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内蒙古自治区锡林郭勒盟锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年七年级下学期4月阶段检测
一、单选题
1．下列几个数中，属于无理数的数是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
4．定义一种运算：当时，；当时，．如，．根据定义求不等式的解，其正确的解是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．若三条直线，，则
C．相等的弧所对的弦相等
D．若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是
6．下列说法中正确的个数有（　　）
（1）在同一平面内，不相交的两条直线必平行．
（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行．
（3）相等的角是对顶角．
（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等．
（5）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．
（6）垂直于同一条直线的两条直线平行．
（7）平行于同一条直线的两条直线平行．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（ ）
A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
8．某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2026步之后，显示的结果是（ ）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
二、填空题
9．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为．例如：，所以的“雅区间”为，无理数的“雅区间”是______；
10．如图，把木条a，b，钉在一起，交点分别为点 P，Q， 将木条a绕点 P 以每秒钟的速度逆时针旋转一周，在旋转的过程中若木条，则旋转时间为_________．
11．如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为______．
12．一个两位正整数m，若m满足各数位上的数字均不为0，称m为“相异数”，将m的两个数位上的数字对调得到一个新数n.把m放在n的左边组成第一个四位数A，把m放在n的右边组成第二个四位数B，记，计算________；若s，t都是“相异数”，s个位上的数字等于t十位上的数字，且被11除余7，，则满足条件的所有s的和为________.
三、解答题
13．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
14．某饰品店老板想用一块边长为20cm的正方形包装纸裁剪一块面积为的长方形包装纸（裁痕平行于正方形边长），且长方形包装纸的长、宽之比为，请你用所学的知识判断是否可以裁剪出来？并说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形 向上平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度得到三角形 点A，B，C的对应点分别为．
(1)请画出三角形
(2)请直接写出三角形中任意一点，经平移后的对应点 的坐标： ( , )．
16．计算：
(1)；
(2)；
17．阅读下列解题过程，并解答提出的问题．
设a，b是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，得．∵a，b都是有理数，∴，也是有理数．由于是无理数，∴，，∴，，∴．
问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值．
18．在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，对于点，先将其关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，若点在轴和关于轴对称的直线之间（可以在轴或者直线上），则称点为近对称点．
(1)在点中，近对称点是 ；
(2)若是近对称点，求的取值范围；
(3)若存在高为的等边三角形，该三角形上的每一点既是近对称点又是近对称点，直接写出的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】解：A.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D. 是无理数，故本选项符合题意，
故选：D．
2．B
【详解】解：，
，则，即，
故选：B．
3．C
【详解】解：阴影部分，
它的边长是．
故选C．
4．B
【详解】解：若，即恒成立，
∴，
，
若，即，
∴，
∴无解，
综上可得：，
故选：．
5．D
【详解】、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项说法错误，是假命题；
、若在同一平面内，三条直线，，则，此选项说法错误，是假命题；
、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此选项说法错误，是假命题；
、若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是，此选项说法正确，是真命题；
故选：．
6．A
【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线必平行，
故（1）正确，符合题意；
在同一平面内，不相交的两条线段不一定平行，
故（2）错误，不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，
故（3）错误，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，所得到同位角相等，
故（4）错误，不符合题意；
两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，
故（5）正确，符合题意；
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故（6）错误，不符合题意；
平行于同一条直线的两条直线平行，
故（7）正确，符合题意；
综上，正确的有（1）（5）（7），一共3个．
故选：A．
7．B
【详解】解：∵点M在原点左边，
∴．
①由，则，故表示的数不可能是负数，故①错误；
②有且，则，故②正确；
③由，则，，故最大，故③正确；
④由且，∴，故④错误．
综上，正确的有②③．
故选B．
8．A
【详解】解：根据题意可得：
第1步：；第2步：；第3步：；
第4步：；第5步：；第6步：；
第7步：；第8步：……
∵显示的数是六步一个循环，
∴，
∴第2026步之后荧幕显示的数与第四步相同，显示的结果是，
故选：A．
9．
【详解】解：∵
∴，
∴的“雅区间”是，
故答案为：
10．2s 或32s/32s 或2s
【详解】解：如图，
∵
∴，
∴要使木条，则，
当旋转角小于时，旋转度数为，旋转时间为s；
当旋转角大于时，旋转度数为，旋转时间为s．
故答案为：2s 或32s
11．5
【详解】解：，阴影部分面积为，
，
，
故答案为：
12． 183
【详解】解：，
，
，，
，
设，，
，
，
同理，
，
即，
，
或，
被11除余7，
当时，，，
当商为1时，，
，
当商为2时，，
（舍，
当商为3时，，
（舍，
当商为4时，，
（舍，
当商为5时，，
（舍，
当商大于等于6，即时，（舍，
当时，，，
当商为1时，，
，
当商为2时，，
（舍，
当商为3时，，
（舍，
当商为4时，，
（舍，
当商为5时，，
（舍，
当商为6时，，
（舍，
当商大于等于7，即时，（舍，
综上所述：，，或，，，
或，
即满足条件的所有s的和为：．
故答案为：，183．
13．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意知，，
∵平分，
∴，
由（1）知，，
由（1）知，，
又∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
14．不能裁剪出符合要求的长方形包装纸，见解析
【详解】解：不可以裁剪出来．
理由：设长方形包装纸的长、宽分别为、，
则：．即，
解得：（负值舍去）．
长方形的长为．
不能裁剪出符合要求的长方形包装纸．
15．(1)见解析；
(2)
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求．
；
（2）解：经平移后的对应点 的坐标：．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．或0．
【详解】解：由题意得：．
∵都是有理数，
∴、也是有理数．
由于是无理数，
∴，，
∴，．
故或．
18．(1)、
(2)
(3)或．
【详解】（1）解：是求近对称点，设，
过点作直线，
则关于轴对称的直线是，
点关于轴的对称点是，
点是关于的对称点是，
点不在直线轴和直线之间，
点不是近对称点；
点关于轴的对称点是，
点是关于的对称点是，
点在直线轴和直线之间，
点是近对称点；
点关于轴的对称点是，
点是关于的对称点是，
，
，
，
点在直线轴和直线之间，
点是近对称点；
近对称点是和；
（2）点是近对称点，设，
过点作直线，
则关于轴对称的直线是，
作点关于轴的对称点是，
点关于的对称点是，
若点在轴和之间，
则有，
解得:；
（3）解：∵存在高为3的等边三角形既是近对称点又是近对称点，
此时等边三角形的一条边平行于轴时，
设等边三角形平行于y轴的边上的高的左端点为B，右端点为C，
设三角形近t对称点经过变换后，B横坐标为a,C的横坐标为， 三角形近对称点经过变换后，横坐标为，的横坐标为,
∴，
∵等边三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，
∴当即时，,解得，
当时，,解得，
当时不满足题意，
综上所述或时，存在高为3的等边三角形既是近对称点又是近对称点．

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