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分课时学案
课题 18.1.2.1矩形的判定 单元 18 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，掌握演绎推理的基本方法； 2.通过动手作图，观察图形特征，建立几何直观； 3.从矩形的性质中抽象出判定条件，体会性质与判定的互逆关系； 4.能够运用矩形的判定方法解决简单的几何问题和实际问题。
重点 矩形判定定理的探究与证明。
难点 矩形判定定理的证明思路及辅助线的运用。
教学过程
导入新课 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是不是矩形。除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？ 矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质： 1.四个角都是直角； 2.两条对角线相等。 这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
新知讲解 让我们先思考有关的角。由矩形的性质“四个角都是直角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形。的确如此，但是，条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？ 试一试 如图18.1.8，作一个三个角都是直角的四边形。 作法： （1）任意作两条互相垂直的线段； （2）过点作垂直于的直线； （3）过点作垂直于的直线，与直线相交于点。 四边形即为所要求作的四边形。 观察你所作的图形，它是一个矩形吗？ 由此可以得到判定矩形的一种方法： 矩形的判定定理1： 【提问】你能证明这个结论吗？ 思考 现在让我们再思考有关的线段。 “对角线相等”是矩形所特有的性质。那么从对角线的角度，你可以得到关于矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行。 由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形。” 试一试 如图18.1.9，作一个对角线相等的平行四边形。 作法： （1）任意作两条相交的直线，交点记为； （2）以点为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； （3）顺次连结所得的四点。 四边形的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形。 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是不是矩形。 由此可以得到判定矩形的另一种方法： 矩形的判定定理2： 下面我们用演绎推理进行证明。 已知：如图18.1.10，四边形是平行四边形， 求证：四边形是矩形。 例5 如图18.1.12，四边形是由两个全等的正三角形组成的，分别为的中点。求证：四边形是矩形。 例6 如图18.1.13，在中，，垂足为点的外角的平分线，，交于点。求证：四边形是矩形。
巩固训练 1.如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　 　（只添一个即可），使ABCD是矩形 2.如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是　 　 3.如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形 交 于点 ．则 的长为　 　 4.木工师傅要做一张长方形的桌面完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面　 　（填“合格”或“不合格”） 5.如图，中，为钝角，以为边向外作为钝角，连结．设的面积分别为，则的面积可表示为（　　） A． B． C． D． 6.如图，以钝角三角形 ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为S，S1，S2，若要求出的值，只需知 (　　) A．△ABE的面积 B．△ACD 的面积 C．△ABC的面积 D．矩形 BCDE 的面积 7.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H. （1）求证：四边形 AGPH 是矩形 （2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.中，点分别为边的中点，于点于点，若，则　 　 2.将Rt沿斜边AB向右平移得到与DF交于点，延长AC，EF交于点，连结GH．若，则AE的长为　 　 3.将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝1，则AD＝　 　． 4.如图，在中，，点边上的一点（异于两点），过点分别作边的垂线，垂足分别为，连接，则的最小值是 　 　 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长 6.在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）当平分时，若，求的长
答案：
1.如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　 　（只添一个即可），使ABCD是矩形
解：添加AC=BD，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定平行四边形ABCD是矩形；故答案为：AC=BD（答案不唯一）
2.如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是　 　
解：要使成为矩形，需要添加的条件是，理由如下：∵四边形是平行四边形，，∴为矩形，故答案为：（答案不唯一）
3.如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形 交 于点 ．则 的长为　 　
解：四边形是平行四边形，，
是等边三角形，
平行四边形是矩形，
，则，
在中，，即，解得（不符题意，舍去），
故答案为：.
4.木工师傅要做一张长方形的桌面完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面　 　（填“合格”或“不合格”）
解：不合格，理由：，
即：，
四边形ABCD不是矩形，这个桌面不合格
故答案为：不合格
5.如图，中，为钝角，以为边向外作为钝角，连结．设的面积分别为，则的面积可表示为（　　）
A． B．
C． D．
解：如图，过点，交的延长线于，过，交，过点，
∵四边形是平行四边形，
，
，∴四边形是矩形，
，∵的面积分别为，∴，故答案为：C．
6.如图，以钝角三角形 ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为S，S1，S2，若要求出的值，只需知 (　　)
A．△ABE的面积 B．△ACD 的面积
C．△ABC的面积 D．矩形 BCDE 的面积
解：如图，过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F.
∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE=∠BEG=90°，BC∥ED，BE∥CD，BC=ED，BE=CD.
∵AG⊥ED∴AF⊥BC∠FGE=90°
∴四边形BFGE是矩形，∴AG∥BE∥CD，FG=BE=CD，
∴S-S1-S2=ED·AG-BE·EG-CD·DG=ED·AG-FG·ED=ED·AF=BC·AF=S△ABC
∴只需知道S△ABC，就可以求出S-S1-S2的值故选C.
7.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.
（1）求证：四边形 AGPH 是矩形
（2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
（1）证明：AC=9 AB=12 BC=15，∴ AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴ AC2+AB2=BC2∴ ∠A=90°.
∵ PG⊥AC，PH⊥AB，∴ ∠AGP=∠AHP=90°，∴ 四边形AGPH是矩形；
（2）解：存在 理由如下：
连结AP，∵ 四边形AGPH是矩形，
∴ GH=AP，∵ 当AP⊥BC时AP最短，
∴ 9x12=15AP，∴AP=，∴GH长的最小值为.
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.中，点分别为边的中点，于点于点，若，则　 　
解：连接，过点D作于H，
∵点分别为边的中点，∴，
∵∴∴
∴四边形为矩形，∴，
∵∴∴∵
∴，∴，故答案为：2．
2.将Rt沿斜边AB向右平移得到与DF交于点，延长AC，EF交于点，连结GH．若，则AE的长为　 　
解：如图，连接CF.
四边形CHFG是平行四边形
是矩形，
四边形ADFC是平行四边形
，故答案为：8.
3.将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝1，则AD＝　 　．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
∵矩形ABCD折叠，AB落在AD上，AE为折痕，
∴∠AB'E90°BEB'E∠BAE∠B'AE45°
∴四边形ABEB为正方形，四边形CDB'E为矩形，
∴CDB'EB'DCE1BECD∵DEEF
∴Rt△BEF≌Rt△CDEHL∴BFCE1
∵BE边折起，使点B落在AE上的点G处，
∴GFBF1∠EGF∠B90°∴AFGF
∴ABAF+BF+1∴AB'AB+1
∴AD＝AB'+B'D＝+2，故答案为：+2．
4.如图，在中，，点边上的一点（异于两点），过点分别作边的垂线，垂足分别为，连接，则的最小值是 　 　
解：如图，连接．在中，，
四边形是矩形，，
当时，的值最小，此时的最小值，
的最小值为，故答案为：．
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求线段的长
（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，∴，
∴
在中，，
在中，．
6.在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，，连结．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当平分时，若，求的长
（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴．∴四边形是平行四边形，
∵，∴．∴四边形是矩形；
（2）由（1）得：四边形是矩形，∴
∵平分，∴，∵，∴，
∴∴∴∴
∵由勾股定理，得．∴
∴由勾股定理，得．
【综合拓展类作业】：
7.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F．AE与BF交于G．
（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH．求证：四边形ABHE是矩形
（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD．
证明：（1）如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，AB＝CD，
∵CH＝DE，∴CH＋CE＝DE＋CE，即EH＝CD，
∴四边形ABHE是平行四边形，∵AE⊥CD，
∴∠AEH＝90°，∴平行四边形ABHE是矩形
（2）连接BK，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBCADBC∴∠AFB∠CBF
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB∠ABF∴ABAF
∵AEAF∴AEAB
由（1）得：四边形ABHE是矩形，
∴∠ABH∠BHE90°AEBH
∴∠BHK90°ABBH∵ABCDAE⊥CD
∴AE⊥AB∴∠BAG90°
在△BHK和△BAG中，
∴△BHK≌△BAGSAS∴∠HBK∠ABG
∴∠HBK∠HBF∠ABG∠HBF∠ABH90°
∵∠CBK∠CBF90°∠K∠HBK90°
∴∠CBK∠K∴CKCB∴CKAD．
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