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浙江省浙江省初中名校发展共同体2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（　　）
A． B．
C． D．
5．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （　　）
读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上
学生人数 6 11 8 8 7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
6．某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若的小数部分是，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．2
8．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
9．如图，中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（　　）
A．1 B． C． D．
10．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（　　）
A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当，，时，方程一定没有实数根；
C．当，时，方程一定没有实数根；
D．当，，时，方程一定有实数根．
二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分）
11． 若使代数式有意义，则的取值范围是 　 　．
12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则　 　．
13．已知一组数据：4，5，a，6，7的平均数为6，则这组数据的中位数是　 　.
14．如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
15．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是　 　．
16．如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则　 　．
三、解答题（本大题共8题，共72分）
17．计算
（1）；
（2）．
18．解下列一元二次方程．
（1）
（2）
19．下图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A，B，P在格点上．请解答下列问题．
（1）在图1中找点Q，使A，B，P，Q四点构成一个平行四边形（要求点Q在格点上，画出一种情况即可）．
（2）如图2，以点P为坐标原点建立直角坐标系．若，则点A关于P的对称点的坐标是 ．
20．在学校组织的跳绳达人比赛中，七、八两个年级参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为100分，90分，80分，70分和60分，王老师选取了七、八两个年级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分）
中位数 众数 平均数 方差
七年级 a 70 80.8 199.36
八年级 80 b c 120
（1）根据以上信息，求出表中a，b，c的值： ， ， ；
（2）根据表格中的统计量，你认为在此次跳绳比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．
21．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，的周长是12，求平行四边形的周长．
22．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的范围；
（2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围．
23．某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x(元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表：
x … 9 10 11 12 …
y … 33 30 27 24 …
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
（2）若该经销商想使这种商品获得平均每天96元的利润，求售价应定为多少.
（3）小杭同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元.你觉得他的说法正确吗？请说明理由.
24．如图，平行四边形，对角线交于点O，的平分线交的延长线于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，连接；
若，求平行四边形的面积；
设，试求m与k满足的关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【分析】
本题考查根据定义判断常见图形是否为中心对称图形. 牢牢掌握中心对称图形的判定标准：将图形绕某一点旋转180度后，能与原图形完全重合. 本题以中心对称图形的定义为依据，对每个垃圾分类标识进行旋转验证，判断其旋转180度后是否能与自身重合，从而选出符合条件的选项.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由二次根式的性质“”可判断B、C选项；由于根号具有括号的作用，故应该先计算根号下的乘方运算，再计算差，最后再计算开方运算，据此可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：根据图示，甲的折线图的波动小于乙的折线图的波动，
∴，
故答案为：B ．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，从而结合折线统计图的波动大小即可判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故A正确；
B、添加不能证明四边形为平行四边形，故B不正确；
C、添加不能证明四边形为平行四边形，故C不正确；
D、∵，∴AD∥BC，不能证明四边形为平行四边形，故D不正确.
故答案为：A．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，∠DAC=∠BCA，添加OA=OC，可用“AAS”判断出△AOD≌△COB，由全等三角形的对应边相等得AD=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，据此即可判断A选项；如果添加AB=CD，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，据此可判断B选项；添加对角线相等，由一组对边平行，对角线相等不能判定四边形是平行四边形，据此可判断C选项；添加∠ABC+∠BAD=180°，由同旁内角互补两直线平行推出AD∥BC，由一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：因为全班抽取了 人，所以一共有40个数据，且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据分别为8，8，所以这一组数据的中位数是 ，
这一组数据中出现次数最多的是7，所以众数是7.
故答案为：A.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数， 中位数是指在一组数据按顺序排列后（即从大到小或从小到大），中间的那个数，若这组数据有偶数个数，中位数取中间两个数的平均数 ，从而求解.
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2022的教育经费为：万元，2023的教育经费为：万元，那么可得方程：．
故答案为：C．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
7．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴的小数部分a=，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据被开方数越大，其算术平方根就越大得出，根据不等式的性质得出，从而得a=，然后将a的值待求待求式子，根据完全平方公式、单形式乘以多项式法则及二次根式乘法法则分别计算，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，
∵n≠0，
∴n+m+1＝0，
即m+n＝﹣1.
故答案为：C.
【分析】将x=n代入方程得到n2+mn+n＝0，接着将等式两边同时除以n即可求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
又∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC，
∴CF=GF，AC=AG=3，
∵，
∴，
∵点F是的中点，是上的中线，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据角平分线的定义得，再由垂直的定义可得，从而由“ASA”判断出△AFG≌△AFC，由全等三角形的对应边相等得CF=GF，AC=AG=3，根据线段的和差求出BG，最后根据三角形中位线等于第三边的一半得出.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故此选项不符合题意；
B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合选项给出的条件利用举反例的方法可判断B、C选项；由A选项给的条件推出b=-4a，c=4a，然后代入b2-4ac计算后根据根的判别式即可判断A选项；根据D选项给出的条件判断出c＞0，结合a＜0可判断出-4ac＞0，进而可判断出b2-4ac为正数，根据根的判别式即可判断D选项.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得2-x≥0，
∴x≤2，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到2-x≥0，进而即可求解。
12．【答案】-7
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得：．
故答案为：-7．
【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=1代入x2-8x-m=0可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
13．【答案】6
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵ 数据：4，5，a，6，7的平均数为6，
∴4+5+a+6+7= 5×6，
解得：a=8.
这组数按从小到大的顺序排列得：4，5，6，7，8，故这组数的中位数是6.
故答案为：6.
【分析】根据平均数的定义可列方程4+5+a+6+7= 5×6，求解得a的值，再根据中位数的定义，即可得到答案.
14．【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴
则，
即，
∵4，4，8不能构成三角形，
∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4，
∴
∴周长为20．
故答案为：20．
【分析】把x-8看成一个整体，此方程常数项为零，故利用因式分解法求出方程的两根；根据根的情况及等腰三角形定义可知有两种情况，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，，，AD=BC，
∴，
∵将沿着所在的直线折叠得到，
∴CD'=CD=2，∠AD'C=∠D=60°，AD=AD'， ∠DAD'=2∠DAC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BED'=∠D'EC=∠D'AD=90°
∴△AEC是等腰直角三角形，且AE=CE，∠D'CE=90°-∠CD'E=30°，
∴，
∴BC-CE=AD'-AE，即BE=D'E=1
∴；
故答案为：．
【分析】由平行四边性质得∠D=∠ABC=60°，CD=AB=2，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行内错角相等得∠ACB=∠DAC=45°，由折叠的直线得CD'=CD=2，∠AD'C=∠D=60°，AD=AD'， ∠DAD'=2∠DAC=90°，由二直线平行，同位角相等可得∠D'EC=∠D'AD=90°，则△AEC是等腰直角三角形，且AE=CE，∠D'CE=90°-∠CD'E=30°，由含30°角直角三角形的性质得D'E=CD'=1，根据等量减去等量差相等及线段构成推出BE=D'E=1，最后再根据勾股定理算出BD'即可.
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作，交延长线于点F，连接，则∠AFD=90°，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∠AFD=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
∵
∴，
∴
∵点G是的中点，
∴，
∴，
即．
∵点H是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作，交延长线于点F，连接；由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AD=BC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AF∥BE，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形AFEB是平行四边形，进而根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形ABEF是矩形，由矩形的性质得AE=BF，AF=BE，再根据勾股定理求出AE，然后利用“HL”证Rt△BEC≌Rt△AFD，由全等三角形的对应边相等得CE=DF，结合中点定义及线段和差推出CG=GF，从而根据三角形中位线等于第三边的一半得出GH=BF，从而即可得出答案.
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
18．【答案】（1）解：原方程可变形为：，
∴或．
∴，
（2）解：原方程可变形为：，
因式分解得，
∴或，
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程的常数项为零，故利用因式分解法求解较为简单，首先将方程左边利用提取公因式法分解因式，然后根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程去分母并整理成一般形式，发现方程左边可以利用十字相乘法分解因式，然后根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：原方程可变形为：
，
∴或．
∴，；
（2）解：原方程可变形为：，
因式分解得，
∴或，
∴．
19．【答案】（1）解：如图所示，四边形，是平行四边形；
（2）
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（2）解：如图，点A关于点P对称的点是点，其坐标是．
故答案为：．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平行四边形的对边互相平行，分别以AB为一边及AB为对角线作图即可；
（2）先利用方格纸的特点及中心对称的性质，确定点A关于原点对称的点A1点，再根据点A1所在的位置写出其坐标即可.
（1）解：如图所示，四边形，是平行四边形；
（2）解：如图，点A关于点P对称的点是点，其坐标是．
故答案为：．
20．【答案】（1）
（2）解：甲，乙两班的平均数基本相等，八年级的中位数大于七年级，八年级的众数超过七年级，且方差小于七年级，
可知八年级学生的高分多，且成绩稳定，
所以八年级的成绩更好
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：根据统计图可知七年级一共有（人），第25，26人都是70分，
所以，
八年级的众数是80分，
所以，
八年级的平均数为（分），
所以；
故答案为：70，80，80；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计图表提供的信息解答即可；
（2）平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可.
（1）解：根据统计图可知七年级一共有（人），第25，26人都是70分，
所以，
八年级的众数是80分，
所以，
八年级的平均数为（分），
所以；
故答案为：70，80，80；
（2）解：甲，乙两班的平均数基本相等，八年级的中位数大于七年级，八年级的众数超过七年级，且方差小于七年级，
可知八年级学生的高分多，且成绩稳定，
所以八年级的成绩更好．
21．【答案】（1）证明：∵平行四边形，
，，
，
， ，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，且BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形
，
的周长是12，
，
∴平行四边形的周长
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，再结合已知，根据等量减去等量差相等及线段构成推出BE=DF，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形；
（2）由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形DEBF是菱形，由菱形的四边相等得DF=BF，由三角形周长计算方法、等量代换及线段和差可将△BCF的周长转化为BC+CD，最后根据根据平行四边形周长公式即可算出平行四边形ABCD的周长.
（1）证明：∵平行四边形，
，，
，
， ，
∴四边形是平行四边形，
（2）解：由（1）得，平行四边形，
，
，
，
的周长是12，
，
∴平行四边形的周长.
22．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是
（2）解：∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可得出m的取值范围；
（2）由一元二次方程解的定义得，，将题干所给等式整理为y=a2-2a-2(b2-2b)-3，然后整体代入可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围.
（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是；
（2）∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：由已知设 y 与 x 之间的函数表达式：，
由表格得：x=9时，y=33；x=10时，y=30，代入得：
解得
∴y =-3x+60.
由题意得：x的取值范围是：8≤x≤15
（2）解：由已知得：(x-8)(-3x+60)=96
解得x1=12，x2=16（不合题意，舍去）
∴售价应定为12元.
（3）解：小杭同学的说法是错误的，理由如下：
∵10天获得总利润1200元，则平均每天的利润为120元。
∴(x-8)(-3x+60)=120
整理得：x2-28x+120=0
∵=282-4×200=-16<0，
此方程无解，即平均每天的利润不可能达到120元。
因此他的说法是错误的.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设，根据表格得x=9时，y=33；x=10时，y=30，代入解析式可得方程组，求解即可得到解析式，再根据题意可得x的取值范围；
（2）利用“总利润=单件利润×销售件数”列关于x的方程并求解，即可得到答案；
（3）由题意得平均每天的利润为120元，利用“总利润=单件利润×销售件数”列关于x的方程并判断判别式的正负，即可得到结论.
24．【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴
（2）解：①∵，
∴为等边三角形．
∴AD=DE，
∵，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得：，即，
∴．
∴平行四边形的面积为．
②∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADC=∠E=60°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BAF=∠E=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∴S△AOB=S△AOD=S△COD=S△BOC
∵
，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形对边平行得AB∥DC，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠E，由角平分线定义得∠BAE=∠DAE，则 ∠DAE=∠E，由等角对等边即可得出AD=DE；
（2）①由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE为等边三角形，由等边三角形三边相等及得点C是的中点，由等腰是哪些的三线合一得出AC⊥DE，在Rt△ACD中再由勾股定理建立方程求出CD，从而即可根据平行四边形面积公式求得平行四边形的面积；
②由等边三角形性质得∠ADC=∠E=60°，由平行四边形的性质得AB∥CD，∠ADC=∠ABC=60°，由二直线平行，内错角相等得∠BAF=∠E=60°，由三个内角为60°的三角形是等边三角形得出△ABF是等边三角形，由等边三角形三边相等得出AB=BF=AD；由平行四边形的对角线互相平分得出AO=CO，BO=DO，由等底同高三角形面积相等可推出S△AOB=S△AOD=S△COD=S△BOC，进而将转化为，从而即可得出答案.
（1）证明：∵平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
（2）解：①∵，
∴为等边三角形．
∵，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得：，即，
∴．
∴平行四边形的面积为．
②∵为等边三角形，，
∴，
∴为等边三角形．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
＝
，
∴．
1 / 1浙江省浙江省初中名校发展共同体2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【分析】
本题考查根据定义判断常见图形是否为中心对称图形. 牢牢掌握中心对称图形的判定标准：将图形绕某一点旋转180度后，能与原图形完全重合. 本题以中心对称图形的定义为依据，对每个垃圾分类标识进行旋转验证，判断其旋转180度后是否能与自身重合，从而选出符合条件的选项.
2．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；由二次根式的性质“”可判断B、C选项；由于根号具有括号的作用，故应该先计算根号下的乘方运算，再计算差，最后再计算开方运算，据此可判断D选项.
3．如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：根据图示，甲的折线图的波动小于乙的折线图的波动，
∴，
故答案为：B ．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，从而结合折线统计图的波动大小即可判断得出答案.
4．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故A正确；
B、添加不能证明四边形为平行四边形，故B不正确；
C、添加不能证明四边形为平行四边形，故C不正确；
D、∵，∴AD∥BC，不能证明四边形为平行四边形，故D不正确.
故答案为：A．
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，∠DAC=∠BCA，添加OA=OC，可用“AAS”判断出△AOD≌△COB，由全等三角形的对应边相等得AD=BC，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，据此即可判断A选项；如果添加AB=CD，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，据此可判断B选项；添加对角线相等，由一组对边平行，对角线相等不能判定四边形是平行四边形，据此可判断C选项；添加∠ABC+∠BAD=180°，由同旁内角互补两直线平行推出AD∥BC，由一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，可判断D选项.
5．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （　　）
读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上
学生人数 6 11 8 8 7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：因为全班抽取了 人，所以一共有40个数据，且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据分别为8，8，所以这一组数据的中位数是 ，
这一组数据中出现次数最多的是7，所以众数是7.
故答案为：A.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数， 中位数是指在一组数据按顺序排列后（即从大到小或从小到大），中间的那个数，若这组数据有偶数个数，中位数取中间两个数的平均数 ，从而求解.
6．某镇2021年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为，现决定2023年投入6000万元．则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2022的教育经费为：万元，2023的教育经费为：万元，那么可得方程：．
故答案为：C．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
7．若的小数部分是，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴的小数部分a=，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据被开方数越大，其算术平方根就越大得出，根据不等式的性质得出，从而得a=，然后将a的值待求待求式子，根据完全平方公式、单形式乘以多项式法则及二次根式乘法法则分别计算，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
8．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+n＝0的根，则m+n的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x＝n代入方程x2+mx+n＝0得n2+mn+n＝0，
∵n≠0，
∴n+m+1＝0，
即m+n＝﹣1.
故答案为：C.
【分析】将x=n代入方程得到n2+mn+n＝0，接着将等式两边同时除以n即可求解.
9．如图，中，，，是的角平分线，是上的中线，过点作于，交于，连结，则线段的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
又∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC，
∴CF=GF，AC=AG=3，
∵，
∴，
∵点F是的中点，是上的中线，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据角平分线的定义得，再由垂直的定义可得，从而由“ASA”判断出△AFG≌△AFC，由全等三角形的对应边相等得CF=GF，AC=AG=3，根据线段的和差求出BG，最后根据三角形中位线等于第三边的一半得出.
10．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（　　）
A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当，，时，方程一定没有实数根；
C．当，时，方程一定没有实数根；
D．当，，时，方程一定有实数根．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故此选项不符合题意；
B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合选项给出的条件利用举反例的方法可判断B、C选项；由A选项给的条件推出b=-4a，c=4a，然后代入b2-4ac计算后根据根的判别式即可判断A选项；根据D选项给出的条件判断出c＞0，结合a＜0可判断出-4ac＞0，进而可判断出b2-4ac为正数，根据根的判别式即可判断D选项.
二、填空题（本大题共6题，每小题3分，共18分）
11． 若使代数式有意义，则的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得2-x≥0，
∴x≤2，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到2-x≥0，进而即可求解。
12．已知是关于的一元二次方程的一个根，则　 　．
【答案】-7
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得：．
故答案为：-7．
【分析】根据一元二次方程根的定义，将x=1代入x2-8x-m=0可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
13．已知一组数据：4，5，a，6，7的平均数为6，则这组数据的中位数是　 　.
【答案】6
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵ 数据：4，5，a，6，7的平均数为6，
∴4+5+a+6+7= 5×6，
解得：a=8.
这组数按从小到大的顺序排列得：4，5，6，7，8，故这组数的中位数是6.
故答案为：6.
【分析】根据平均数的定义可列方程4+5+a+6+7= 5×6，求解得a的值，再根据中位数的定义，即可得到答案.
14．如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴
则，
即，
∵4，4，8不能构成三角形，
∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4，
∴
∴周长为20．
故答案为：20．
【分析】把x-8看成一个整体，此方程常数项为零，故利用因式分解法求出方程的两根；根据根的情况及等腰三角形定义可知有两种情况，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．
15．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线折叠得到，交于点，连结，若，，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，，
∴，，，AD=BC，
∴，
∵将沿着所在的直线折叠得到，
∴CD'=CD=2，∠AD'C=∠D=60°，AD=AD'， ∠DAD'=2∠DAC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BED'=∠D'EC=∠D'AD=90°
∴△AEC是等腰直角三角形，且AE=CE，∠D'CE=90°-∠CD'E=30°，
∴，
∴BC-CE=AD'-AE，即BE=D'E=1
∴；
故答案为：．
【分析】由平行四边性质得∠D=∠ABC=60°，CD=AB=2，AD∥BC，AD=BC，由二直线平行内错角相等得∠ACB=∠DAC=45°，由折叠的直线得CD'=CD=2，∠AD'C=∠D=60°，AD=AD'， ∠DAD'=2∠DAC=90°，由二直线平行，同位角相等可得∠D'EC=∠D'AD=90°，则△AEC是等腰直角三角形，且AE=CE，∠D'CE=90°-∠CD'E=30°，由含30°角直角三角形的性质得D'E=CD'=1，根据等量减去等量差相等及线段构成推出BE=D'E=1，最后再根据勾股定理算出BD'即可.
16．如图，在平行四边形中，，点分别为中点，，，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作，交延长线于点F，连接，则∠AFD=90°，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∠AFD=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
∵
∴，
∴
∵点G是的中点，
∴，
∴，
即．
∵点H是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作，交延长线于点F，连接；由平行四边形的对边平行且相等得AB∥CD，AD=BC，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出AF∥BE，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得出四边形AFEB是平行四边形，进而根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形ABEF是矩形，由矩形的性质得AE=BF，AF=BE，再根据勾股定理求出AE，然后利用“HL”证Rt△BEC≌Rt△AFD，由全等三角形的对应边相等得CE=DF，结合中点定义及线段和差推出CG=GF，从而根据三角形中位线等于第三边的一半得出GH=BF，从而即可得出答案.
三、解答题（本大题共8题，共72分）
17．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次根式的混合运算
18．解下列一元二次方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：原方程可变形为：，
∴或．
∴，
（2）解：原方程可变形为：，
因式分解得，
∴或，
∴
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程的常数项为零，故利用因式分解法求解较为简单，首先将方程左边利用提取公因式法分解因式，然后根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程去分母并整理成一般形式，发现方程左边可以利用十字相乘法分解因式，然后根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：原方程可变形为：
，
∴或．
∴，；
（2）解：原方程可变形为：，
因式分解得，
∴或，
∴．
19．下图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知点A，B，P在格点上．请解答下列问题．
（1）在图1中找点Q，使A，B，P，Q四点构成一个平行四边形（要求点Q在格点上，画出一种情况即可）．
（2）如图2，以点P为坐标原点建立直角坐标系．若，则点A关于P的对称点的坐标是 ．
【答案】（1）解：如图所示，四边形，是平行四边形；
（2）
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（2）解：如图，点A关于点P对称的点是点，其坐标是．
故答案为：．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平行四边形的对边互相平行，分别以AB为一边及AB为对角线作图即可；
（2）先利用方格纸的特点及中心对称的性质，确定点A关于原点对称的点A1点，再根据点A1所在的位置写出其坐标即可.
（1）解：如图所示，四边形，是平行四边形；
（2）解：如图，点A关于点P对称的点是点，其坐标是．
故答案为：．
20．在学校组织的跳绳达人比赛中，七、八两个年级参赛人数相同，成绩分为五个等级，依次为100分，90分，80分，70分和60分，王老师选取了七、八两个年级的成绩整理并绘制了统计图：（单位：分）
中位数 众数 平均数 方差
七年级 a 70 80.8 199.36
八年级 80 b c 120
（1）根据以上信息，求出表中a，b，c的值： ， ， ；
（2）根据表格中的统计量，你认为在此次跳绳比赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：甲，乙两班的平均数基本相等，八年级的中位数大于七年级，八年级的众数超过七年级，且方差小于七年级，
可知八年级学生的高分多，且成绩稳定，
所以八年级的成绩更好
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：根据统计图可知七年级一共有（人），第25，26人都是70分，
所以，
八年级的众数是80分，
所以，
八年级的平均数为（分），
所以；
故答案为：70，80，80；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合统计图表提供的信息解答即可；
（2）平均数是反应一组数据集中趋势的量；众数简单的说，就是一组数据中占比最多的那个数，反应的是一组数据的集中趋势的量；数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可.
（1）解：根据统计图可知七年级一共有（人），第25，26人都是70分，
所以，
八年级的众数是80分，
所以，
八年级的平均数为（分），
所以；
故答案为：70，80，80；
（2）解：甲，乙两班的平均数基本相等，八年级的中位数大于七年级，八年级的众数超过七年级，且方差小于七年级，
可知八年级学生的高分多，且成绩稳定，
所以八年级的成绩更好．
21．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，的周长是12，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵平行四边形，
，，
，
， ，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，且BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形
，
的周长是12，
，
∴平行四边形的周长
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，再结合已知，根据等量减去等量差相等及线段构成推出BE=DF，从而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形；
（2）由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形DEBF是菱形，由菱形的四边相等得DF=BF，由三角形周长计算方法、等量代换及线段和差可将△BCF的周长转化为BC+CD，最后根据根据平行四边形周长公式即可算出平行四边形ABCD的周长.
（1）证明：∵平行四边形，
，，
，
， ，
∴四边形是平行四边形，
（2）解：由（1）得，平行四边形，
，
，
，
的周长是12，
，
∴平行四边形的周长.
22．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的范围；
（2）设方程的两个实数根是，，若，试求的取值范围．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是
（2）解：∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，求解即可得出m的取值范围；
（2）由一元二次方程解的定义得，，将题干所给等式整理为y=a2-2a-2(b2-2b)-3，然后整体代入可得出，再结合（1）中的取值范围即可得到的取值范围.
（1）解：∵关于的一元二次方程即有两个实数根，
∴，
∴解得：，
∴的范围是；
（2）∵，是方程的两个实数根
∴，，
∴
∵，
∴．
23．某经销商销售一种成本价为8元/千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克，在销售过程中发现日销量y（千克）与售价x(元/千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表：
x … 9 10 11 12 …
y … 33 30 27 24 …
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
（2）若该经销商想使这种商品获得平均每天96元的利润，求售价应定为多少.
（3）小杭同学说若销售这种商品10天，可以获得总利润1200元.你觉得他的说法正确吗？请说明理由.
【答案】（1）解：由已知设 y 与 x 之间的函数表达式：，
由表格得：x=9时，y=33；x=10时，y=30，代入得：
解得
∴y =-3x+60.
由题意得：x的取值范围是：8≤x≤15
（2）解：由已知得：(x-8)(-3x+60)=96
解得x1=12，x2=16（不合题意，舍去）
∴售价应定为12元.
（3）解：小杭同学的说法是错误的，理由如下：
∵10天获得总利润1200元，则平均每天的利润为120元。
∴(x-8)(-3x+60)=120
整理得：x2-28x+120=0
∵=282-4×200=-16<0，
此方程无解，即平均每天的利润不可能达到120元。
因此他的说法是错误的.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设，根据表格得x=9时，y=33；x=10时，y=30，代入解析式可得方程组，求解即可得到解析式，再根据题意可得x的取值范围；
（2）利用“总利润=单件利润×销售件数”列关于x的方程并求解，即可得到答案；
（3）由题意得平均每天的利润为120元，利用“总利润=单件利润×销售件数”列关于x的方程并判断判别式的正负，即可得到结论.
24．如图，平行四边形，对角线交于点O，的平分线交的延长线于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，连接；
若，求平行四边形的面积；
设，试求m与k满足的关系．
【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴
（2）解：①∵，
∴为等边三角形．
∴AD=DE，
∵，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得：，即，
∴．
∴平行四边形的面积为．
②∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADC=∠E=60°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BAF=∠E=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∴S△AOB=S△AOD=S△COD=S△BOC
∵
，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形对边平行得AB∥DC，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠E，由角平分线定义得∠BAE=∠DAE，则 ∠DAE=∠E，由等角对等边即可得出AD=DE；
（2）①由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE为等边三角形，由等边三角形三边相等及得点C是的中点，由等腰是哪些的三线合一得出AC⊥DE，在Rt△ACD中再由勾股定理建立方程求出CD，从而即可根据平行四边形面积公式求得平行四边形的面积；
②由等边三角形性质得∠ADC=∠E=60°，由平行四边形的性质得AB∥CD，∠ADC=∠ABC=60°，由二直线平行，内错角相等得∠BAF=∠E=60°，由三个内角为60°的三角形是等边三角形得出△ABF是等边三角形，由等边三角形三边相等得出AB=BF=AD；由平行四边形的对角线互相平分得出AO=CO，BO=DO，由等底同高三角形面积相等可推出S△AOB=S△AOD=S△COD=S△BOC，进而将转化为，从而即可得出答案.
（1）证明：∵平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
（2）解：①∵，
∴为等边三角形．
∵，
∴，
∴．
在中，，
由勾股定理得：，即，
∴．
∴平行四边形的面积为．
②∵为等边三角形，，
∴，
∴为等边三角形．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵
＝
，
∴．
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