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广东清远市2026届普通高中毕业班供题综合测试（二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足是虚数单位，则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率单位：次与体重单位：、外界环境温度单位：有关，满足为常数已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为次，的脉搏率是次，则的体重为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象与轴的交点为，若将的图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，若，则
A. B. C. D.
7.已知实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有设，若，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
10.已知函数满足对且，若数列满足，则( )
A. B.
C. 数列是等比数列 D.
11.已知函数，设，则下列说法正确的是( )
A. 用表示不大于的最大整数，若，则恒成立
B. 若关于的方程与的实数根相同，则
C. 若存在两个零点，则
D. 若方程在上无解，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列中，，则 ．
13.在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为 ．
14.某科技公司有研发，芯片制造，软件编程三类项目，每个项目各有个任务名额，现要将这些名额全部分配给，两个团队，每个团队每类项目至少分得一个任务名额．若团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等，则这样的分配方法有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若．
求角；
若为边上的高，，且的外接圆的面积为，求的面积．
16.本小题分
如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，．
求证：；
若，求直线与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
一个袋子中有个红球，个绿球，已知从中一次摸出的个球都是红球的概率为．
求的值；
从袋中依次随机摸出个球作为样本一次只摸出一个球，设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为．
求的分布列与数学期望；
分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义．
18.本小题分
设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为过点作轴的垂线与交于两点，．
求的方程；
若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围；
过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列．
19.本小题分
已知函数．
若，求在点处的切线方程；
若．
证明：存在唯一的极值点且为极小值点；
当恒成立时，证明：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由及正弦定理得．
因为，
所以．
由于，则，
所以．
又，故A．
，，
由为边上的高可知，，三点共线，设，
因此可得，
所以，即．
又的外接圆的面积为，所以外接圆的半径为，
则，
因此，，如图所示．
设，，，
在中，由余弦定理可得，
整理可得，即，解得，
所以．
16.解：由四边形为矩形，得，又，平面，
则平面，而平面，所以．
在中，，
由余弦定理得，
则，于是，由得直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，又为的中点，
则，
于是，设平面的法向量为，
则，取，得，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值．

17.解：袋子中共有个球，一次摸出个球的总情况数为，摸出个红球的情况数为．
由古典概型概率公式得．
代入，，得，整理得．
即，解得或．
又，故．
由得袋子中共有个球，其中绿球个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为．
的可能取值为，，，且．
，
，
，
故的分布列为：


数学期望．
总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为为摸出的绿球个数，误差的绝对值不超过等价于．
解不等式得，又为整数，故．
有放回摸球时，所求概率为．
不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为．
，故不放回摸球时误差绝对值不超过的概率更大．
实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数．

18.解：由题可得．
由双曲线定义知，则．
因为，所以，
又，所以，
所以双曲线的方程为．
联立，所以，
由题知：
所以，解得或，
即．
设，点关于原点的对称点记为，
此时，，
因为，，所以，
因为，所以，即，
所以，，三点共线，且，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时且，，，
因为，所以，
且，
则，所以，
设直线的倾斜角为，此时，，
所以，
同理可得，
所以，
所以，，成等差数列．

19.解：当时，，
则，
所以，，
所以在点处的切线方程为，
即．
，
当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以为函数的唯一极值点且为极小值点；
当时：，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，无极值点．
当时，，
设，恒成立，所以在上单调递增，
令得，所以，
所以，所以，
设，易知在上单调递增，
，
令，设，，
当时，，单调递减，所以，所以，
而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的，
使得，所以，
当时，，所以，当时，，所以，
故是函数唯一的极值点且为极小值点，
综上所述，存在唯一的极值点且为极小值点；
设的极小值点为，由可知在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
又，所以，所以，
若恒成立，则，
令，则，要证，
即证，
设，在上单调递减，
所以，
令，则，
令，因为，
仅当时，“”成立，所以单调递增，
所以当时，，单调递增，，所以，
所以，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以成立．

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