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河南开封市新世纪高级中学等豫东名校联考2026届高三下学期二模
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列是首项为，公差为的等差数列，如果，则( )
A. B. C. D.
3.已知线性相关的两个变量，的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
4.已知，若，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如图，平行四边形中，，，作如下图所示网格，使得每个小平行四边形都是菱形，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
7.已知为随机事件，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等差数列的前项和，，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，，，设的最小值为，且为自然对数的底数，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最大值是
C. D. 若且，则
11.已知，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 若恒成立，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列中，，则 ．
13.在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为 ．
14.已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的内角，，所对的边，且．
求；
已知是边的中点，求的最大值．
16.本小题分
泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量的所有可能取值为，，，，且，，其中，为自然对数的底数，则称服从泊松分布，记作．
当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值；
已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有已知某快递公司共有个包裹待配送，每个包裹有的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少起配送延迟的概率；保留两位有效数字
若，且，求的取值范围．
参考数据：若，，则有，，．
17.本小题分
已知数列满足，且．
证明：数列是等比数列；
求的通项公式；
求的前项和．
18.本小题分
设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为过点作轴的垂线与交于两点，．
求的方程；
若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围；
过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列．
19.本小题分
已知函数为无理数且
求在区间的最值；
若对恒成立，求的取值范围；
对于，证明：．
参考答案
1.
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16.解：当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，
当时，泊松分布近似于正态分布，
即，，要计算，
根据正态分布的性质，，
．
当，时，可以用泊松分布近似二项分布，
即对于，，
设为配送延迟包裹数，则，，
，，
，
，
那么，某天至少起配送延迟的概率约为：
．
由，得，
根据泊松分布的概率公式：，，得．
设，
由，知在上为减函数．
，，
，即，
的取值范围为．

17.解：，，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列
由可知，
．

18.解：由题可得．
由双曲线定义知，则．
因为，所以，
又，所以，
所以双曲线的方程为．
联立，所以，
由题知：
所以，解得或，
即．
设，点关于原点的对称点记为，
此时，，
因为，，所以，
因为，所以，即，
所以，，三点共线，且，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时且，，，
因为，所以，
且，
则，所以，
设直线的倾斜角为，此时，，
所以，
同理可得，
所以，
所以，，成等差数列．

19.解：，可知，
令，则，
易得当时，，当时，，
即在单调递减，在上单调递增，
，则在单调递增，
所以．
构造函数
，
易知，若，
则使得在上单调递减，，与题意矛盾，
则，
此时，
令，只需证在恒成立即可．
，
令，则，
恒成立，即在单调递增，
在单调递增，则恒成立，
所以的取值范围是．
由可知在恒成立，
则有在恒成立，
令，则有恒成立，
所以，
又，
则．

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