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四川泸州市2025-2026学年高三下学期质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等差数列，若，，则其公差为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的离心率为，则其长轴长为( )
A. B. C. D.
5.已知函数是奇函数，当时，，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.某导航机器人团队，调研组不同避障阈值单位：灵敏度与路径规划耗时单位：得到的数据如下表：
避障阈值
规划耗时
由表中数据可知，规划耗时与避障阈值之间存在较强的线性相关关系，其经验回归方程是，则规划耗时数据，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B.
C. 的图象关于点对称 D. 在上的最小值为
10.若是正四棱台的棱上的动点包括端点，则( )
A. 存在点，使得平面
B. 直线与异面
C. 平面平面
D. 若，则平面平面
11.设抛物线的焦点为，点在上，点在圆上，则( )
A. 的最小值为
B. 对任意点，总存在两点满足
C. 若直线与相切，则被所截得的弦长为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，满足，则，的夹角为 ．
13.设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为 ．
14.已知圆台的下底面半径是上底面半径的倍，母线长为，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
已知，，求边上的高．
16.本小题分
已知函数，其中．
当时，求函数的极小值；
当时，恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面侧面，侧面为矩形，，，点在棱上，且平面．

求证：；
若三棱锥的体积为，点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线经过点，为的右焦点．
求的标准方程；
过点的直线与的右支交于，两点，设点关于轴的对称点为．
已知，求的方程；
设的外接圆圆心为，证明：直线的斜率与的斜率之积为定值．
19.本小题分
在一个盒子中，装有个大小相同的小球，小球上的编号依次为，，，，，现从中有放回地依次随机抽取小球若干次，每次仅抽取个小球并记录小球上的编号．记为第次抽取后出现的编号种类数例如，依次抽取次，小球编号分别为，，，于是
求的概率；
记为第次抽取后出现的编号中的最小编号，为第次抽取后出现的编号中的最大编号．
若的概率不超过，求的最小值；
设，，的数学期望分别为，，，探究是否存在正整数和正整数，使得，，成等差数列．若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，由正弦定理得，
所以，即，
整理可得，中，
所以，且，所以；
由，则，即，
所以负值舍，设边上的高为，则，
所以．

16.解：当时，函数，求导得：
，
令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
是极小值点，代入函数得．
恒成立，
，不等式化为，
整理得，，问题转化为，
令，则，
，令分子为，化简得
，整理得，
，，故，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得最大值：，
当时，，时，
且对所有，成立；
当时，处，不满足条件，
的取值范围为．

17.解：在三棱柱中，连接，连接，
由平面，平面平面，平面，得，
由四边形为平行四边形，得是线段中点，因此是线段的中点，
所以．
由侧面为矩形，得，而平面平面，平面平面，
平面，则平面，过点作交于，
于是平面，在中，，，
则，，
解得，由得，令边上的高为，
由，得，在平面内过作，由得平面，
则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
又点为的中点，则，
，
设平面与平面的法向量分别为，
则，取，得，
，取，得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：由双曲线经过点，得，
由为的右焦点，得，联立解得，
所以双曲线的标准方程为．
显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，
点，由消去得，
，，，
由点关于轴的对称点为，得直线的斜率之和为，即，
则，整理得，
因此，而，解得，
即直线过定点，
则，
整理得，而，解得，此时，，
直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
线段的垂直平分线方程为，
即，同理线段的垂直平分线方程为，
设点，而，则，
，即，即，
因此直线的斜率，而直线的斜率，则，
所以直线与直线的斜率之积是定值．

19.解：由题意知，从个不同的小球中有放回的抽取次，基本事件总数为，
事件表示抽取后出现的编号种类数为，即两次抽取小球的编号不同．
所以第一次抽取有种可能，第二次抽取和第一次抽取编号不同，则第二次抽取有种可能，
故满足条件的事件数为．
所以．
表示前次抽取的编号里的最小编号大于等于，即前次抽取的编号均大于等于．
每次抽取的编号大于等于的编号仅有，，，，中的和
故每次抽取的编号大于等于的概率为．
又有放回抽取，每次抽取概率相互独立，
故．
由题意知，，
令，则，不满足题意．
令，则，不满足题意．
令，则，满足题意．
故的最小值为．
可能的取值为，，，，．
因为有放回抽样，
故前次抽取的编号均大于等于的概率为．
所以，
，
，
，
．
故．
可能的取值为，，，，
则前次抽取的编号均小于等于的概率为．
所以，
，
，
，
，
故，
所以．
又连续抽次，编号未被抽到的概率为，则编号被抽到过的概率为．
记事件为连续抽次，编号被抽到过，则
所以．
若，，成等差数列，
则，
即，
化简得．
当时，，化简得，，满足题意．
当时，，化简得，，不满足题意．
当时，函数在正整数集上单调递增，
则，，
所以当时，．
令，则．
化简得，此时的值不为正整数，不满足题意．
综上，存在满足条件的正整数，其值为．

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