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(共36张PPT)
第十八章 矩形、菱形与正方形
矩形的性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
典例精析
06
课堂练习
04
新知讲解
07
课堂小结
08
作业布置
01
教学目标
通过观察生活中的矩形实物，从具体物体中抽象出矩形的几何图形，明确矩形是特殊的平行四边形，理解矩形与平行四边形的联系与区别；
01
经历从平行四边形性质出发推导矩形性质的过程，证明矩形的四个角都是直角、对角线相等，体会由一般到特殊的逻辑推理方法；
02
能运用矩形的性质解决相关计算问题，提高灵活运用知识解决问题的能力；
03
在探究和解决问题的过程中，发展逻辑推理能力和几何直观，感受数学在生活中的应用价值。
04
02
新知导入
给你一个平行四边形相邻两边的长，你能利用尺规作图作出这个平行四边形吗？相信你能行！如图18.1.1所示，作出那样的平行四边形。现在将你与同伴所作的图形放在一起，仔细看看，发现它们都是平行四边形，相邻两边的长也一样。但似乎又不完全一样——两邻边之间的夹角有大有小。
03
新知探究
我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图18.1.2所示。矩形是有一个角为直角的平行四边形。
矩形是一种特殊的平行四边形。
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称
矩形的特殊性质
作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.1.2所示的矩形，将你的发现填入下表。我们发现，作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线。矩形有几条对称轴？
2条
03
新知探究
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
互相平分
中心对称、轴对称
对边平行且相等
4个角都是直角
相等且互相平分
04
新知讲解
由此，很容易猜想矩形所具有的一些特殊性质：
矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角。
对于性质定理1，如图18.1.3，我们很容易根据矩形的定义和平行四边形角的性质加以证明。
04
新知讲解
性质定理1：矩形的四个角都是直角。
已知：四边形ABCD是矩形，∠A=90°。求证：∠B=∠C=∠D=90°。
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（矩形定义），∴ AD∥BC，AB∥CD，
∴ ∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠A=90°，∴ ∠B=90°，∠D=90°，
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠C=∠A=90°（平行四边形对角相等），∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
04
新知讲解
由此，很容易猜想矩形所具有的一些特殊性质：
矩形的性质定理2 矩形的对角线相等。
对于性质定理2，如图18.1.4，我们可以找到对角线AC、BD分别所在的三角形，借助性质定理1证明这两个三角形全等，从而得到结论。
04
新知讲解
性质定理2：矩形的对角线相等。
已知：四边形ABCD是矩形。求证：AC=BD。
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠DCB=90°（矩形四个角都是直角），AB=DC（平行四边形对边相等），
在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
BC=CB（公共边），
∴ △ABC≌△DCB（SAS），∴ AC=BD。
05
典例精析
例1 如图18.1.5，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？
05
典例精析
解：∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD这四个小三角形周长的和为86cm，
∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD)
=AB+BC+CD+DA+2(AC+BD)=86.
又∵AC=BD=13（矩形的对角线相等），
∴AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-4×13=34(cm).
即该矩形的周长是34cm。
05
典例精析
例2 如图 18.1.6，在矩形 中， =3， =4， ⊥ ，垂足为点 。求 的长。
解：在矩形中，，
又∵
05
典例精析
例3 如图 18.1.7，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，。求、的长。
解 ∵四边形是矩形，
即AC的长为15cm ，AB的长为7.5cm。
06
课堂练习
1.一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　．
解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
06
课堂练习
2.矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为　 　．
解：根据题意画出示意图，假设，
矩形的面积为，
矩形的另一条边长为，
，
矩形的对角线，
故答案为：．
06
课堂练习
3.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是　 　．
解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4,故答案为：4．
06
课堂练习
4. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为　 　．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=DO，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，
且AO=BO，∴△ABO为等边三角形，
∴AO=BO=AB=2.5，∴BD=5，故答案为：5．
06
课堂练习
5.如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　）
A． B．
C． D．
A
06
课堂练习
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO，∵，
∴是等边三角形，∵，AO=BO=3，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO=6，BD=2OB=6，
∴，，∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2，∴，
∴矩形的面积．
06
课堂练习
6.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（　　）
A．6 B．8
C．10 D．12
C
06
课堂练习
解：如图,∵是矩形，，，∴，，再根据折叠性质得：，，
又∵，∴，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：解得：，∴.
06
课堂练习
7.如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形的一角沿AC折叠，求重叠阴影部分△AFC的面积.
解：由折叠可得：∠ACD=∠ACF，∵四边形ABCD是长方形∴∠ACD=∠CAF，∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF
设AF=x，则BF=AB-AF=8-x，CF=AF=x
在Rt△BCF中，BC2+BF2=CF2
即,解得：x=5
∴
07
课堂小结
矩形的性质
定义
对称性：中心对称、轴对称
边：对边平行且相等
有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。矩形是特殊的平行四边形。
性质
角：4个角都是直角
对角线：相等且互相平分
08
作业布置
【知识技能类作业】
1.一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　．
解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m,
故答案为：2m。
08
作业布置
2.如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 　 　．
解：，，
四边形为矩形,
，
为等边三角形，
，
08
作业布置
3.若矩形的面积为12,长和宽的比为 则矩形的周长为　 　 .
解：设这个矩形的长为，宽为，
由题意得,
解得，
∴，
∴该矩形的长为，宽为．
∴该矩形的周长为。
08
作业布置
4. 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为　 　.
解：在矩形ABCD中， =6 ， =10 ，
∴在 △ 中， =102 62=8(cm),
∴ 矩形 = × =8×6=48( 2).
08
作业布置
5.在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）
A． B． C．4 D．
B
08
作业布置
解：过点作，
∵长方形，∴，∵平分，∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，∴，
∵，
∴，解得：，∴.
08
作业布置
6. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（　　）
A．3 B． C． D．
解：连接，，
∵点B的坐标是,
∴，
∵四边形是矩形，∴.
D
08
作业布置
【综合实践类作业】
7.如图，已知在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D.
（1）求证：AD=BC；
（2）若AB=17，AD=2CD=10，求AB与CD间的距离.
08
作业布置
（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB//CD，∴CE⊥CD， DF⊥CD
∴四边形 AECD 是平行四边形.
∴DF=CE，∠FDC=∠ECD=90°，∠AFD=∠BEC=90°，
∵∠BCD=∠ADC，∴BCD-∠ECD=∠ADC-∠FDC，
∴∠BCE=∠ADF,在△ADF和△BCE中，
∴△ADF≌△BCE(ASA),∴AD=BC
08
作业布置
（2）解：∵AB=17，AD=2CD=10，∴CD=5，
∵四边形DCEF为矩形,∴EF=CD=5，
∵△ADF≌△BCE，
∴，
在Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
由勾股定理得：.
故AB与CD间的距离为8.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第18章
课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系，探索并证明矩形的性质定理；2.探索并证明矩形的判定定理，能运用矩形的判定方法解决简单的几何证明和实际问题；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何证明与计算问题；4.理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理，能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题；5.探索并证明菱形的判定定理，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题；6.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题；7.在探索矩形、菱形、正方形性质和判定的过程中，体会从一般到特殊的数学思想，经历观察、猜想、证明的完整探究过程，发展逻辑推理能力和几何直观；8.能运用矩形、菱形、正方形的性质与判定解决综合性的几何问题，体会几何图形性质与判定之间的内在联系。
内容分析 矩形、菱形与正方形这一章是在学生已经掌握了平行四边形的基础上展开的，可以看作是特殊平行四边形的集中学习。本章从矩形开始，通过改变平行四边形的内角引出“有一个角是直角”的特殊情况，再通过改变边的关系引出菱形，最后把两者结合起来得到正方形。整个编排思路很清晰，让学生体会“一般到特殊”的研究方法。每种图形都按照“性质—判定—应用”的路径来学，性质靠观察猜想证明，判定则从性质逆向思考，这样的设计符合学生的认知规律。本章还安排了直角三角形斜边上的中线这一内容，巧妙地借助矩形性质来证明，让学生感受到图形之间的相互转化。本章整体呈现了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑结构，帮助学生形成完整的知识体系，也为后续学习更多特殊图形打下了坚实基础。
学情分析 八年级学生已经学行四边形的概念和性质，对“对边平行且相等”“对角线互相平分”等结论比较熟悉，也具备了一定的几何推理和证明能力。但本章要学习的矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，学生需要从“一般”走向“特殊”，理解“加了什么条件就变成了什么图形”，这对他们来说是一个思维上的进阶。学生在日常生活中对长方形、正方形接触较多，但对菱形和它们之间的从属关系认识不够清晰，容易混淆几种图形的性质和判定条件，比如经常误以为“对角线相等的四边形是矩形”或“四条边相等的四边形是正方形”。而且几何证明的规范性书写仍然是不少学生的薄弱环节，推理步骤跳跃、依据不充分的情况比较常见。教学中要多用对比表格和反例辨析，帮助学生理清知识脉络，同时加强证明过程的训练。
单元目标 （一）教学目标1.经历从平行四边形到矩形的演变过程，理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理和判定定理，体会从一般到特殊的数学思想；2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何问题，感受矩形与直角三角形之间的相互转化；3.经历菱形的折纸操作和观察猜想过程，理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理和判定定理，发展几何直观和逻辑推理能力；4.通过矩形、菱形与正方形的对比学习，理解正方形与它们之间的从属关系，掌握正方形的性质及判定方法，形成知识网络；5.能综合运用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决几何证明与计算问题，提升分析问题和解决问题的能力；6.在探究特殊平行四边形性质和判定的过程中，养成严谨推理、规范书写的习惯，体会几何图形之间的内在联系。（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探究与证明，直角三角形斜边上的中线性质及其逆定理的掌握，三种特殊平行四边形之间的区别与联系。教学难点：从平行四边形到特殊平行四边形的逻辑转化，矩形、菱形、正方形性质和判定定理的综合运用，几何证明中辅助线的构造与规范书写。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1矩形318.2菱形218.3正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1矩形1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，能说出矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理；4.能运用矩形的性质与判定解决简单的几何证明和实际问题。1.能准确说出矩形的定义及其与平行四边形的区别；2.能完成矩形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用直角三角形斜边中线定理解决计算与证明问题；4.能在综合问题中灵活运用矩形的性质和判定。任务1：通过尺规作图发现改变平行四边形内角会得到矩形；任务2：完成矩形性质定理和判定定理的证明；任务3：运用矩形性质解决例题中的几何计算与证明问题；任务4：运用直角三角形斜边中线定理完成课堂练习。18.2菱形1.理解菱形的概念，知道菱形是特殊的平行四边形；2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理；3.能运用菱形的性质与判定解决简单的几何证明和计算问题。1.能准确说出菱形的定义；2.能完成菱形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用菱形性质解决边长、对角线、面积等计算问题。任务1：通过折纸剪裁操作引入菱形概念；任务2：观察图形，归纳猜想菱形的特殊性质；任务3：完成菱形性质定理和判定定理的证明；任务4：运用菱形性质解决例题中的角度、边长和面积计算问题。18.3正方形1.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念和性质；2.掌握正方形的判定方法；3.能运用正方形的性质与判定解决简单的几何证明与计算问题。1.能说出正方形与矩形、菱形之间的从属关系；2.能完整说出正方形的性质并能完成相关计算；3.能判断给定的条件是否足以判定正方形。任务1：回顾并归纳正方形的性质；任务2：辨析三种检验正方形方法的合理性；任务3：完成课堂练习中的正方形性质与判定综合题。
《矩形、菱形与正方形》单元教学设计
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18.1.1矩形的性质 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章
课题 18.1.1矩形的性质 课时 3课时
课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理； 3.能运用矩形的性质进行简单的几何推理和计算，解决与矩形相关的边长、对角线、周长、面积等实际问题。
教材分析 本节课是第十八章《矩形、菱形与正方形》第1节第1课时。本章系统研究矩形、菱形、正方形这三种特殊的平行四边形，而矩形是学生最先接触的一种，在整章中起着基础性和引领性的作用。教材从生活实例引入矩形的概念，引导学生通过观察、猜想、证明逐步揭示矩形的性质，体现了从一般到特殊的数学思想。本节课的内容不仅是对平行四边形知识的深化，也为后续学习矩形的判定以及菱形、正方形的性质与判定奠定了坚实的基础。
学情分析 学生已经掌握了平行四边形的性质，具备了一定的几何推理和计算能力，但对于“特殊平行四边形”的研究方法还不够熟悉，对矩形与平行四边形之间的从属关系理解还不够深入。此外，学生目前已初步具备了观察、猜想、验证的能力，但将矩形性质与勾股定理、面积法等工具综合运用时，思路还不够清晰。八年级学生思维活跃，对生活中的几何图形有较强的兴趣，乐于动手操作和合作探究，这为矩形性质的学习提供了良好的情感基础。
核心素养目标 1.通过观察生活中的矩形实物，从具体物体中抽象出矩形的几何图形，明确矩形是特殊的平行四边形，理解矩形与平行四边形的联系与区别； 2.经历从平行四边形性质出发推导矩形性质的过程，证明矩形的四个角都是直角、对角线相等，体会由一般到特殊的逻辑推理方法； 3.能运用矩形的性质解决相关计算问题，提高灵活运用知识解决问题的能力； 4.在探究和解决问题的过程中，发展逻辑推理能力和几何直观，感受数学在生活中的应用价值。
教学重点 掌握矩形的定义及其性质定理。
教学难点 运用矩形性质定理进行几何证明与计算，解决综合问题。
教学准备 多媒体课件、学习资料。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 试一试 给你一个平行四边形相邻两边的长，你能利用尺规作图作出这个平行四边形吗？相信你能行！如图18.1.1所示，作出那样的平行四边形。 现在将你与同伴所作的图形放在一起，仔细看看，发现它们都是平行四边形，相邻两边的长也一样。但似乎又不完全一样——两邻边之间的夹角有大有小。 学生动手尺规作图，作出给定邻边长的平行四边形，观察比较不同作品，发现夹角不同。 通过作图与对比，引出平行四边形的不稳定性，为引入矩形做铺垫。
二、探究 我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图18.1.2所示。矩形是有一个角为直角的平行四边形。 矩形是一种特殊的平行四边形。 作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.1.2所示的矩形，将你的发现填入下表。 我们发现，作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线。 【提问】矩形有几条对称轴？2条 由此，很容易猜想矩形所具有的一些特殊性质： 矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角。 矩形的性质定理2 ：矩形的对角线相等。 对于性质定理1，如图18.1.3，我们很容易根据矩形的定义和平行四边形角的性质加以证明。 对于性质定理2，如图18.1.4，我们可以找到对角线AC、BD分别所在的三角形，借助性质定理1证明这两个三角形全等，从而得到结论。 【提问】请给出完整的证明过程。 性质定理1：矩形的四个角都是直角。 已知：四边形ABCD是矩形，∠A=90°。求证：∠B=∠C=∠D=90°。 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形（矩形定义）， ∴ AD∥BC, AB∥CD, ∴ ∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵ ∠A=90°, ∴ ∠B=90°,∠D=90°, 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠C=∠A=90°（平行四边形对角相等）， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 性质定理2：矩形的对角线相等。 已知：四边形ABCD是矩形。求证：AC=BD。 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=∠DCB=90°（矩形四个角都是直角），AB=DC（平行四边形对边相等）， 在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°， BC=CB（公共边）， ∴ △ABC≌△DCB(SAS), ∴ AC=BD. 例1 如图18.1.5，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？ 解∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD这四个小三角形周长的和为86cm， ∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD) =AB+BC+CD+DA+2(AC+BD)=86. 又∵AC=BD=13（矩形的对角线相等）， ∴AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD)=86-4×13=34(cm). 即该矩形的周长是34cm。 例2 如图 18.1.6，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E。求BE的长。 解 在矩形中，， 又∵ 例3 如图 18.1.7，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，。求、的长。 解 ∵四边形是矩形， 即的长为，的长为。 学生观察从平行四边形变为矩形的过程，说出矩形的定义，举例生活中常见的矩形物体。 学生观察矩形图形，结合平行四边形性质，分组讨论并填写表格，归纳矩形的特殊性质。 学生独立写出证明过程，同桌互评，教师展示规范证明。 学生先独立审题，尝试分析解题思路，然后小组交流讨论，请学生代表上台板演或讲解解题过程。 引导学生从一般到特殊，理解矩形与平行四边形的从属关系，建立矩形定义的直观认识。 引导学生通过对比发现矩形独有的性质，培养观察、归纳和类比的能力，为后续定理证明做铺垫。 通过完整的几何证明，培养学生逻辑推理能力和规范书写习惯，深化对矩形性质的理解。 通过三个典型例题，让学生在不同情境中运用矩形的性质解决问题，巩固所学知识，提升几何推理和计算能力，体会矩形性质的综合应用。
三、尝试（课堂练习） 1.一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　。 解：长方形的面积为，长为，长方形的宽为． 2.矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为　 　。 解：根据题意画出示意图，假设，矩形的面积为，矩形的另一条边长为， ，矩形的对角线，故答案为：． 3.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是　 　。 解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，故答案为：4． 4.如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为 　 　． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO， ∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5， ∴BD=5，故答案为：5． 5.如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∵，∴是等边三角形，∵，AO=BO=3， ∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO=6，BD=2OB=6， ∴,,∵∠ABC=90°, ∴AB2+BC2=AC2，∴，∴矩形的面积． 6.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 解：如图，∵是矩形，，，∴，，再根据折叠性质得：，， 又∵，∴，∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：解得：，∴. 7.如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形的一角沿AC折叠，求重叠阴影部分△AFC的面积。 解：由折叠可得：∠ACD=∠ACF ∵四边形ABCD是长方形∴∠ACD=∠CAF ∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF 设AF=x，则BF=AB-AF=8-x，CF=AF=x 在Rt△BCF中，BC2+BF2=CF2 即，解得：x=5 ∴ 学生独立完成课堂练习题，教师巡视指导，随后请学生展示答案。 通过课堂练习及时检测学生对矩形性质的理解与掌握情况，发现共性问题并当堂解决，帮助学生巩固所学知识，提高应用能力。
四、总结提升 本节课我们从平行四边形出发，通过改变内角得到特殊的平行四边形——矩形。我们学习了矩形的定义，探究并证明了矩形的两条性质定理。同时明确了矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。通过例题的讲解，我们学会了运用矩形的性质解决与边长、对角线、周长、面积等相关的问题，体会了从一般到特殊的数学思想，以及几何证明中转化与推理的方法。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　。 解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m，故答案为：2m。 2.如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 　 　。 解：，， 四边形为矩形，， 为等边三角形，， 3.若矩形的面积为12，长和宽的比为 则矩形的周长为　 　。 解：设这个矩形的长为，宽为，由题意得，解得， ∴，∴该矩形的长为，宽为．∴该矩形的周长为。 4. 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为　 　。 解：在矩形ABCD中， =6 ， =10 ，∴在 △ 中， =102 62=8(cm),∴ 矩形 = × =8×6=48( 2). 【知识技能类作业】选做题： 5.在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 解：过点作， ∵长方形，∴，∵平分，∴， 由翻折可得，由勾股定理，得：， 设，∴，∵， ∴，解得：，∴. 6. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 解：连接，， ∵点B的坐标是,∴，∵四边形是矩形，∴. 【综合拓展类作业】： 7.如图，已知在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D. （1）求证：AD=BC； （2）若AB=17，AD=2CD=10，求AB与CD间的距离。 （1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F， ∵CE⊥AB, DF⊥AB, AB//CD,∴CE⊥CD, DF⊥CD ∴四边形 AECD 是平行四边形。∴DF=CE，∠FDC=∠ECD=90°，∠AFD=∠BEC=90°， ∵∠BCD=∠ADC,∴∠BCD-∠ECD=∠ADC-∠FDC, ∴∠BCE=∠ADF，在△ADF和△BCE中， ∴△ADF≌△BCE(ASA),∴AD=BC （2）解：∵AB=17，AD=2CD=10，∴CD=5， ∵四边形DCEF为矩形，∴EF=CD=5， ∵△ADF≌△BCE,∴, 在Rt△ADF中，AD=10，AF=6，由勾股定理得：. 故AB与CD间的距离为8.
教学 反思 本节课整体教学效果较好，学生能够理解矩形的定义及其与平行四边形的关系，对矩形性质的掌握也比较扎实。但在定理证明的规范性和例题中综合运用知识的能力方面，部分学生还存在不足，需要在后续教学中继续强化。课堂互动较为积极，但时间分配上还有优化空间，后续要注意兼顾全体学生的接受程度。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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