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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第18章
课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系，探索并证明矩形的性质定理；2.探索并证明矩形的判定定理，能运用矩形的判定方法解决简单的几何证明和实际问题；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何证明与计算问题；4.理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理，能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题；5.探索并证明菱形的判定定理，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题；6.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题；7.在探索矩形、菱形、正方形性质和判定的过程中，体会从一般到特殊的数学思想，经历观察、猜想、证明的完整探究过程，发展逻辑推理能力和几何直观；8.能运用矩形、菱形、正方形的性质与判定解决综合性的几何问题，体会几何图形性质与判定之间的内在联系。
内容分析 矩形、菱形与正方形这一章是在学生已经掌握了平行四边形的基础上展开的，可以看作是特殊平行四边形的集中学习。本章从矩形开始，通过改变平行四边形的内角引出“有一个角是直角”的特殊情况，再通过改变边的关系引出菱形，最后把两者结合起来得到正方形。整个编排思路很清晰，让学生体会“一般到特殊”的研究方法。每种图形都按照“性质—判定—应用”的路径来学，性质靠观察猜想证明，判定则从性质逆向思考，这样的设计符合学生的认知规律。本章还安排了直角三角形斜边上的中线这一内容，巧妙地借助矩形性质来证明，让学生感受到图形之间的相互转化。本章整体呈现了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑结构，帮助学生形成完整的知识体系，也为后续学习更多特殊图形打下了坚实基础。
学情分析 八年级学生已经学行四边形的概念和性质，对“对边平行且相等”“对角线互相平分”等结论比较熟悉，也具备了一定的几何推理和证明能力。但本章要学习的矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，学生需要从“一般”走向“特殊”，理解“加了什么条件就变成了什么图形”，这对他们来说是一个思维上的进阶。学生在日常生活中对长方形、正方形接触较多，但对菱形和它们之间的从属关系认识不够清晰，容易混淆几种图形的性质和判定条件，比如经常误以为“对角线相等的四边形是矩形”或“四条边相等的四边形是正方形”。而且几何证明的规范性书写仍然是不少学生的薄弱环节，推理步骤跳跃、依据不充分的情况比较常见。教学中要多用对比表格和反例辨析，帮助学生理清知识脉络，同时加强证明过程的训练。
单元目标 （一）教学目标1.经历从平行四边形到矩形的演变过程，理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理和判定定理，体会从一般到特殊的数学思想；2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何问题，感受矩形与直角三角形之间的相互转化；3.经历菱形的折纸操作和观察猜想过程，理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理和判定定理，发展几何直观和逻辑推理能力；4.通过矩形、菱形与正方形的对比学习，理解正方形与它们之间的从属关系，掌握正方形的性质及判定方法，形成知识网络；5.能综合运用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决几何证明与计算问题，提升分析问题和解决问题的能力；6.在探究特殊平行四边形性质和判定的过程中，养成严谨推理、规范书写的习惯，体会几何图形之间的内在联系。（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探究与证明，直角三角形斜边上的中线性质及其逆定理的掌握，三种特殊平行四边形之间的区别与联系。教学难点：从平行四边形到特殊平行四边形的逻辑转化，矩形、菱形、正方形性质和判定定理的综合运用，几何证明中辅助线的构造与规范书写。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1矩形318.2菱形218.3正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1矩形1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，能说出矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理；4.能运用矩形的性质与判定解决简单的几何证明和实际问题。1.能准确说出矩形的定义及其与平行四边形的区别；2.能完成矩形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用直角三角形斜边中线定理解决计算与证明问题；4.能在综合问题中灵活运用矩形的性质和判定。任务1：通过尺规作图发现改变平行四边形内角会得到矩形；任务2：完成矩形性质定理和判定定理的证明；任务3：运用矩形性质解决例题中的几何计算与证明问题；任务4：运用直角三角形斜边中线定理完成课堂练习。18.2菱形1.理解菱形的概念，知道菱形是特殊的平行四边形；2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理；3.能运用菱形的性质与判定解决简单的几何证明和计算问题。1.能准确说出菱形的定义；2.能完成菱形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用菱形性质解决边长、对角线、面积等计算问题。任务1：通过折纸剪裁操作引入菱形概念；任务2：观察图形，归纳猜想菱形的特殊性质；任务3：完成菱形性质定理和判定定理的证明；任务4：运用菱形性质解决例题中的角度、边长和面积计算问题。18.3正方形1.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念和性质；2.掌握正方形的判定方法；3.能运用正方形的性质与判定解决简单的几何证明与计算问题。1.能说出正方形与矩形、菱形之间的从属关系；2.能完整说出正方形的性质并能完成相关计算；3.能判断给定的条件是否足以判定正方形。任务1：回顾并归纳正方形的性质；任务2：辨析三种检验正方形方法的合理性；任务3：完成课堂练习中的正方形性质与判定综合题。
《矩形、菱形与正方形》单元教学设计
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第十八章 矩形、菱形与正方形
正方形
01
教学目标
02
新知导入
05
新知探究
04
典例精析
06
课堂练习
03
新知讲解
07
课堂小结
08
作业布置
01
教学目标
通过观察和归纳正方形的性质，学生经历从矩形和菱形出发定义正方形的过程，发展逻辑推理和几何直观能力；
01
在运用正方形的性质解决具体问题的过程中，学生能够有条理地表达推理过程，提升数学表达的规范性；
02
通过讨论三种检验方法的合理性，学生能够从反面思考正方形的判定条件，增强批判性思维和空间观念；
03
学生能够体会正方形与矩形、菱形之间的从属关系，感受一般与特殊的数学思想。
04
02
新知导入
正方形是我们早已熟悉的平面图形，它既是中心对称图形，也是轴对称图形，具有如下性质：
1.四条边都相等；
2.四个角都是直角；
3.对角线相等且互相垂直平分。
03
新知讲解
因此，正方形可以看成：
有一个角是直角的菱形；
有一组邻边相等的矩形。
正方形有几条对称轴？他的对称中心在哪里？
正方形有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线以及两条对边中点连线所在的直线；它的对称中心是两条对角线的交点。
04
典例精析
例1 如图18.3.1，已知正方形。求、、的大小。
分析 由正方形的特殊性质，可知。易证，从而可得同理可得。
请写出完整的解答过程。
解：∵ 四边形是正方形，
∴ （正方形的对角线互相垂直平分）。
∴ 。
04
典例精析
∵ 是正方形，∴ ，，
又 ，∴ （SAS）。∴ 。
又 （正方形的四个角都是直角），
∴ 。
同理，在正方形中，平分，
∴ 。
因此，，，。
05
新知探究
老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务。这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形。这种检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的。按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形。你的意见怎样？
05
新知探究
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
小明不对，四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；小兵不对，对角线相等的四边形不一定是正方形（例如等腰梯形的对角线也相等，矩形对角线也相等但不一定是正方形）；小英不对，对角线互相平分的四边形是平行四边形，四条线段相等只能说明对角线互相平分且相等，得到的是矩形，不一定是正方形。可以同时验证它既是菱形又是矩形，一是先测量四条边是否相等（确保是菱形），再测量其中一个角是否为直角；二是先测量对角线是否相等（确保是矩形），再测量对角线是否互相垂直。
05
新知探究
我们在平行四边形的学习基础上，又探索研究了矩形、菱形、正方形的一些特点。这些几何图形之间的相互关系如图18.3.2所示。矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因而既具有平行四边形的一般性质，又具有它们自己的特殊性质。正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有更多的性质。我们在研究几何图形时，必须关注这种一般与特殊的关系，从而更好地认识各种几何图形，顺利解决各类问题。
06
课堂练习
1.2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛。参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为2m的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　m(结果保留根号)。
解：由题意可得：
正方形的对角线长为，
∴骨架的总长为。
06
课堂练习
2.在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件：________使得矩形是正方形．（只写一个）
解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或，故答案为：（答案不唯一）．
06
课堂练习
3.如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　．
06
课堂练习
解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，∴
06
课堂练习
4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=　 　.
06
课堂练习
解：过点 E 作 于点G，∴∠AGE=90°，
又∵ABCD是正方形， EF⊥AB，∴∠DAB=∠AFE=90°，
∴四边形AFEG为矩形，
为等边三角形，
06
课堂练习
5.如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD 于点 F， 连接EB， 若EB=4， 则FD的长为（　　)
A． B． C． D．
解：∵在正方形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2，
∵将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD于点F，
06
课堂练习
∴CD=CE=4，EF=DF，
∴MN=CD=CE=BE=4，
在Rt△BEN中，EN=，
∴ME=MN-EN=4-，
设EF=DF=a，则MF=2-a，
在Rt△MEF中，，即，
解得a=，∴FD的长为。
06
课堂练习
6.如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（　　）
A． B．16 C．15 D．8
06
课堂练习
解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有
，∵，
∴，
∵两个正方形面积之差为16，
∴，∴，
∴。
06
课堂练习
7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且
求证：CE=CF.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=DC=AD，∠B=∠D.
∵∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，∴BC-BE=DC-DF，
即CE=CF。
07
课堂小结
正方形
定义
边：四条边都相等
角：四个角都是直角
既是矩形又是菱形的四边形
性质
对角线：相等且互相垂直平分
对称性：轴对称图形，中心对称图形
与矩形菱形的关系
有一个角是直角的菱形
有一组邻边相等的矩形
08
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知正方形的面积为x2+4x+4（x>0），则正方形的边长为_______　 　（用含x的代数式表示）.
解：由题意可得：x2+4x+4=(x+2)2，∴正方形的边长为x+2。
2. “正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）．
解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
08
作业布置
3.如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为　 　．
解：∵四边形是正方形，，以为半径作圆弧，交的延长线于点，∴，，
∴，，
∴
。
08
作业布置
4.如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　．
08
作业布置
解：四边形为正方形，且边长为4，
，，，
又，，，
在和中，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
08
作业布置
，
由三角形的面积得：
，
，
，，
．
08
作业布置
5.如图，E是正方形边上一点，连接，过点E作，且，连接交于点G，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
08
作业布置
解：∵，，
∴，
延长到点H，使，连接、，如图，
∵四边形是正方形，
∴
，
∴，
∴，
08
作业布置
∵，
∴，
∵，∴，
∴，∵，，∴，
设，则，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得：
，解得：，即。
08
作业布置
6.如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD上的一点，连结AP，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连结EF.若CE=5，CF=3，则AP 的长为(　　)
A．4 B．5 C． D．
08
作业布置
解：如图，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，∠BCD=90°
∵PD=PD，
在△APD和△CPD中，
∴△APD≌△CPD(SAS)，∴AP=CP，
08
作业布置
∵PE⊥DC， PF⊥BC，
∴∠PFC =∠BCD =∠CEP =90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF，
∴在Rt△CEF中， CE=5， CF =3，
。
08
作业布置
7.如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
【综合实践类作业】
08
作业布置
（1）解：
∵在中，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
08
作业布置
（2）解：结论：四边形是正方形，理由如下：
由（1）得，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，∵，
∴，∴是矩形，
又∵是菱形，∴四边形是正方形．
Thanks!
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18.3正方形 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章
课题 18.3正方形 课时 1课时
课标要求 理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题。
教材分析 本节课是学生在学行四边形、矩形、菱形之后，对特殊平行四边形的最后一种图形进行系统研究。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，教材通过回顾正方形的已有认知，引导学生从边、角、对角线三个维度系统梳理正方形的性质，并通过例题巩固性质的应用。讨论环节设计了三种检验四边形是否为正方形的不同方法，引发学生对判定条件的深入思考。本节课的内容既是对前面所学知识的综合与提升，也为后续解决更复杂的几何问题奠定了基础。
学情分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解图形、符号和几何语言所表达的基本关系。在之前的学习中，他们已经掌握了平行四边形的概念和性质，也经历了矩形性质的学习过程，对研究几何图形的基本思路有了一定了解，但尚未将其系统化地应用于正方形的自主探究中。学生对“正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形”这一双重身份的理解，以及在不同条件下灵活选择判定方法，还需要教师进一步引导。
核心素养目标 1.通过观察和归纳正方形的性质，学生经历从矩形和菱形出发定义正方形的过程，发展逻辑推理和几何直观能力； 2.在运用正方形的性质解决具体问题的过程中，学生能够有条理地表达推理过程，提升数学表达的规范性； 3.通过讨论三种检验方法的合理性，学生能够从反面思考正方形的判定条件，增强批判性思维和空间观念； 4.学生能够体会正方形与矩形、菱形之间的从属关系，感受一般与特殊的数学思想。
教学重点 正方形的性质及其应用。
教学难点 理解正方形与矩形、菱形之间的内在联系，以及从性质到判定的逻辑转换。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 正方形是我们早已熟悉的平面图形，它既是中心对称图形，也是轴对称图形，具有如下性质： 1.四条边都相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线相等且互相垂直平分。 回顾已学知识，说出正方形的边、角、对角线特点。 唤醒学生对正方形的已有认知，为系统梳理性质做铺垫，激发学习兴趣。
二、探究 因此，正方形可以看成： 有一个角是直角的菱形； 有一组邻边相等的矩形。 正方形有几条对称轴？他的对称中心在哪里？ 正方形有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线以及两条对边中点连线所在的直线；它的对称中心是两条对角线的交点。 例1 如图18.3.1，已知正方形。求、、的大小。 分析 由正方形的特殊性质，可知。易证，从而可得 同理可得。 请写出完整的解答过程。 解： ∵ 四边形是正方形， ∴ （正方形的对角线互相垂直平分）。 ∴ 。 ∵ 是正方形， ∴ ，（正方形的对角线平分内角）， 又 ， ∴ （SAS）。 ∴ 。 又 （正方形的四个角都是直角）， ∴ 。 同理，在正方形中，平分， ∴ 。 因此，，，。 讨论 老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务。这种检验可信吗？ 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形。这种检验对吗？ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的。按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形。你的意见怎样？ 你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 小明不对，四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形；小兵不对，对角线相等的四边形不一定是正方形（例如等腰梯形的对角线也相等，矩形对角线也相等但不一定是正方形）；小英不对，对角线互相平分的四边形是平行四边形，四条线段相等只能说明对角线互相平分且相等，得到的是矩形，不一定是正方形。可以同时验证它既是菱形又是矩形，一是先测量四条边是否相等（确保是菱形），再测量其中一个角是否为直角；二是先测量对角线是否相等（确保是矩形），再测量对角线是否互相垂直。 读一读 我们在平行四边形的学习基础上，又探索研究了矩形、菱形、正方形的一些特点。这些几何图形之间的相互关系如图18.3.2所示。 矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因而既具有平行四边形的一般性质，又具有它们自己的特殊性质。 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有更多的性质。 我们在研究几何图形时，必须关注这种一般与特殊的关系，从而更好地认识各种几何图形，顺利解决各类问题。 观察并动手折叠正方形纸片，数出对称轴条数，指出对称中心，验证结论。 独立完成解答过程，与课本比对并纠正书写格式，小组内互批互评。 分组讨论三种检验方法的合理性，举例反驳错误方法，归纳正确的判定条件。 观察包含关系图，用语言描述四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的从属关系。 通过动手操作，直观感受正方形的轴对称和中心对称性，加深对性质的理解。 训练学生规范书写几何推理过程，巩固正方形性质的运用，提升逻辑表达能力。 通过辨析反例，深化对正方形判定条件的理解，培养批判性思维和严谨态度。 帮助学生构建知识网络，理解一般与特殊的逻辑关系，形成结构化的几何认知。
三、尝试 （课堂练习） 1.2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛。参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为2m的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　m(结果保留根号)。 解：正方形的对角线长为， ∴骨架的总长为。 2.在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件：　 　使得矩形是正方形．（只写一个） 解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或，故答案为：（答案不唯一）． 3.如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　． 解：如图所示，过点作于， ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴。 4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=　 　. 解：过点 E 作 于点G， ∴∠AGE=90°， 又∵ABCD是正方形， EF⊥AB， ∴∠DAB=∠AFE=90°， ∴四边形AFEG为矩形， 为等边三角形， 5.如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD 于点 F， 连接EB， 若EB=4， 则FD的长为（　　) A． B． C． D． 解：∵在正方形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点， ∴BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2， ∵将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD于点F， ∴CD=CE=4，EF=DF， ∴MN=CD=CE=BE=4， 在Rt△BEN中， EN=， ∴ME=MN-EN=4-， 设EF=DF=a，则MF=2-a， 在Rt△MEF中，， 即， 解得a=， ∴FD的长为。 6.如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（　　） A． B．16 C．15 D．8 解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∵两个正方形面积之差为16， ∴， ∴， ∴。 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且. 求证：CE=CF. 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=DC=AD，∠B=∠D. ∵∠BAE=∠DAF， ∴△ABE≌△ADF， ∴BE=DF， ∴BC-BE=DC-DF， 即CE=CF。 独立完成练习题，认真审题、规范书写推理过程，完成后同桌互批或小组交流订正。 通过练习巩固正方形性质与判定的应用，检测学生对本节知识的掌握情况，及时发现并纠正问题。
四、总结提升 本节课系统梳理了正方形的所有核心性质：四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分，同时明确了正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。在知识关系上，正方形既可以看成“有一个角是直角的菱形”，也可以看成“有一组邻边相等的矩形”，这体现了它与矩形、菱形之间的从属关系。在判定方法上，仅凭边相等或对角线相等都不足以判定正方形，必须同时满足菱形和矩形的双重条件。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.已知正方形的面积为x2+4x+4（x>0），则正方形的边长为　 　（用含x的代数式表示）. 解：由题意可得：x2+4x+4=(x+2)2，∴正方形的边长为x+2。 2. “正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）． 解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假． 3.如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为　 　． 解：∵四边形是正方形，，以为半径作圆弧，交的延长线于点， ∴，， ∴，， ∴。 4.如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　． 解：四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积得：， ， ，， ． 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，E是正方形边上一点，连接，过点E作，且，连接交于点G，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 解：∵，， ∴， 延长到点H，使，连接、，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴，∵，， ∴， 设，则， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：，即。 6.如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD上的一点，连结AP，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连结EF.若CE=5，CF=3，则AP 的长为(　　) A．4 B．5 C． D． 解：如图，连接PC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，∠BCD=90° ∵PD=PD， 在△APD和△CPD中， ∴△APD≌△CPD(SAS)，∴AP=CP， ∵PE⊥DC， PF⊥BC， ∴∠PFC =∠BCD =∠CEP =90°， ∴四边形PFCE是矩形， ∴PC=EF，∴AP=EF， ∴在Rt△CEF中， CE=5， CF =3， 。 【综合拓展类作业】： 7.如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由． （1）解：∵在中，∴，， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形； （2）解：结论：四边形是正方形，理由如下： 由（1）得，，， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∵， ∴，∴是矩形， 又∵是菱形，∴四边形是正方形．
教学反思 本节课是从学生已有的知识经验出发，通过复习矩形和菱形的性质自然过渡到正方形，学生对正方形同时具有两者的性质理解较为顺畅。学生能够独立完成计算，但在几何推理的书写规范上仍有个别学生不够严谨，需要在后续教学中持续强化。讨论环节是本节课的亮点，三种检验方法的辨析有效激发了学生的思考热情，从而深化了对判定条件的理解。不足之处在于，个别学生在表达“对角线互相垂直平分且相等”时逻辑顺序不够清晰，后续可以设计针对性的填空或判断练习加以巩固。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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