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分课时学案
课题 18.3正方形 单元 18 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过观察和归纳正方形的性质，学生经历从矩形和菱形出发定义正方形的过程，发展逻辑推理和几何直观能力； 2.在运用正方形的性质解决具体问题的过程中，学生能够有条理地表达推理过程，提升数学表达的规范性； 3.通过讨论三种检验方法的合理性，学生能够从反面思考正方形的判定条件，增强批判性思维和空间观念； 4.学生能够体会正方形与矩形、菱形之间的从属关系，感受一般与特殊的数学思想。
重点 正方形的性质及其应用。
难点 理解正方形与矩形、菱形之间的内在联系，以及从性质到判定的逻辑转换。
教学过程
导入新课 正方形是我们早已熟悉的平面图形，它既是中心对称图形，也是轴对称图形，具有如下性质： 1.四条边都相等； 2.四个角都是直角； 3.对角线相等且互相垂直平分。
新知讲解 因此，正方形可以看成： 有一个角是直角的菱形； 有一组邻边相等的矩形。 正方形有几条对称轴？他的对称中心在哪里？ 例1 如图18.3.1，已知正方形。求、、的大小。 分析 由正方形的特殊性质，可知。易证，从而可得 同理可得。 请写出完整的解答过程。 讨论 老师给学生布置了一项任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务。这种检验可信吗？ 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形。这种检验对吗？ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的。按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形。你的意见怎样？ 你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？ 读一读 我们在平行四边形的学习基础上，又探索研究了矩形、菱形、正方形的一些特点。这些几何图形之间的相互关系如图18.3.2所示。 矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因而既具有平行四边形的一般性质，又具有它们自己的特殊性质。 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有更多的性质。 我们在研究几何图形时，必须关注这种一般与特殊的关系，从而更好地认识各种几何图形，顺利解决各类问题。
巩固训练 1.2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛。参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为2m的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　m(结果保留根号)。 2.在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件：　 　使得矩形是正方形．（只写一个） 3.如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　． 4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=　 　. 5.如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD 于点 F， 连接EB， 若EB=4， 则FD的长为（　　) A． B． C． D． 6.如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（　　） A． B．16 C．15 D．8 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且. 求证：CE=CF.
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.已知正方形的面积为x2+4x+4（x>0），则正方形的边长为　 　（用含x的代数式表示）. 2. “正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）． 3.如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为　 　． 4.如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　． 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，E是正方形边上一点，连接，过点E作，且，连接交于点G，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6.如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD上的一点，连结AP，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连结EF.若CE=5，CF=3，则AP 的长为(　　) A．4 B．5 C． D． 【综合拓展类作业】： 7.如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
答案：
1.2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛。参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为2m的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　m(结果保留根号)。
解：正方形的对角线长为，
∴骨架的总长为。
2.在矩形中，对角线与交于点Q，请添加一个条件：　 　使得矩形是正方形．（只写一个）
解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：或或或或，故答案为：（答案不唯一）．
3.如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　．
解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴。
4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=　 　.
解：过点 E 作 于点G，
∴∠AGE=90°，
又∵ABCD是正方形， EF⊥AB，
∴∠DAB=∠AFE=90°，
∴四边形AFEG为矩形，
为等边三角形，
5.如图，在正方形纸片ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD 于点 F， 连接EB， 若EB=4， 则FD的长为（　　)
A． B．
C． D．
解：∵在正方形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，
∴BE=CE=4，且MN⊥AD，MN⊥BC，BN=NC=AM=MD=2，
∵将纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在MN上的点E处， 折痕CF交AD于点F，
∴CD=CE=4，EF=DF，
∴MN=CD=CE=BE=4，
在Rt△BEN中，
EN=，
∴ME=MN-EN=4-，
设EF=DF=a，则MF=2-a，
在Rt△MEF中，，
即，
解得a=，
∴FD的长为。
6.如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（　　）
A． B．16
C．15 D．8
解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有，
∵，
∴，
∵两个正方形面积之差为16，
∴，
∴，
∴。
7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且. 求证：CE=CF.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=BC=DC=AD，∠B=∠D.
∵∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF，
即CE=CF。
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.已知正方形的面积为x2+4x+4（x>0），则正方形的边长为　 　（用含x的代数式表示）.
解：由题意可得：x2+4x+4=(x+2)2，∴正方形的边长为x+2。
2. “正方形的四条边都相等”的逆命题可以写成　 　，该逆命题是　 　命题（填写“真”或“假”）．
解：命题“正方形的四条边都相等”，它的逆命题是“四条边相等的四边形是正方形”，该逆命题是假命题，故答案为：四条边相等的四边形是正方形；假．
3.如图，在正方形中，，为半径作圆弧，交的延长线于点E，阴影部分面积为　 　．
解：∵四边形是正方形，，以为半径作圆弧，交的延长线于点，
∴，，
∴，，
∴。
4.如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　．
解：四边形为正方形，且边长为4，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由三角形的面积得：，
，
，，
．
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，E是正方形边上一点，连接，过点E作，且，连接交于点G，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
解：∵，，
∴，
延长到点H，使，连接、，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，∵，，
∴，
设，则，
则在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
解得：，即。
6.如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD上的一点，连结AP，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连结EF.若CE=5，CF=3，则AP 的长为(　　)
A．4 B．5 C． D．
解：如图，连接PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，∠BCD=90°
∵PD=PD，
在△APD和△CPD中，
∴△APD≌△CPD(SAS)，∴AP=CP，
∵PE⊥DC， PF⊥BC，
∴∠PFC =∠BCD =∠CEP =90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴PC=EF，∴AP=EF，
∴在Rt△CEF中， CE=5， CF =3，
。
【综合拓展类作业】：
7.如图，为的对角线，延长至点，使得，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，试判断四边形的形状，并说明理由．
（1）解：∵在中，∴，，
∵，∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴是菱形；
（2）解：结论：四边形是正方形，理由如下：
由（1）得，，，
∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∵，
∴，∴是矩形，
又∵是菱形，∴四边形是正方形．
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