，突出图形性质的探究过程。
学情分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解图形、符号和几何语言所表达的基本关系。在之前的学习中，他们已经掌握了平行四边形的概念和性质，也经历了矩形性质的学习过程，对“从一般到特殊”研究几何图形的基本思路有了一定了解，但尚未将其系统化地应用于菱形的自主探究中。学生在日常生活中已积累了大量关于图形对称和相等的朴素经验，但尚未将其严谨地概括为几何定理并加以证明，对于一些知识点的灵活迁移运用也还需要进一步引导。
核心素养目标 1.通过折纸活动观察菱形的形成过程，建立菱形与矩形之间的图形关联，发展空间观念； 2.经历“观察—猜想—证明”的完整探究过程，体会几何研究的逻辑思路； 3.在性质定理的证明中运用等腰三角形和平行四边形的已有知识，提升几何推理能力； 4.通过课本中的实际情境，感受菱形性质在生活中的应用价值。
教学重点 菱形的性质定理以及证明。
教学难点 菱形的性质定理运用。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 做一做 将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图18.2.1所示的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？ 学生按照步骤折纸、沿虚线剪裁、展开图形，观察并描述所得图形的形状特征。 通过折纸操作激发兴趣，让学生在动手实践中直观感知菱形的形成过程，为抽象出菱形定义积累经验。
二、探究 这就是另一种特殊的平行四边形，即菱形。 如图18.2.2，菱形是有一组邻边相等的平行四边形。 思考 作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.2.2所示的菱形，将你的发现填入下表。 如图18.2.3，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线。 【提问】菱形有几条对称轴？对称中心在哪里？ 菱形有2条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。 菱形的对称中心是两条对角线的交点（即点O）。 由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质： 菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等。 菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直。 对于性质定理1，如图18.2.4，我们很容易根据菱形的定义和平行四边形的性质加以证明。 对于性质定理2，如图18.2.5，我们可以依据性质定理1，找到其中的等腰三角形，由“等腰三角形的三线合一”得到结论。 请给出完整的证明过程。 性质定理1：菱形的四条边都相等。 已知：如图18.2.4，四边形 是菱形，即 是平行四边形，且 （一组邻边相等）。 求证：。 证明： ∵ 四边形 是菱形， ∴ 四边形 是平行四边形（菱形的定义）， ∴ ，（平行四边形的对边相等）。 又 ∵ （菱形的定义：一组邻边相等）， ∴ ， 即菱形的四条边都相等。 性质定理2：菱形的对角线互相垂直。 已知：如图18.2.5，四边形 是菱形，对角线 与 相交于点 。 求证：。 证明： ∵ 四边形 是菱形， ∴ （菱形的四条边都相等）， （平行四边形的对角线互相平分）。 在等腰三角形 中， ∵ ，， ∴ 是底边 上的中线。 又 ∵ 等腰三角形底边上的中线也是底边上的高（等腰三角形的三线合一）， ∴ ， 即 。 例1 如图18.2.6，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B。试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形。 解：在菱形ABCD中， ∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B， ∴∠B=60°。 在菱形ABCD中， ∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形。 菱形的应用非常广泛。有一种衣帽架，如图18.2.7所示，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用。 例2 如图18.2.8，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O。求这个菱形的两条对角线AC和BD的长。（保留根号） 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AB=AD（菱形的四条边都相等）。 又∵AO=AO， ∴△ABO≌△ADO。 ∴∠BAO=∠DAO=∠BAD=60°。 在△ABC中， ∵AB=BC，∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形。 ∴AC=AB=2(cm)。 在菱形ABCD中， ∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴△AOB为直角三角形。 ∴BO===。 ∴BD=2BO= (cm)。 例3 如图18.2.9，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E。求∠BCD的大小。 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）。 又∵AE垂直平分CD， ∴AC=AD。 ∴AC=AD=DC=CB=BA， 即△ADC和△ABC都是等边三角形。 ∴∠ACD=∠ACB=60°。 ∴∠BCD=120°。 学生观察菱形图形，先回顾并填写表格中平行四边形的一般性质，再归纳菱形在边、角、对角线上的特殊性质，小组内交流后回答。 学生在教师引导下，先独立尝试证明性质定理1，再类比定理1的思路，完成定理2的证明。 学生先独立尝试完成三道例题，再小组内交流解题思路。 引导学生运用类比思想从一般到特殊自主探究菱形性质，通过观察和猜想培养几何直观，为后续证明性质定理做铺垫。 让学生经历几何定理的完整证明过程，训练逻辑推理能力。 通过三个层次递进的例题，帮助学生巩固菱形四条边相等、对角线互相垂直等性质的应用，提升几何解题能力。
三、尝试 （课堂练习） 1.菱形的两条对角线长分别是6和 8，则菱形的周长为　 　。 解：设菱形 的对角线 =8， =6，对角线相交于点 。 ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴ = =×8=4， = =×6=3，且∠ =90°。 在 中，由勾股定理得 =5。 ∵菱形的四条边长度相等， ∴菱形的周长为4× =4×5=20 2.在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若 的面积为5，则菱形ABCD 的面积为　 　。 解：∵ABCD为菱形,O为AC、BD的交点 ∴,∴ 3.如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则　 　。 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 4.如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　。 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， ∵ ∴OB=，∴BD=12， ∵于点E，∴OE= 5.如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．不确定 解：在菱形中，,∴， ∵E，F分别是，的中点，∴。 6.如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（　　） A． B．4 C． D． 解：四边形是菱形，， 线段沿折叠后点与点恰好重合在一起， ，， ， 。 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积． （1）证明： ∵ 菱形ABCD∴AD∥BC ，AD=BC ∵CF=BE,∴BC=EF ∴AD∥EF，AD=EF ∴四边形AEFD是平行四边形 ∵AE⊥BC,∴∠AEF=90° ∴平行四边形AEFD是矩形 （2）根据题意可知∠ABE=∠DCF，AB=CD，CF=BE ∴△ABE≌△DCF (SAS) ∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积 ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形 AC=4，AO=2，AB=4， 由菱形的对角线互相垂直可得BO= 矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积 = 学生独立完成练习题。 通过基础练习及时检测学生对菱形性质的掌握情况。
四、总结提升 通过本节课的学习，我们认识了一类特殊的平行四边形——菱形，它不仅是中心对称图形，还是轴对称图形，有两条对称轴。我们从定义出发，通过观察、猜想和证明，得到了菱形的两条重要性质：四条边都相等，对角线互相垂直。在例题学习中，我们运用这些性质解决了求角度、求边长以及利用勾股定理计算对角线长度等问题。希望课后继续加强几何推理的规范表达，为后续学习正方形做好准备。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.已知一菱形的边长为4，则其周长为　 　。 解：菱形的周长为． 2.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=　 　。 解：根据菱形面积公式，计算如下：。 3.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F 的左侧)，且EF=1，则DE+BF的最小值为　 　。 解：如图， 作DM∥AC， 使得DM=EF =1， 连接BM交AC于F， ∵DM =EF，DM∥EF， ∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE=FM， ∴DE+BF =FM+FB= BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短， ∵四边形ABCD是菱形， AB=3， ∠BAD=60° ∴AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3， 在Rt△BDM中， ∴DE+BF的最小值为 4.如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为　 　。 解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴． 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE=DE，若∠ADE=2∠ODE，则∠CDE的度数为（　　） A．60° B．64° C．70° D．72° 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD并且互相平分， ∴∠ADO=∠CDO， 在Rt△AOD中，∵ AE=DE ，∴∠DAO=∠ADE， ∵ ∠ADE=2∠ODE ，设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x， ∴x+2x+2x=90°，解得x=18°， ∴∠ADO=∠CDO=54°，∴∠CDE=∠CDO+∠ODE=72° 6.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（　　） A．48 B．72 C．96 D．108 解：在菱形中，∴BO=DO，AO=CO， ∵，∴在Rt△BHD中，O为BD中点， ∴，∴， ∵，∴， ∴菱形的面积=。 【综合拓展类作业】： 7.如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积。 （1）证明：∵四边形是菱形，∴， 又∵，∴是等边三角形， ∵E是的中点，∴，∴， ∵E、F分别是、的中点，∴，， ∵四边形是菱形，∴且， ∴且，则四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是矩形； （2）解：∵是等边三角形，， ∴．
教学反思 本节课以折纸活动引入，学生参与度较高，对菱形“从哪里来”有了直观认识。在性质探究环节，学生能够较快发现菱形四条边相等，但对对角线互相垂直的猜想需要教师借助图形对称性加以引导。三个例题层次分明，例1帮助学生巩固边角关系，例2涉及勾股定理计算，例3综合运用垂直平分线性质。从作业反馈看，学生对“每条对角线平分一组对角”这一推论的理解还需在后续课时中进一步强化。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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