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浙江省杭州市丁荷（丁信）中学2025-2026学年八年级下学期数学期中学情调查
一、选择题（30分）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，配方变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化，关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　）.
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
5．如图，在 ABCD中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O.若AC+BD=22，则△BOC的周长为（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
6．下列各式运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABCD中，AB=5，AD=7，∠DAB的平分线交BC于点B，则CB长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意，可列方程为（　　）
A．6×10-4×6x=32 B．（10-2x）（6-2x）=32
C．（10-x）（6-x）=32 D．
9．在面积为的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若则CE+CF的值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
10．对于一元二次方程下列说法：
①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；
③若方程两根为x1，x2且满足则方程的实数根为和
④若x0是一元二次方程的根，则
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（18分）
11．一个多边形的内角和为1440°，则它的边数为　 　
12．将6位同学的英语口语成绩22，23，24，28，29，30分成前3个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为　 　.
13．已知，则　 　．
14．如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F.则DE·AF的值是　 　.
15．已知x=m是一元二次方程的根，则的值为　 　.
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　.
①②EF=CF；
④∠DFB=3∠AEF.
三、解答题（72分）
17．计算：
（1）
（2）
18．解方程：
（1）
（2） 4x（2x+1）=3（2x+1）.
19．设x1，x2是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值.
（1）
（2）
20．丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
小荷组 7 a 6 2.6
小信组 b 7 c S2信
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
21．嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
反之
她说如果化简可以这样做：
（1）仿上例，化简：
（2）计算：
22．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值.
23．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC=　 　米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积有最大值吗 若有，求出边CD的长；若没有，请说明理由.
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度在CB间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）.
（1） 3.5秒钟后，AP与CQ的长度分别是多少
（2）当四边形APQB的面积为平行四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为多少秒.
（3）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕一点旋转一周能够与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用最简二次根式定义判断即可.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得：x2-2x=3，
配方得：x2-2x+1=4，即（x-1）2=4，
故答案为：A．
【分析】方程移项，添加一次项系数一半的平方，然后等式的左边写成平方的形式解答即可．
4．【答案】A
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变小，方差变小；
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的定义，即可得出答案.
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得到AO=OC=，，然后根据题意得到OC+BO=11，再根据三角形的周长解答即可.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：对A选项，与无法合并，故A错误；
对B选项，，故B错误；
对C选项，，故C正确；
对D选项，，故D错误；
故选：C.
【分析】直接根据二次根式的加减、乘除运算规则依次判断即可得结果.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得到，角平分线的定义可得，即可得到，推出，然后根据线段的和差解答即可．
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10 2x）cm，宽为（6 2x）cm，
根据题意得：（10 2x）（6 2x）＝32．
故答案为：B．
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，表示纸盒底面的长和宽，根据“长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2”列方程即可．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；分类讨论
【解析】【解答】解：四边形是面积为的平行四边形，，，
，，平行四边形面积，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
分两种情况计算：
情况：当在延长线，在延长线时，
，，
，
情况：当在延长线，在线段上时，
，，
，
综上，的值为或．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形面积求出高和，然后根据勾股定理得到和的长，然后分为在延长线，在延长线上；在延长线，在线段上两种情况，计算的值解答即可．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：①若，则是方程的解，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
∴，即a和c异号，
则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
∴
∴方程的两个根异号，故②错误；
③∵方程两根为，且满足，
∴，
令，，
∴方程有两个实数根，令两根分别为，
∴，
，
∴方程，必有实根，，故③正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，故④正确．
故正确的有①③④．
故答案为：B．
【分析】根据条件得到x的值判断①；根据根的判别式得到ac异号，再根据根的判别式判断方程根的情况判断②；解方程求出方程的根，然后计算两根的倒数判断C选项；利用求根公式求出x0，然后整理判断④解答即可．
11．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
则有：180°（n-2）=1440°
解得：n=10.
【分析】根据一个多边形的内角和为1440°，可得180°（n-2）=1440°，再计算求解即可。
12．【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，，
计算第一组的平均数：，
第一组的离差平方和：，
计算第二组的平均数：，
第二组的离差平方和：，
总的组内离差平方和为．
故答案为：4.
【分析】根据组内离差平方和的定义解答即可．
13．【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
将，代入
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的值，进而得出y，然后代入计算即可．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】过作边上的高，连结，
在平行四边形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵动点在上时，
∴ ．
∵，
∴， 代入，
得，
整理得．
故答案为：.
【分析】过作边上的高，连结，根据平行四边形的性质，根据勾股定理求出BC长，然后根据平行四边形的面积公式求出△ADE的面积，利用三角形的面积公式计算即可．
15．【答案】23
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是一元二次方程的根，
将代入原方程得：，
整理得，
．
故答案为：23.
【分析】将x=m代入方程求出，然后整体代入解答即可．
16．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④.
【分析】先得到AF=FD=CD，即可得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线的性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF判断①；延长EF，交CD延长线于M，即可根据ASA得到△AEF≌△DMF，进而得到FE=MF，再根据直角三角形的斜边中线的性质判断②；根据三角形的中线得到S△EFC=S△CFM判断③，设∠FEC=x，则∠FCE=x，根据直角三角形的来那个来那个锐角互余得到∠DCF=∠DFC=90°-x，即可得到∠EFC=180°-2x，求出∠DFE=3∠AEF判断④解答即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先根据二次根式的性质化简二次根式，然后合并同类二次根式解题即可；
(2)先运算二次根式的乘法，化简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可.
18．【答案】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将原方程化为，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后提取公因式，根据因式分解法解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）解：∵，是方程的两个根，
∴，
∴
；
（2）解：
；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，然后展开后整体代入解答即可．
（2）先通分化为，然后整体代入计算即可．
20．【答案】（1）6；7；7
（2）小荷
（3）解：，
两组平均数都是7，平均数相同；方差越小成绩越稳定，因为（小信方差更小），小信组成绩更稳定，
因此应选小信组参加决赛．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）10个数据从小到大排列后，中位数是第5、第6个数的平均数，小荷组第5、6个数都是6，
∴．
小信组总分为，
∴．
小信组中出现次数最多（共4次），
∴众数．
故答案为：6；7；7；
（2）小荷组中位数为，，符合“中游略偏上”，
小信组中位数为，等于中位数，仅为中游，不符合描述，
∴小明是小荷组的学生．
故答案为：小荷；
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，平均数的计算公式解答即可．
（2）根据题意得到成绩大于小组的中位数，所以比较7分与两组中位数的大小关系，判断解答即可．
（3）先计算小信组的房产，然后根据方差越小数据越稳定，解答即可．
21．【答案】（1）解：，
；
（2）解：，，，……，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质、完全平方公式解答即可；
（2）利用二次根式的性质、完全平方公式化简，然后合并同类二次根式解答即可．
22．【答案】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：，
即，
解得：，．
当为直角边时，，
解得：；
当为斜边时，，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可判断方程根的情况解答即可；
（2）利用因式分解求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，根据勾股定理列方程求出k的值，解答即可．
23．【答案】（1）24
（2）解：设米，则米，
依题意得，
整理得，
解得，，
当时，（米），，不合题意，舍去；
当时，（米），符合题意．
边的长为米；
（3）解：饲养场的面积有最大值，
设饲养场的面积为，米，则米，
根据题意得，
整理得，
，
当时，饲养场的面积有最大值为平方米，
即饲养场的面积有最大值，此时米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）（米）；
故答案为：24；
【分析】（1）根据图形列式计算解答即可；
（2）设米，则米，根据矩形的面积公式列方程求出x的值，并检验解答即可；
（3）设饲养场的面积为，米，则米，根据矩形的面积公式列函数关系式，配方得到顶点式即可得到最大值判断解答即可．
24．【答案】（1）解：∵在平行四边形中，，，
∴，
∵点以的速度由向运动，
∴当时，；
∵点以的速度在间往返运动，
∴，
∴点已到达点并折返，
∴；
（2）解：设点到边的距离为，
设运动时间为秒，
∵四边形的面积为平行四边形面积的一半，
∴，
∴，
由题意可得：，
当时，点从点向运动，，
此时，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，
此时，
解得：；
综上所述，当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为秒；
（3）解：设运动时间为秒，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵要使、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形，
∴需满足或，
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得；
若，则，解得，（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得：；
若，则，解得；
综上所述，秒或秒或秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据路程时间速度，计算即可得出结果；
（2）设运动时间为秒，即可得到，分，两种情况表示BQ长，列方程求出t的值解答即可；
（3）设运动时间为秒，表示AP和PD长，根据平行四边形的性质可得或，分，两种情况表示BQ和CQ长，列方程计算即可．
1 / 1浙江省杭州市丁荷（丁信）中学2025-2026学年八年级下学期数学期中学情调查
一、选择题（30分）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕一点旋转一周能够与自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可.
2．下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用最简二次根式定义判断即可.
3．用配方法解方程时，配方变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得：x2-2x=3，
配方得：x2-2x+1=4，即（x-1）2=4，
故答案为：A．
【分析】方程移项，添加一次项系数一半的平方，然后等式的左边写成平方的形式解答即可．
4．如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化，关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　）.
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
【答案】A
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变小，方差变小；
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的定义，即可得出答案.
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
5．如图，在 ABCD中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O.若AC+BD=22，则△BOC的周长为（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
的周长．
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得到AO=OC=，，然后根据题意得到OC+BO=11，再根据三角形的周长解答即可.
6．下列各式运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：对A选项，与无法合并，故A错误；
对B选项，，故B错误；
对C选项，，故C正确；
对D选项，，故D错误；
故选：C.
【分析】直接根据二次根式的加减、乘除运算规则依次判断即可得结果.
7．如图，在 ABCD中，AB=5，AD=7，∠DAB的平分线交BC于点B，则CB长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得到，角平分线的定义可得，即可得到，推出，然后根据线段的和差解答即可．
8．有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意，可列方程为（　　）
A．6×10-4×6x=32 B．（10-2x）（6-2x）=32
C．（10-x）（6-x）=32 D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10 2x）cm，宽为（6 2x）cm，
根据题意得：（10 2x）（6 2x）＝32．
故答案为：B．
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，表示纸盒底面的长和宽，根据“长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2”列方程即可．
9．在面积为的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若则CE+CF的值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；分类讨论
【解析】【解答】解：四边形是面积为的平行四边形，，，
，，平行四边形面积，
，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
分两种情况计算：
情况：当在延长线，在延长线时，
，，
，
情况：当在延长线，在线段上时，
，，
，
综上，的值为或．
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形面积求出高和，然后根据勾股定理得到和的长，然后分为在延长线，在延长线上；在延长线，在线段上两种情况，计算的值解答即可．
10．对于一元二次方程下列说法：
①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；
③若方程两根为x1，x2且满足则方程的实数根为和
④若x0是一元二次方程的根，则
其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：①若，则是方程的解，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
∴，即a和c异号，
则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
∴
∴方程的两个根异号，故②错误；
③∵方程两根为，且满足，
∴，
令，，
∴方程有两个实数根，令两根分别为，
∴，
，
∴方程，必有实根，，故③正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，故④正确．
故正确的有①③④．
故答案为：B．
【分析】根据条件得到x的值判断①；根据根的判别式得到ac异号，再根据根的判别式判断方程根的情况判断②；解方程求出方程的根，然后计算两根的倒数判断C选项；利用求根公式求出x0，然后整理判断④解答即可．
二、填空题（18分）
11．一个多边形的内角和为1440°，则它的边数为　 　
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
则有：180°（n-2）=1440°
解得：n=10.
【分析】根据一个多边形的内角和为1440°，可得180°（n-2）=1440°，再计算求解即可。
12．将6位同学的英语口语成绩22，23，24，28，29，30分成前3个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为　 　.
【答案】4
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，，
计算第一组的平均数：，
第一组的离差平方和：，
计算第二组的平均数：，
第二组的离差平方和：，
总的组内离差平方和为．
故答案为：4.
【分析】根据组内离差平方和的定义解答即可．
13．已知，则　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
将，代入
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的值，进而得出y，然后代入计算即可．
14．如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F.则DE·AF的值是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】过作边上的高，连结，
在平行四边形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵动点在上时，
∴ ．
∵，
∴， 代入，
得，
整理得．
故答案为：.
【分析】过作边上的高，连结，根据平行四边形的性质，根据勾股定理求出BC长，然后根据平行四边形的面积公式求出△ADE的面积，利用三角形的面积公式计算即可．
15．已知x=m是一元二次方程的根，则的值为　 　.
【答案】23
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：是一元二次方程的根，
将代入原方程得：，
整理得，
．
故答案为：23.
【分析】将x=m代入方程求出，然后整体代入解答即可．
16．如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　.
①②EF=CF；
④∠DFB=3∠AEF.
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故答案为：①②④.
【分析】先得到AF=FD=CD，即可得到∠DFC=∠DCF，再根据平行线的性质得到∠DFC=∠FCB，即可得到∠DCF=∠BCF判断①；延长EF，交CD延长线于M，即可根据ASA得到△AEF≌△DMF，进而得到FE=MF，再根据直角三角形的斜边中线的性质判断②；根据三角形的中线得到S△EFC=S△CFM判断③，设∠FEC=x，则∠FCE=x，根据直角三角形的来那个来那个锐角互余得到∠DCF=∠DFC=90°-x，即可得到∠EFC=180°-2x，求出∠DFE=3∠AEF判断④解答即可.
三、解答题（72分）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先根据二次根式的性质化简二次根式，然后合并同类二次根式解题即可；
(2)先运算二次根式的乘法，化简二次根式，然后合并同类二次根式解答即可.
18．解方程：
（1）
（2） 4x（2x+1）=3（2x+1）.
【答案】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将原方程化为，利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后提取公因式，根据因式分解法解一元二次方程即可．
19．设x1，x2是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值.
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，是方程的两个根，
∴，
∴
；
（2）解：
；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得，，然后展开后整体代入解答即可．
（2）先通分化为，然后整体代入计算即可．
20．丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
小荷组 7 a 6 2.6
小信组 b 7 c S2信
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组 并说明理由.
【答案】（1）6；7；7
（2）小荷
（3）解：，
两组平均数都是7，平均数相同；方差越小成绩越稳定，因为（小信方差更小），小信组成绩更稳定，
因此应选小信组参加决赛．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）10个数据从小到大排列后，中位数是第5、第6个数的平均数，小荷组第5、6个数都是6，
∴．
小信组总分为，
∴．
小信组中出现次数最多（共4次），
∴众数．
故答案为：6；7；7；
（2）小荷组中位数为，，符合“中游略偏上”，
小信组中位数为，等于中位数，仅为中游，不符合描述，
∴小明是小荷组的学生．
故答案为：小荷；
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，平均数的计算公式解答即可．
（2）根据题意得到成绩大于小组的中位数，所以比较7分与两组中位数的大小关系，判断解答即可．
（3）先计算小信组的房产，然后根据方差越小数据越稳定，解答即可．
21．嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
反之
她说如果化简可以这样做：
（1）仿上例，化简：
（2）计算：
【答案】（1）解：，
；
（2）解：，，，……，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质、完全平方公式解答即可；
（2）利用二次根式的性质、完全平方公式化简，然后合并同类二次根式解答即可．
22．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值.
【答案】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：，
即，
解得：，．
当为直角边时，，
解得：；
当为斜边时，，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可判断方程根的情况解答即可；
（2）利用因式分解求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，根据勾股定理列方程求出k的值，解答即可．
23．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米.
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC=　 　米.
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长.
（3）饲养场的面积有最大值吗 若有，求出边CD的长；若没有，请说明理由.
【答案】（1）24
（2）解：设米，则米，
依题意得，
整理得，
解得，，
当时，（米），，不合题意，舍去；
当时，（米），符合题意．
边的长为米；
（3）解：饲养场的面积有最大值，
设饲养场的面积为，米，则米，
根据题意得，
整理得，
，
当时，饲养场的面积有最大值为平方米，
即饲养场的面积有最大值，此时米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）（米）；
故答案为：24；
【分析】（1）根据图形列式计算解答即可；
（2）设米，则米，根据矩形的面积公式列方程求出x的值，并检验解答即可；
（3）设饲养场的面积为，米，则米，根据矩形的面积公式列函数关系式，配方得到顶点式即可得到最大值判断解答即可．
24．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度在CB间往返运动，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止）.
（1） 3.5秒钟后，AP与CQ的长度分别是多少
（2）当四边形APQB的面积为平行四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为多少秒.
（3）几秒钟后，P、Q与平行四边形的两个顶点组成平行四边形
【答案】（1）解：∵在平行四边形中，，，
∴，
∵点以的速度由向运动，
∴当时，；
∵点以的速度在间往返运动，
∴，
∴点已到达点并折返，
∴；
（2）解：设点到边的距离为，
设运动时间为秒，
∵四边形的面积为平行四边形面积的一半，
∴，
∴，
由题意可得：，
当时，点从点向运动，，
此时，
解得（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，
此时，
解得：；
综上所述，当四边形的面积为平行四边形面积的一半时，则运动时间为秒；
（3）解：设运动时间为秒，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵要使、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形，
∴需满足或，
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得；
若，则，解得，（不符合题意，舍去）；
当时，点从点向运动，，，
若，则，解得：；
若，则，解得；
综上所述，秒或秒或秒钟后，、与平行四边形的两个顶点组成平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行四边形的面积；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据路程时间速度，计算即可得出结果；
（2）设运动时间为秒，即可得到，分，两种情况表示BQ长，列方程求出t的值解答即可；
（3）设运动时间为秒，表示AP和PD长，根据平行四边形的性质可得或，分，两种情况表示BQ和CQ长，列方程计算即可．
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