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分课时学案
课题 18.2.1菱形的性质 单元 18 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过折纸活动观察菱形的形成过程，建立菱形与矩形之间的图形关联，发展空间观念； 2.经历“观察—猜想—证明”的完整探究过程，体会几何研究的逻辑思路； 3.在性质定理的证明中运用等腰三角形和平行四边形的已有知识，提升几何推理能力； 4.通过课本中的实际情境，感受菱形性质在生活中的应用价值。
重点 菱形的性质定理以及证明。
难点 菱形的性质定理运用。
教学过程
导入新课 做一做 将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图18.2.1所示的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
新知讲解 这就是另一种特殊的平行四边形，即菱形。 如图18.2.2，菱形是有一组邻边相等的平行四边形。 思考 作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质。观察图18.2.2所示的菱形，将你的发现填入下表。 如图18.2.3，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线。 【提问】菱形有几条对称轴？对称中心在哪里？ 由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质： 菱形的性质定理1： 菱形的性质定理2： 对于性质定理1，如图18.2.4，我们很容易根据菱形的定义和平行四边形的性质加以证明。 对于性质定理2，如图18.2.5，我们可以依据性质定理1，找到其中的等腰三角形，由“等腰三角形的三线合一”得到结论。 请给出完整的证明过程。 性质定理1：菱形的四条边都相等。 已知：如图18.2.4，四边形 是菱形，即 是平行四边形，且 （一组邻边相等）。 求证：。 性质定理2：菱形的对角线互相垂直。 已知：如图18.2.5，四边形 是菱形，对角线 与 相交于点 。 求证：。 例1 如图18.2.6，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B。试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形。 菱形的应用非常广泛。有一种衣帽架，如图18.2.7所示，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用。 例2 如图18.2.8，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O。求这个菱形的两条对角线AC和BD的长。（保留根号） 例3 如图18.2.9，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E。求∠BCD的大小。
巩固训练 1.菱形的两条对角线长分别是6和 8，则菱形的周长为　 　。 2.在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若 的面积为5，则菱形ABCD 的面积为　 　。 3.如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则　 　。 4.如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　。 5.如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．不确定 6.如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（　　） A． B．4 C． D． 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.已知一菱形的边长为4，则其周长为　 　。 2.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=　 　。 3.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F 的左侧)，且EF=1，则DE+BF的最小值为　 　。 4.如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为　 　。 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE=DE，若∠ADE=2∠ODE，则∠CDE的度数为（　　） A．60° B．64° C．70° D．72° 6.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（　　） A．48 B．72 C．96 D．108 【综合拓展类作业】： 7.如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积。
答案：
1.菱形的两条对角线长分别是6和 8，则菱形的周长为　 　。
解：设菱形 的对角线 =8， =6，对角线相交于点 。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴ = =×8=4， = =×6=3，且∠ =90°。
在 中，由勾股定理得 =5。
∵菱形的四条边长度相等，
∴菱形的周长为4× =4×5=20
2.在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若 的面积为5，则菱形ABCD 的面积为　 　。
解：∵ABCD为菱形,O为AC、BD的交点
∴,∴
3.如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则　 　。
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
4.如图，菱形ABCD中， AC交BD于点O， 于点E，连接OE， 则OE的长为　 　。
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵
∴OB=，∴BD=12，
∵于点E，∴OE=
5.如图，在菱形中，E，F分别是，的中点，，则的长为（　　）
A．60° B．64° C．70° D．72°
解：在菱形中，,∴，
∵E，F分别是，的中点，∴。
6.如图所示，已知四边形为菱形，点为边上的一点，连接，将线段沿折叠后点与点恰好重合在一起．已知菱形的边长为4，则线段的长为（　　）
A．48 B．72 C．96 D．108
解：四边形是菱形，，
线段沿折叠后点与点恰好重合在一起，
，，
，
。
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．
（1）证明： ∵ 菱形ABCD∴AD∥BC ，AD=BC
∵CF=BE,∴BC=EF
∴AD∥EF，AD=EF
∴四边形AEFD是平行四边形
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°
∴平行四边形AEFD是矩形
（2）根据题意可知∠ABE=∠DCF，AB=CD，CF=BE
∴△ABE≌△DCF (SAS)
∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形
AC=4，AO=2，AB=4，
由菱形的对角线互相垂直可得BO=
矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
=
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
1.已知一菱形的边长为4，则其周长为　 　。
解：菱形的周长为．
2.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为12和16，则这个菱形ABCD的面积S=　 　。
解：根据菱形面积公式，计算如下：。
3.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F 的左侧)，且EF=1，则DE+BF的最小值为　 　。
解：如图， 作DM∥AC， 使得DM=EF =1， 连接BM交AC于F，
∵DM =EF，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE=FM，
∴DE+BF =FM+FB= BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形， AB=3， ∠BAD=60°
∴AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=3，
在Rt△BDM中，
∴DE+BF的最小值为
4.如图，在菱形中，对角线与相交于点O．已知，，则的长为　 　。
解：∵在菱形中，，，
∴，，，
∴．
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE=DE，若∠ADE=2∠ODE，则∠CDE的度数为（　　）
A．60° B．64° C．70° D．72°
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD并且互相平分，
∴∠ADO=∠CDO，
在Rt△AOD中，∵ AE=DE ，∴∠DAO=∠ADE，
∵ ∠ADE=2∠ODE ，设∠ODE=x，∠DAO=∠ADE=2x，
∴x+2x+2x=90°，解得x=18°，
∴∠ADO=∠CDO=54°，∴∠CDE=∠CDO+∠ODE=72°
6.如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（　　）
A．48 B．72 C．96 D．108
解：在菱形中，∴BO=DO，AO=CO，
∵，∴在Rt△BHD中，O为BD中点，
∴，∴，
∵，∴，
∴菱形的面积=。
【综合拓展类作业】：
7.如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求菱形的面积。
（1）证明：∵四边形是菱形，∴，
又∵，∴是等边三角形，
∵E是的中点，∴，∴，
∵E、F分别是、的中点，∴，，
∵四边形是菱形，∴且，
∴且，则四边形是平行四边形，
又∵，∴四边形是矩形；
（2）解：∵是等边三角形，，
∴．
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