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分课时学案
课题 18.1.1矩形的性质 单元 18 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过观察生活中的矩形实物，从具体物体中抽象出矩形的几何图形，明确矩形是特殊的平行四边形，理解矩形与平行四边形的联系与区别； 2.经历从平行四边形性质出发推导矩形性质的过程，证明矩形的四个角都是直角、对角线相等，体会由一般到特殊的逻辑推理方法； 3.能运用矩形的性质解决相关计算问题，提高灵活运用知识解决问题的能力； 4.在探究和解决问题的过程中，发展逻辑推理能力和几何直观，感受数学在生活中的应用价值。
重点 掌握矩形的定义及其性质定理。
难点 运用矩形性质定理进行几何证明与计算，解决综合问题。
教学过程
导入新课 试一试 给你一个平行四边形相邻两边的长，你能利用尺规作图作出这个平行四边形吗？相信你能行！如图18.1.1所示，作出那样的平行四边形。 现在将你与同伴所作的图形放在一起，仔细看看，发现它们都是平行四边形，相邻两边的长也一样。但似乎又不完全一样——两邻边之间的夹角有大有小。
新知讲解 我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图18.1.2所示。矩形是有一个角为直角的平行四边形。 矩形是一种特殊的平行四边形。 作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.1.2所示的矩形，将你的发现填入下表。 我们发现，作为特殊的平行四边形，矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线。 【提问】矩形有几条对称轴？ 由此，很容易猜想矩形所具有的一些特殊性质： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________对于性质定理1，如图18.1.3，我们很容易根据矩形的定义和平行四边形角的性质加以证明。 对于性质定理2，如图18.1.4，我们可以找到对角线AC、BD分别所在的三角形，借助性质定理1证明这两个三角形全等，从而得到结论。 【提问】请给出完整的证明过程。 性质定理1：矩形的四个角都是直角。 已知：四边形ABCD是矩形，∠A=90°。求证：∠B=∠C=∠D=90°。 性质定理2：矩形的对角线相等。 已知：四边形ABCD是矩形。求证：AC=BD。 例1 如图18.1.5，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？ 例2 如图 18.1.6，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E。求BE的长。 例3 如图 18.1.7，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，。求、的长。
巩固训练 1.一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　。 2.矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为　 　。 3.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是　 　。 4.如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为　 　． 5.如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　） A． B． C． D． 6.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 7.如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形的一角沿AC折叠，求重叠阴影部分△AFC的面积。
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　。 2.如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 　 　。 3.若矩形的面积为12，长和宽的比为 则矩形的周长为　 　。 4. 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为　 　。 【知识技能类作业】选做题： 5.在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 6. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 【综合拓展类作业】： 7.如图，已知在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D. （1）求证：AD=BC； （2）若AB=17，AD=2CD=10，求AB与CD间的距离。
答案：
1.一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为　 　。
解：长方形的面积为，长为，长方形的宽为．
2.矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为　 　。
解：根据题意画出示意图，假设，矩形的面积为，矩形的另一条边长为，
，矩形的对角线，故答案为：．
3.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是　 　。
解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝2，∴OA＝OB＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，故答案为：4．
4.如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为
　 　．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO，
∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5，
∴BD=5，故答案为：5．
5.如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　）
A． B． C． D．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，∵，∴是等边三角形，∵，AO=BO=3，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO=6，BD=2OB=6，
∴,,∵∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2，∴，∴矩形的面积．
6.如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：如图，∵是矩形，，，∴，，再根据折叠性质得：，，
又∵，∴，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：解得：，∴.
7.如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形的一角沿AC折叠，求重叠阴影部分△AFC的面积。
解：由折叠可得：∠ACD=∠ACF
∵四边形ABCD是长方形∴∠ACD=∠CAF
∴∠ACF=∠CAF,∴AF=CF
设AF=x，则BF=AB-AF=8-x，CF=AF=x
在Rt△BCF中，BC2+BF2=CF2
即，解得：x=5
∴
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是　 　。
解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m，故答案为：2m。
2.如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为 　 　。
解：，，
四边形为矩形，，
为等边三角形，，
3.若矩形的面积为12，长和宽的比为 则矩形的周长为　 　。
解：设这个矩形的长为，宽为，由题意得，解得，
∴，∴该矩形的长为，宽为．∴该矩形的周长为。
4. 已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为　 　。
解：在矩形ABCD中， =6 ， =10 ，∴在 △ 中， =102 62=8(cm),∴ 矩形 = × =8×6=48( 2).
【知识技能类作业】选做题：
5.在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）
A． B． C．4 D．
解：过点作，
∵长方形，∴，∵平分，∴，
由翻折可得，由勾股定理，得：，
设，∴，∵，
∴，解得：，∴.
6. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（　　）
A．3 B． C． D．
解：连接，，
∵点B的坐标是,∴，∵四边形是矩形，∴.
【综合拓展类作业】：
7.如图，已知在四边形 ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D.
（1）求证：AD=BC；
（2）若AB=17，AD=2CD=10，求AB与CD间的距离。
（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，
∵CE⊥AB, DF⊥AB, AB//CD,
∴CE⊥CD, DF⊥CD
∴四边形 AECD 是平行四边形。
∴DF=CE，∠FDC=∠ECD=90°，∠AFD=∠BEC=90°，
∵∠BCD=∠ADC,
∴∠BCD-∠ECD=∠ADC-∠FDC,
∴∠BCE=∠ADF，在△ADF和△BCE中，
∴△ADF≌△BCE(ASA),∴AD=BC
解：∵AB=17，AD=2CD=10，
∴CD=5，
∵四边形DCEF为矩形，
∴EF=CD=5，
∵△ADF≌△BCE,∴,
在Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
由勾股定理得：.
故AB与CD间的距离为8.
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