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分课时学案
课题 18.1.2.2 直角三角形斜边上的中线 单元 18 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.在观察矩形分割的过程中，培养直观想象能力，能从图形变化中发现数量关系； 2.经历“猜想—证明—应用”的完整过程，提升逻辑推理素养，掌握几何定理的证明方法； 3.通过性质与逆命题的对比学习，体会数学知识的对称性与内在联系； 4.运用定理解决具体问题，发展数学抽象与模型意识。
重点 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理。
难点 逆定理的证明思路及辅助线的构造方法。
教学过程
导入新课 拿一张直角三角形纸片Rt△ABC，∠C = 90°。 沿斜边AB上的中线CD翻折，观察点A与点B是否重合？ 如果任意画一个直角三角形，斜边上的中线是否都等于斜边的一半？
新知讲解 思考 我们已经知道，矩形的两条对角线相等且互相平分，如图18.1.14①所示。在矩形中，。 若擦去半个矩形，如图18.1.14②，即斜边上的中线，由此，你能发现与斜边的关系吗？ 例7 如图18.1.15，在中，为斜边上的中线。求证： 将补成矩形，即可得到要求证的结论。 由此，我们得到直角三角形的一个性质： 定理： 试一试 写出上述结论的逆命题，观察图18.1.17，试判断该逆命题是否成立。 图18.1.17中，。即边上的中线将整个三角形分成了两个等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明的和为，即该三角形确实是一个直角三角形。 试写出完整的证明过程。 已知：在△ABC中，D是AB中点，CD=AD=BD。求证：∠ACB=90°。 于是有：
巩固训练 1.如图， 在△ABC中， 已知∠C=90°， AB=16， 则AB边上的中线CD=　 　． 2.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，D是AB 的中点， 则 CD的长为　 　． 3.直角三角形斜边上的中线长为5，则此直角三角形斜边长为　 　． 4.在中，，点的中点，则的长为　 　． 5.在直角三角形中，两条直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的中线长为（　　）cm. A． B．2 C． D．3 6.如图， 在菱形ABCD中， ∠ABC=60°， E是BC的中点， F是DE上一点且满足BF⊥CF， 则 （　　） A． B． C． D． 7.如图，在中，的中点，于点，连接，有． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积．
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.已知直角三角形的两条直角边长为3、4，则斜边上的中线长为　 　. 2.已知两边的长分别为3和4，若要组成一个直角三角形，则斜边的中线长为　 　. 3.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH=2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为　 　. 4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，在BC下方有一点D，∠DBC=42°，且则∠BDC的度数为　 　. 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，菱形的对角线交于点，点的中点，连接，若，则的长为（　　） A．4 B．3 C． D． 6.如图，在△ABC中，D是AB的中点，BE⊥AC于点E。若DE=5，AE=8，则BE的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【综合拓展类作业】： 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F(不在正方形的顶点上)分别在AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF. （1）求证： △ADE≌△CDF. （2）已知AG，CH 分别是△ADE的高线和△CDF的中线，若∠DAG=58°， 求∠DCH 的度数.
答案：
1.如图， 在△ABC中， 已知∠C=90°， AB=16， 则AB边上的中线CD=　 　．
解：∵CD是斜边上中线，∴，故答案为：8.
2.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，D是AB 的中点， 则 CD的长为　 　．
解：在Rt△ABC中，D是AB的中点,∴CD=AB=6,故答案为：6
3.直角三角形斜边上的中线长为5，则此直角三角形斜边长为　 　．
解：直角三角形斜边上的中线长为5，此直角三角形斜边长为.
4.在中，，点的中点，则的长为　 　．
解：在中，，点的中点，
∴是斜边上的中线，又∵，
∴，故答案为：．
5.在直角三角形中，两条直角边长分别为3cm和4cm，则斜边上的中线长为（　　）cm.
A．4 B．3 C． D．
解：由勾股定理得：直角三角形的斜边长，∴斜边上的中线长为
6.如图， 在菱形ABCD中， ∠ABC=60°， E是BC的中点， F是DE上一点且满足BF⊥CF， 则 （　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H=90°
∴△DCH和△DEH都是直角三角形
∵E是BC的中点,∴设BE=CE=a
∴BC=BE+CE=2a,∵四边形ABCD是菱形
∴CD=BC=2a，AB∥CD,
∵∠ABC=60°,∴∠DCH=∠ABC=60°
在Rt△DCH中，∠CDH=90°-∠DCH=30°
∴,∴
∵BF⊥CF,∴∠BFC=90°,∴△BFC是直角三角形
∵E是BC的中点,∴,∴
7.如图，在中，的中点，于点，连接，有．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形，
∵在中，点D是斜边的中点，∴，∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形∴，
∵点D是的中点，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，
∴，∴．
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.已知直角三角形的两条直角边长为3、4，则斜边上的中线长为　 　.
解：直角三角形的斜边c=，故斜边上的中线长为2.5.故答案为：2.5.
2.已知两边的长分别为3和4，若要组成一个直角三角形，则斜边的中线长为　 　.
解：①3和4为直角边，则斜边c=，故斜边的中线为2.5；
②若4为斜边，则斜边的中线长为2；综上所述，斜边的中线长为2或2.5.
3.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH=2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为　 　
解：∵菱形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OF=4，
∵菱形ABCD的面积为12，∴，
解之：AC=6，∴OA=3，∴.
4.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，在BC下方有一点D，∠DBC=42°，且则∠BDC的度数为　 　.
解：取的中点，连接，
∵的中点，
∴ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即，
∴（等腰三角形两底角相等），
在中，根据三角形内角和为，
可得，
∵，∴，
又∵，且，∴，
∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形），
∴，
又∵，∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴ 在中，，
∴，故答案为：
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，菱形的对角线交于点，点的中点，连接，若，则的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．
解：∵菱形中，，
∴，
∵，∴，
∴，
∵M为的中点，∴．
6.如图，在△ABC中，D是AB的中点，BE⊥AC于点E。若DE=5，AE=8，则BE的长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：∵ BE⊥AC，D为AB的中点,∴，
由勾股定理得，。
【综合拓展类作业】：
7.如图，在正方形ABCD中，点E，F(不在正方形的顶点上)分别在AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF.
（1）求证： △ADE≌△CDF.
（2）已知AG，CH 分别是△ADE的高线和△CDF的中线，若∠DAG=58°， 求∠DCH 的度数.
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，∴；
（2）解：的高线，
∴，即．
∵．
斜边上的中线，，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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