资源简介

(共42张PPT)
第十八章 矩形、菱形与正方形
菱形的判定
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
典例精析
06
课堂练习
04
新知讲解
08
课堂小结
09
作业布置
07
新知讲解
01
教学目标
通过对菱形判定定理的探究，学生经历从特殊到一般的归纳过程，发展几何直观和抽象能力；
01
在猜想、作图、验证和证明等活动中，逐步形成逻辑推理能力；
02
通过对比不同判定方法的适用条件，体会数学知识之间的内在联系；
03
在小组交流与辨析中，敢于提出自己的猜想并尝试论证，逐步形成严谨求实的科学态度。
04
02
新知导入
我们已经知道,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,这是菱形的定义.我们可以根据定义来判定一个四边形是不是菱形.除此之外,还能找到其他的判定方法吗
菱形是特殊的平行四边形,具有如下性质:
1.四条边都相等;
2.两条对角线互相垂直.
这些性质,对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢
03
新知探究
思考
对于一般的四边形,如何寻找判定它是不是菱形的方法呢
由菱形的性质“四条边都相等”,你可能会想到:
如果一个四边形的四条边都相等,那么它肯定是一个菱形.
试着画一画,与周围的同学讨论,猜一猜结论是否成立.
试一试
如图18.2.10,作一个四条边都相等的四边形.
作法:
1.作两条相等的线段AB、AD;
2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径作弧,两弧相交于点C;
3.连结BC、CD.
四边形ABCD即为所要求作的四边形.
观察你所画的图形,它是菱形吗
04
新知讲解
由此我们可以得到判定菱形的一种方法:
菱形的判定定理1 ：四条边都相等的四边形是菱形.
你能证明这个结论吗
已知：在四边形 中，。
求证：四边形 是菱形。
证明：连接 。
在 和 中，
04
新知讲解
∴ （SSS）
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形 是平行四边形（两组对边分别平行）
又 ∵ （已知）
∴ 平行四边形 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
这里的条件能否再减少一些呢 有三条边相等的四边形是菱形吗
试着画一画,相信你很快会发现,这个结论是不成立的.
04
新知讲解
05
典例精析
例4 如图18.2.11,在矩形ABCD中,点E,F,G,H分别是四条边的中点.试问:四边形EFGH是什么图形 并说明理由.
分析 四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形,如果能够证明这四个三角形全等,那么就可以利用菱形的判定定理1,得出四边形EFGH是菱形.
你能说出完整的证明过程吗？
05
典例精析
证明：四边形 是菱形。
在矩形 中，，，。
∵ 点 分别是四条边的中点，
∴ 。
在 和 中，
05
典例精析
∴ （SAS），∴ 。
同理可得：，，。∴ 。
∴ 四边形 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）。
思考
“对角线互相垂直”是菱形所特有的性质.那么从对角线的角度,你可以得到关于菱形判定的什么猜想 和你的同伴交流一下,看看你们的想法是否一致、可行.
由此,我们可以得到一个猜想:“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.”
06
新知讲解
探索
如图18.2.12,取两根长度不等的细木棒,让这两个细木棒的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道,这样得到的四边形是平行四边形.转动其中一根木棒,重复上面的做法,当两根木棒之间的夹角等于90°时,得到的是什么图形呢
06
新知讲解
06
新知讲解
试一试
如图18.2.13,作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
作法:1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为O;
2.以点O为圆心,适当长为半径作弧,在直线m上截取相等的两条线段OA,OC;
3.以点O为圆心,另一适当长为半径作弧,在直线n上截取相等的两条线段OB,OD;
4.顺次连结所得的四个点.
06
新知讲解
显然,四边形ABCD是一个对角线互相垂直且平分的四边形,即为所要求作的两条对角线互相垂直的平行四边形.
和你的同伴交流一下,看看它是否也是一个菱形.
这就是判定菱形的另一种方法:
菱形的判定定理2 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
结论的证明很简单.如图18.2.14,在 ABCD中,对角线AC,BD互相垂直,只需证明有一组邻边相等,即可证得 ABCD是菱形.
06
新知讲解
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC。
又∵ AC ⊥ BD，
∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线，
∴ AB = BC。
∴ ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
06
新知讲解
例5 如图18.2.15，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AE ∥ FC，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ EF平分AC，
∴ OA = OC。
在△AOE和△COF中，
06
新知讲解
∵ ∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF，
∴ OE = OF。
∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又∵ EF ⊥ AC，
∴ AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
07
课堂练习
1.已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为　 　．
解：如图,在菱形中，
，，
对角线互相垂直平分，，，
在中，，
．.
07
课堂练习
2.顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是　 　．
解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是中位线，FG是中位线，EF是中位线，
∴，，，，，
∴EH=FG=EF，EH∥FG，∴四边形EFGH是菱形.故答案为：菱形.
07
课堂练习
3.如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　．
解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形；
分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D，
，
四边形是菱形．
07
课堂练习
4.如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 ．
解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，平行四边形是菱形；
故答案为：（答案不唯一）．
07
课堂练习
5．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　）
A． B． C．6 D．8
解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
∵将沿折叠，使点与点A重合，∴，，
∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
07
课堂练习
又∵，，∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，
又∵，∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，即的边上的高是．
07
课堂练习
6.如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（　　）
A． B． C．平分 D．
解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意.
07
课堂练习
C、∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，∴，
∴，∴，
∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意.
07
课堂练习
7.在中，点E，F分别在边上，连接，，，与相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的周长为22，，，求的长．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，∵，
∴，∴，
07
课堂练习
∴四边形是平行四边形，
又∵，∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，
∴，∴，∴
又∵，四边形是菱形，∴
∴是等边三角形，∴.
08
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形的判定
定义法
判定定理1
判定定理2
09
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列命题：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②对角线相等的四边形是菱形.其中正确的是　 　.(填序号)
解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但不是菱形，错误.
09
作业布置
2.已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点0，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　 　．
解：∵邻边相等（对角线互相垂直）的平行四边形是菱形，
∴可以添加AD=DC或ACBD(答案不唯一），故答案为：AD=DC(答案不唯一) .
09
作业布置
3.如图，在Rt ABC中 ， ， ，D为AB的中点， ，则四边形ADCE的周长为　 　．
解：∵ ，∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴ ，
∴平行四边形 为菱形，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，AD=5，∴菱形ADCE的周长为20．
09
作业布置
4.如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是　 　.
解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形，
根据题意得：AB=AC=BD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，故答案为：菱形.
09
作业布置
5.已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）
A．B． C． D．
解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定是菱形，故A不符合题意；
09
作业布置
B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB//CD，得到∠ABD=∠CDB，因此∠ABD=∠ADB，得到AB=AD，判定是菱形，故B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC=2OA，BD=2OB，得到AC=BD，判定是矩形，不一定是菱形，故C符合题意；
D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定是菱形，故D不符合题意.
故答案为：C.
09
作业布置
6.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
解：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
09
作业布置
在和中，，
∴，∴，
∵，∴，
∴四边形是菱形．∵，，
∴，
∵，∴，解得，∴．∴四边形的面积为．
09
作业布置
【综合实践类作业】
7.如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
09
作业布置
（1）证明：
∵D、E分别是、的中点，，，
，，
，，
，∴四边形是平行四边形，
，∴四边形是菱形.
09
作业布置
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，，，，
，在中，，
，
，
菱形的面积为.
Thanks!
https://www. 21cnjy. com/recruitment/home/fine中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第18章
课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系，探索并证明矩形的性质定理；2.探索并证明矩形的判定定理，能运用矩形的判定方法解决简单的几何证明和实际问题；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何证明与计算问题；4.理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理，能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题；5.探索并证明菱形的判定定理，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题；6.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题；7.在探索矩形、菱形、正方形性质和判定的过程中，体会从一般到特殊的数学思想，经历观察、猜想、证明的完整探究过程，发展逻辑推理能力和几何直观；8.能运用矩形、菱形、正方形的性质与判定解决综合性的几何问题，体会几何图形性质与判定之间的内在联系。
内容分析 矩形、菱形与正方形这一章是在学生已经掌握了平行四边形的基础上展开的，可以看作是特殊平行四边形的集中学习。本章从矩形开始，通过改变平行四边形的内角引出“有一个角是直角”的特殊情况，再通过改变边的关系引出菱形，最后把两者结合起来得到正方形。整个编排思路很清晰，让学生体会“一般到特殊”的研究方法。每种图形都按照“性质—判定—应用”的路径来学，性质靠观察猜想证明，判定则从性质逆向思考，这样的设计符合学生的认知规律。本章还安排了直角三角形斜边上的中线这一内容，巧妙地借助矩形性质来证明，让学生感受到图形之间的相互转化。本章整体呈现了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑结构，帮助学生形成完整的知识体系，也为后续学习更多特殊图形打下了坚实基础。
学情分析 八年级学生已经学行四边形的概念和性质，对“对边平行且相等”“对角线互相平分”等结论比较熟悉，也具备了一定的几何推理和证明能力。但本章要学习的矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，学生需要从“一般”走向“特殊”，理解“加了什么条件就变成了什么图形”，这对他们来说是一个思维上的进阶。学生在日常生活中对长方形、正方形接触较多，但对菱形和它们之间的从属关系认识不够清晰，容易混淆几种图形的性质和判定条件，比如经常误以为“对角线相等的四边形是矩形”或“四条边相等的四边形是正方形”。而且几何证明的规范性书写仍然是不少学生的薄弱环节，推理步骤跳跃、依据不充分的情况比较常见。教学中要多用对比表格和反例辨析，帮助学生理清知识脉络，同时加强证明过程的训练。
单元目标 （一）教学目标1.经历从平行四边形到矩形的演变过程，理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理和判定定理，体会从一般到特殊的数学思想；2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何问题，感受矩形与直角三角形之间的相互转化；3.经历菱形的折纸操作和观察猜想过程，理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理和判定定理，发展几何直观和逻辑推理能力；4.通过矩形、菱形与正方形的对比学习，理解正方形与它们之间的从属关系，掌握正方形的性质及判定方法，形成知识网络；5.能综合运用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决几何证明与计算问题，提升分析问题和解决问题的能力；6.在探究特殊平行四边形性质和判定的过程中，养成严谨推理、规范书写的习惯，体会几何图形之间的内在联系。（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探究与证明，直角三角形斜边上的中线性质及其逆定理的掌握，三种特殊平行四边形之间的区别与联系。教学难点：从平行四边形到特殊平行四边形的逻辑转化，矩形、菱形、正方形性质和判定定理的综合运用，几何证明中辅助线的构造与规范书写。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1矩形318.2菱形218.3正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1矩形1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，能说出矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理；4.能运用矩形的性质与判定解决简单的几何证明和实际问题。1.能准确说出矩形的定义及其与平行四边形的区别；2.能完成矩形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用直角三角形斜边中线定理解决计算与证明问题；4.能在综合问题中灵活运用矩形的性质和判定。任务1：通过尺规作图发现改变平行四边形内角会得到矩形；任务2：完成矩形性质定理和判定定理的证明；任务3：运用矩形性质解决例题中的几何计算与证明问题；任务4：运用直角三角形斜边中线定理完成课堂练习。18.2菱形1.理解菱形的概念，知道菱形是特殊的平行四边形；2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理；3.能运用菱形的性质与判定解决简单的几何证明和计算问题。1.能准确说出菱形的定义；2.能完成菱形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用菱形性质解决边长、对角线、面积等计算问题。任务1：通过折纸剪裁操作引入菱形概念；任务2：观察图形，归纳猜想菱形的特殊性质；任务3：完成菱形性质定理和判定定理的证明；任务4：运用菱形性质解决例题中的角度、边长和面积计算问题。18.3正方形1.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念和性质；2.掌握正方形的判定方法；3.能运用正方形的性质与判定解决简单的几何证明与计算问题。1.能说出正方形与矩形、菱形之间的从属关系；2.能完整说出正方形的性质并能完成相关计算；3.能判断给定的条件是否足以判定正方形。任务1：回顾并归纳正方形的性质；任务2：辨析三种检验正方形方法的合理性；任务3：完成课堂练习中的正方形性质与判定综合题。
《矩形、菱形与正方形》单元教学设计
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
18.2.2菱形的判定 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章
课题 18.2菱形 课时 2课时
课标要求 探索并掌握菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。经历从菱形的性质逆向思考得到判定方法的过程，体会几何研究中“性质与判定”之间的互逆关系，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题。
教材分析 本节课是特殊平行四边形判定部分的重要内容，是学生系统掌握菱形知识结构的关键环节。本节以菱形的两条主要性质为线索展开，教学内容蕴含着从性质到判定的逆向思维、从一般到特殊的研究思路，以及合情推理与演绎推理相结合的思想方法。教材通过作图操作、反例辨析、平行四边形框架转动等活动，让学生在动手实践中经历猜想、验证、证明的完整过程，为后续学习正方形的判定奠定基础。
学情分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解图形、符号和几何语言所表达的基本关系。在之前的学习中，他们已经掌握了平行四边形的概念和性质，也经历了矩形性质的学习过程，对“从一般到特殊”研究几何图形的基本思路有了一定了解，但尚未将其系统化地应用于菱形的自主探究中，学生对“等腰三角形三线合一”等知识点的灵活迁移运用也还需要进一步引导。
核心素养目标 1.通过对菱形判定定理的探究，学生经历从特殊到一般的归纳过程，发展几何直观和抽象能力； 2.在猜想、作图、验证和证明等活动中，逐步形成逻辑推理能力； 3.通过对比不同判定方法的适用条件，体会数学知识之间的内在联系； 4.在小组交流与辨析中，敢于提出自己的猜想并尝试论证，逐步形成严谨求实的科学态度。
教学重点 菱形判定定理的探究。
教学难点 菱形判定定理的探究与应用。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 我们已经知道,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,这是菱形的定义.我们可以根据定义来判定一个四边形是不是菱形.除此之外,还能找到其他的判定方法吗 菱形是特殊的平行四边形,具有如下性质: 1.四条边都相等; 2.两条对角线互相垂直. 这些性质,对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢 回顾菱形的定义和两条主要性质，思考性质与判定之间的互逆关系。 激活学生已有知识经验，建立性质与判定的联系，为后续探究判定方法做好思维铺垫。
二、探究 思考 对于一般的四边形,如何寻找判定它是不是菱形的方法呢 由菱形的性质“四条边都相等”,你可能会想到:如果一个四边形的四条边都相等,那么它肯定是一个菱形.试着画一画,与周围的同学讨论,猜一猜结论是否成立. 试一试 如图18.2.10,作一个四条边都相等的四边形. 作法: 1.作两条相等的线段AB、AD; 2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径作弧,两弧相交于点C; 3.连结BC、CD. 四边形ABCD即为所要求作的四边形. 观察你所画的图形,它是菱形吗 由此我们可以得到判定菱形的一种方法: 菱形的判定定理1： 四条边都相等的四边形是菱形. 你能证明这个结论吗？ 已知：在四边形 中，。 求证：四边形 是菱形。 证明：连接 。 在 和 中， ∴ （SSS） ∴ ， ∴ ， ∴ 四边形 是平行四边形（两组对边分别平行） 又 ∵ （已知） ∴ 平行四边形 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形） 这里的条件能否再减少一些呢 有三条边相等的四边形是菱形吗 试着画一画,相信你很快会发现,这个结论是不成立的. 例4 如图18.2.11,在矩形ABCD中,点E,F,G,H分别是四条边的中点.试问:四边形EFGH是什么图形 并说明理由. 分析 四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形,如果能够证明这四个三角形全等,那么就可以利用菱形的判定定理1,得出四边形EFGH是菱形. 你能说出完整的证明过程吗？ 证明：四边形 是菱形。 理由如下： 在矩形 中，，，。 ∵ 点 分别是四条边的中点， ∴ 。 在 和 中， ∴ （SAS），∴ 。 同理可得：，，。∴ 。 ∴ 四边形 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）。 思考 “对角线互相垂直”是菱形所特有的性质.那么从对角线的角度,你可以得到关于菱形判定的什么猜想 和你的同伴交流一下,看看你们的想法是否一致、可行. 由此,我们可以得到一个猜想:“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.” 探索 如图18.2.12,取两根长度不等的细木棒,让这两个细木棒的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道,这样得到的四边形是平行四边形.转动其中一根木棒,重复上面的做法,当两根木棒之间的夹角等于90°时,得到的是什么图形呢 试一试 如图18.2.13,作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 作法: 1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为O; 2.以点O为圆心,适当长为半径作弧,在直线m上截取相等的两条线段OA,OC; 3.以点O为圆心,另一适当长为半径作弧,在直线n上截取相等的两条线段OB,OD; 4.顺次连结所得的四个点. 显然,四边形ABCD是一个对角线互相垂直且平分的四边形,即为所要求作的两条对角线互相垂直的平行四边形. 和你的同伴交流一下,看看它是否也是一个菱形. 这就是判定菱形的另一种方法: 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 结论的证明很简单.如图18.2.14,在 ABCD中,对角线AC,BD互相垂直,只需证明有一组邻边相等,即可证得 ABCD是菱形. 证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA = OC。 又∵ AC ⊥ BD， ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线， ∴ AB = BC。 ∴ ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 例5 如图18.2.15，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AE ∥ FC， ∴ ∠1 = ∠2。 ∵ EF平分AC， ∴ OA = OC。 在△AOE和△COF中， ∵ ∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF， ∴ △AOE ≌ △COF， ∴ OE = OF。 ∴ 四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 又∵ EF ⊥ AC， ∴ AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 按作法动手画图，观察四边形形状，小组交流猜想；尝试画反例验证“三条边相等”，发现结论不成立。 根据分析提示，独立完成证明，并尝试用规范的几何语言表达推理过程。 小组交流提出猜想，操作木棒模型观察夹角90°时图形形状，按步骤作图验证，理解证明思路并完成定理证明。 识别图形中的平行、相等和垂直关系，理解证明思路，独立完成证明书写，并尝试说出每一步的依据。 通过作图操作和反例辨析，帮助学生直观感知定理条件，理解“四条边都相等”的必要性，培养严谨思维。 让学生在实际问题中运用判定定理1，巩固全等三角形的证明方法，培养学生将综合法分析转化为规范书写的能力。 通过实验操作和尺规作图，让学生在直观体验中发现结论，再上升为严格证明，培养合情推理与演绎推理相结合的能力。 通过综合运用矩形性质、全等三角形判定和平行四边形判定，帮助学生巩固菱形判定定理2的应用，提升几何综合推理能力。
三、尝试 （课堂练习） 1.已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为　 　． 解：如图,在菱形中，，， 对角线互相垂直平分，，， 在中，， ．. 2.顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是　 　． 解：如图，连接AC、BD， ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD， ∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EH是中位线，FG是中位线，EF是中位线， ∴，，，，，∴EH=FG=EF，EH∥FG，∴四边形EFGH是菱形.故答案为：菱形. 3.如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　． 解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形； 分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D， ， 四边形是菱形． 4.如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 　． 解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　） A． B． C．6 D．8 解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O， ∵将沿折叠，使点与点A重合，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴， 又∵，， ∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，解得：，即的边上的高是． 6.如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（　　） A． B． C．平分 D． 解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， 不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形，∴， ∴， ∵平分，∴， ∴，∴， ∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 7.在中，点E，F分别在边上，连接，，，与相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为22，，，求的长． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，∵， ∴，∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知， ∴，∴， ∴ 又∵，四边形是菱形，∴ ∴是等边三角形，∴. 独立完成课堂练习，认真审题、规范书写证明过程，参与答案交流，听取教师点评并订正错误。 检测学生对本节课判定方法的掌握程度，及时发现问题并反馈，强化知识应用能力，规范几何证明书写。
四、总结提升 本节课我们围绕菱形展开了探究，一共收获了三种判定方法：一是从定义出发，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；二是从边的整体特征出发，四条边都相等的四边形是菱形；三是从对角线特征出发，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。在使用这些方法时，要特别注意两点：第一，判定定理1适用于任意四边形，而判定定理2必须在平行四边形的基础上使用；第二，证明时往往需要先根据已知条件得出平行四边形，再寻找邻边相等或对角线垂直的关系。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.下列命题：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②对角线相等的四边形是菱形.其中正确的是　 　.(填序号) 解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但不是菱形，错误. 2.已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点0，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　 　． 解：∵邻边相等（对角线互相垂直）的平行四边形是菱形， ∴可以添加AD=DC或ACBD(答案不唯一），故答案为：AD=DC(答案不唯一) . 3.如图，在Rt ABC中 ， ， ，D为AB的中点， ，则四边形ADCE的周长为　 　． 解：∵ ，∴四边形ADCE为平行四边形， 又∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴ ， ∴平行四边形 为菱形，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10，AD=5，∴菱形ADCE的周长为20． 4.如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是　 　. 解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形， 根据题意得：AB=AC=BD=DC， ∴四边形ABCD是菱形，故答案为：菱形. 【知识技能类作业】选做题： 5.已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定是菱形，故A不符合题意； B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB//CD，得到∠ABD=∠CDB，因此∠ABD=∠ADB，得到AB=AD，判定是菱形，故B不符合题意； C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC=2OA，BD=2OB，得到AC=BD，判定是矩形，不一定是菱形，故C符合题意； D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定是菱形，故D不符合题意. 故答案为：C. 6.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 解：∵四边形是矩形，∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵，∴， 解得，∴． ∴四边形的面积为． 【综合拓展类作业】： 7.如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． （1）证明： ∵D、E分别是、的中点，，， ，， ，， ，∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是菱形 （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，，，， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为.
教学反思 本节课从菱形的性质出发引导学生逆向思考判定方法，符合学生的认知规律。学生在动手作图环节表现出较高的积极性，通过实际操作验证猜想，对定理的理解更加深刻。在证明定理2时，部分学生对“垂直平分线”的推理依据理解不够顺畅，需要在后续练习中加强这一知识点的迁移训练。从课堂反馈来看，学生能够区分判定定理的使用条件，但在综合运用时仍存在选择困难，今后应设计更多变式练习，帮助学生建立判定方法选择的策略意识。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑