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2026年陕西省榆林市高考数学模拟试卷（五）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
2.若全集，，，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，每个小菱形的边长均为，向量与的夹角为，则( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下：两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色，则甲获胜，反之则乙获胜已知甲的袋子中有个黑球和个红球，乙的袋子中有个黑球和个红球，则乙获胜的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在正三棱柱中，，，分别为线段，的中点，点在上，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7.将双曲线绕原点逆时针旋转后，得到函数的图象，已知直线是函数图象的一条渐近线，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，若，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，为坐标原点，则( )
A. B.
C. D. 点到直线的距离为
10.已知直线与函数的图象中相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，，且，则( )
A.
B. 函数的定义域为
C. 点是函数的图象的一个对称中心
D. 函数与函数的图象在上的交点个数为
11.一封闭圆锥容器容器厚度忽略不计的轴截面是边长为的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则( )
A. 该圆锥的侧面积为
B. 小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为
C. 小球在圆锥内部移动时，球心之间的最大距离为
D. 小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知数列的前项和为，，，则 ．
14.若，恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某果树种植基地为了调研品种橘子树的结果情况，随机采摘了个橘子，称重后得到的数据分成六组，分别为，，，，单位：克，得到如图所示的频率分布直方图．
估算样本的中位数；
已知上的平均重量是克，方差是，上的平均重量为克，方差是，求两组重量的总方差．
16.本小题分
如图所示，在正四棱柱中，为的中点，．
求点到平面的距离；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求的通项公式；
求数列的前项和；
证明：．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为．
求动点的轨迹方程；
直线：与动点的轨迹交于，两点，求弦长；
若动点的轨迹为闭合曲线，点，动点的轨迹上存在不关于轴对称的两点，，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数在区间内极值点的个数．
设函数，若函数存在两个不同的零点，，且．
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由频率分布直方图，得，解得，
数据在的频率为，在的频率为，
所以样本的中位数约为．
由知数据在上与上的频率之比为：，
因此样本数据的总平均重量克，
所以总方差．
16.解：设点到平面的距离为，
因为是正四棱柱，为的中点，，
因此，
则，
由，即，得到，
解得；
以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，因此，，，，
则，
设为平面的法向量，
因此，即，令，得，，
因此平面的一个法向量为，
设为平面的一个法向量，
因此，即，令，得，
因此平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
因为，
则．
17.解：已知等差数列的前项和为，且，，
设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式可得
解得，，
则的通项公式为；
由得，
所以，
数列的前项和为；
证明：由知，其中，，，，
当时，
，
当时，，
综上，．
18.解：设交点的坐标为，由于直线与的斜率之积为，
所以，因此，那么，
因此动点的轨迹方程为．
由：与联立，那么可得，
设，，那么，
因此弦长．
设直线为，，，
联立直线和椭圆方程可得那么可得，
因此，，
由于恰好被轴平分，因此，
因此直线的斜率与直线的斜率存在且，
所以，整理得，
所以，因，解得，即直线经过定点，
因此
，
当且仅当，即时，等号成立．
由于，因此三角形面积的取值范围是．
19.解：因为的定义域为，
所以，
若，当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
故是函数的极小值点，且函数无极大值点；
若，当时，恒成立，
则函数在上单调递增，无极值点．
综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为；
当时，函数在区间内极值点的个数为．
因为，
所以．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为函数存在两个不同的零点，所以，即，
所以实数的取值范围为；
证明：下面找两个点，，使得，，
注意到，且，于是考虑找点，
下面我们证明：．
要证，即证，设，要证明，
即设，则，则
所以在上单调递增，得，
所以在上单调递增，
故，即
因此．
设，则，
所以在上单调递增，所以，
因此，又，故，即，
又，所以
，
设，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
因为，即，所以，且，
因此，
因为，所以，所以，
即得证．
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