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分课时学案
课题 18.2.2菱形的判定 单元 18 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过对菱形判定定理的探究，学生经历从特殊到一般的归纳过程，发展几何直观和抽象能力； 2.在猜想、作图、验证和证明等活动中，逐步形成逻辑推理能力； 3.通过对比不同判定方法的适用条件，体会数学知识之间的内在联系； 4.在小组交流与辨析中，敢于提出自己的猜想并尝试论证，逐步形成严谨求实的科学态度。
重点 菱形判定定理的探究。
难点 菱形判定定理的探究与应用。
教学过程
导入新课 我们已经知道,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,这是菱形的定义.我们可以根据定义来判定一个四边形是不是菱形.除此之外,还能找到其他的判定方法吗 菱形是特殊的平行四边形,具有如下性质: 1.四条边都相等; 2.两条对角线互相垂直. 这些性质,对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢
新知讲解 思考 对于一般的四边形,如何寻找判定它是不是菱形的方法呢 由菱形的性质“四条边都相等”,你可能会想到:如果一个四边形的四条边都相等,那么它肯定是一个菱形.试着画一画,与周围的同学讨论,猜一猜结论是否成立. 试一试 如图18.2.10,作一个四条边都相等的四边形. 作法: 1.作两条相等的线段AB、AD; 2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径作弧,两弧相交于点C; 3.连结BC、CD. 四边形ABCD即为所要求作的四边形. 观察你所画的图形,它是菱形吗 由此我们可以得到判定菱形的一种方法: 菱形的判定定理1： 你能证明这个结论吗？ 已知：在四边形 中，。 求证：四边形 是菱形。 例4 如图18.2.11,在矩形ABCD中,点E,F,G,H分别是四条边的中点.试问:四边形EFGH是什么图形 并说明理由. 分析 四边形EFGH的四条边分别属于矩形四个角上的三角形,如果能够证明这四个三角形全等,那么就可以利用菱形的判定定理1,得出四边形EFGH是菱形. 你能说出完整的证明过程吗？ 思考 “对角线互相垂直”是菱形所特有的性质.那么从对角线的角度,你可以得到关于菱形判定的什么猜想 和你的同伴交流一下,看看你们的想法是否一致、可行. 由此,我们可以得到一个猜想:“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.” 探索 如图18.2.12,取两根长度不等的细木棒,让这两个细木棒的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道,这样得到的四边形是平行四边形.转动其中一根木棒,重复上面的做法,当两根木棒之间的夹角等于90°时,得到的是什么图形呢 试一试 如图18.2.13,作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 作法: 1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为O; 2.以点O为圆心,适当长为半径作弧,在直线m上截取相等的两条线段OA,OC; 3.以点O为圆心,另一适当长为半径作弧,在直线n上截取相等的两条线段OB,OD; 4.顺次连结所得的四个点. 显然,四边形ABCD是一个对角线互相垂直且平分的四边形,即为所要求作的两条对角线互相垂直的平行四边形. 和你的同伴交流一下,看看它是否也是一个菱形. 这就是判定菱形的另一种方法: 菱形的判定定理2： 结论的证明很简单.如图18.2.14,在 ABCD中,对角线AC,BD互相垂直,只需证明有一组邻边相等,即可证得 ABCD是菱形. 例5 如图18.2.15，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F。求证：四边形AFCE是菱形。
巩固训练 1.已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为　 　． 2.顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是　 　． 3.如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　． 4.如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 　． 5．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　） A． B． C．6 D．8 6.如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（　　） A． B． C．平分 D． 7.在中，点E，F分别在边上，连接，，，与相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为22，，，求的长．
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.下列命题：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②对角线相等的四边形是菱形.其中正确的是　 　.(填序号) 2.已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点0，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　 　． 3.如图，在Rt ABC中 ， ， ，D为AB的中点， ，则四边形ADCE的周长为　 　． 4.如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是　 　. 4.如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是　 　. 6.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【综合拓展类作业】： 7.如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积．
答案：
1.已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为　 　．
解：如图,在菱形中，，，
对角线互相垂直平分，，，
在中，，
．.
2.顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是　 　．
解：如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是中位线，FG是中位线，EF是中位线，
∴，，，，，∴EH=FG=EF，EH∥FG，∴四边形EFGH是菱形.故答案为：菱形.
3.如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是　 　．
解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形；
分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D，
，
四边形是菱形．
4.如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是　 　．
解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，平行四边形是菱形；
故答案为：（答案不唯一）．
5．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　）
A． B． C．6 D．8
解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
∵将沿折叠，使点与点A重合，∴，，
∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
又∵，，
∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，
又∵，∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，解得：，即的边上的高是．
6.如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（　　）
B． C．平分 D．
解：A、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，∴，
∴，∴，
∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
7.在中，点E，F分别在边上，连接，，，与相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的周长为22，，，求的长．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，∵，
∴，∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，
∴，∴，
∴
又∵，四边形是菱形，∴
∴是等边三角形，∴.作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.下列命题：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②对角线相等的四边形是菱形.其中正确的是　 　.(填序号)
解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，但不是菱形，错误.
2.已知 ABCD，对角线AC，BD相交于点0，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是　 　．
解：∵邻边相等（对角线互相垂直）的平行四边形是菱形，
∴可以添加AD=DC或ACBD(答案不唯一），故答案为：AD=DC(答案不唯一) .
3.如图，在Rt ABC中 ， ， ，D为AB的中点， ，则四边形ADCE的周长为　 　．
解：∵ ，∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴ ，
∴平行四边形 为菱形，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，AD=5，∴菱形ADCE的周长为20．
4.如图，点B，C分别是锐角 两边上的点， ，分别以点B，C为圆心，以 的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接 ， .则四边形 是　 　.
解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形，
根据题意得：AB=AC=BD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，故答案为：菱形.
【知识技能类作业】选做题：
5.已知在中，对角线交于点，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形判定是菱形，故A不符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，推出AB//CD，得到∠ABD=∠CDB，因此∠ABD=∠ADB，得到AB=AD，判定是菱形，故B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，推出AC=2OA，BD=2OB，得到AC=BD，判定是矩形，不一定是菱形，故C符合题意；
D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定是菱形，故D不符合题意.
故答案为：C.
6.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
解：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，∴，
解得，∴．
∴四边形的面积为．
【综合拓展类作业】：
7.如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
（1）证明： ∵D、E分别是、的中点，，，
，，
，，
，∴四边形是平行四边形，
，∴四边形是菱形
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，，，，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为.
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