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第10章分式单元综合巩固测试卷
（满分100分 时间90分钟）
一、单选题（每题2分 共20分）
1．下列选项中，分式是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍
C．保持不变 D．无法确定
5．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．某公路进行施工，为尽量减少施工对市民出行造成的影响，实际施工时工作效率比原计划提高了，结果提前4个月完成这一任务．设原计划个月完成这一任务，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ）
A． B． C．2 D．0
8．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
9．小明上山的速度为w，下山的速度为v，则小明上山下山的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
10．实数a、b、m、n满足，若，，则M与N的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定的
二、填空题（每题3分 共30分）
11．当分式的值为时的取值为________．
12．计算：（1）_____________；（2）_____________．
13．已知，则________．
14．一组学生去春游，统计共需要费用240元，后来又有一组学生参加进来，总费用不变，每人可以少分摊6元．如果两组学生的人数相等，那么每组学生的人数为______．
15．若，则的值是___________．
16．若关于的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数的值为______．
17．已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有________．
18．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h．
19．已知，则______．
20．已知，，，…，依此类推，则等于_____ ．
三、解答题（共50分）
21．（6分）解下列方程：
(1) (2)
22．（7分）下面是课堂上化简时甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”的过程．
解：原式甲同学 乙同学 丙同学 丁同学
任务：
(1)在“接力游戏”中，丁同学是依据_____进行变形的．
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)在“接力游戏”中，从_____同学开始出现错误，错误的原因是_____；
(3)请你写出该分式化简的正确结果．
２３.（9分）观察以下等式：
第个等式：，第个等式：，第个等式：，
第个等式：，第个等式：
(1)按照以上规律，接着再写两个等式；
(2)写出你猜想到的第个等式（用含的等式表示）；
(3)运用有关知识，推理证明（2）中的猜想是正确的．
２４．（８分）某学校计划利用暑假时间（共58天）对全校教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍，甲、乙两队合作完成工程需要24天，甲队每天的工作费用为1500元，乙队每天的工作费用为950元．
(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)现有三种方案可选：甲队单独完成工程，乙队单独完成工程，甲、乙两队合作完成工程．请你选择其中一种方案，既能在暑假时间完工，又能使工程费用最少，并计算出最少工程费用．
２５．（１０分）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=．
2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示：
区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨
甲 A 90
乙 B 70
(1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为．
①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？
②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？
(2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小．
２６．（１０分）阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重克，其中溶有糖克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（糖水浓度）．
小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．
(1)【特例验证】假设，则______．（填“>、<或=”）
(2)【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．
(3)【应用拓展】
①已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，水流速度为，两船同向逆流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，比较的大小，可判断出先返回港的是___________．
A．甲 B．乙 C．甲乙同时 D．无法判断
②若为三边的长，证明：
试卷第4页，共6页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A D B B B B A
1．C
【详解】解：观察各选项，只有选项C属于分式．
故选：C．
2．B
【详解】解：∵使分式有意义，
∴，解得．
故选B．
3．D
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意，
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
4．A
【详解】解：，
∴扩大后分式的值扩大3倍．
故选：A
5．D
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴ａ２＋＝１３
故选：D．
6．B
【详解】解：设工作总量为，原计划个月完成，则原工作效率为．
∵ 实际工作效率比原计划提高了，
∴ 实际工作效率为.
又∵ 实际提前个月完成，
∴ 实际完成时间为个月，
∴ 实际工作效率也为．
因此，有方程，
即．
故选：B．
7．B
【详解】解：将方程去分母得,
∵方程产生增根，
∴，
将代入，得，
故选：B．
8．B
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵关于的分式方程的解是非负数，
∴，，
解得：且，
故选：B．
9．B
【详解】解：设上山的路程为，则下山的路程也为，
∴上山的时间为，下山的时间为
∴总时间为：
∴小明上山下山的平均速度为
故选：B．
10．A
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴
∴，
∴．
故选：A．
11．
【详解】解：当分式的值为时，，且，
解得：，
故答案为：．
12．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．20人
【详解】解：设每组学生人数为人，根据题意得：
解这个方程得：
经检验：为原方程的解．
故答案为：人 ．
15．
根据得到，进而得到，代入计算即可．
【详解】解：由，
得，
交叉相乘得，
即，
两边除以（，），
得，
即，
∴，
因此．
故答案为：．
16．4
【详解】是一个完全平方式，
，
或．
分式方程的解是，是整数，
是2的倍数，
又是原分式方程的增根，
，
，
故答案为：4．
17．7或或3
【详解】解：
∵x为整数，且分式的值为正整数，
∴且为整数，
即且为整数，
∴或，
解得或或3．
故答案为：7或或3．
18．3
【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h．
去时时间为小时，返回时间为小时．
由题意，得方程．
两边同乘，得，
整理得，
解得，．
经检验，是原方程的解且符合题意，
不符合题意舍去．
∴返回时步行速度为3 km/h．
故答案为：3．
19．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
20．3
【详解】解：由题意，，，，，，……，
∴从开始，每3项为一个循环周期，
∵，
∴．
故答案为：3．
21．(1)
(2)
【详解】（1）
解：方程两边同乘以，得
检验：时，
所以，原分式方程的解为
（2）
解：方程两边同乘以
检验：当时，
所以，原分式方程的解为
22．(1)C；
(2)乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
(3)
【详解】（1）解：在“接力游戏”中，丁同学是依据分式的基本性质进行变形；
故选C；
（2）乙同学去括号时，变号错误；
故答案为：乙，去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
（3）原式
．
２３.
【详解】（1）解：第个等式：，
第个等式：；
（2）第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
∴第个等式：（为正整数）；
（3）证明：∵左边右边，
∴等式成立，
即（2）中的猜想正确．
２４．(1)甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天
(2)甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需天，
由题意得：，
即：，
即：
解得：，
经检验：是原方程的解，
则（天），
答：甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天；
（2）解：由（1）知甲单独完成此项工程需要40天，乙单独完成此项工程需要60天，
∵，
∴甲能在暑假时间完成，乙不能在暑假时间完成，
又∵甲单独完成的费用为：（元），
甲、乙两队合作完成的费用为：（元），
且，
∴综上：甲、乙两队合作既能在暑假时间完成工程，同时费用最少，最少费用为5.88万元．
２５．(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨
(2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大
【详解】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，并符合题意；
（万吨），
∴甲区域污水的排放总量是100万吨；
②2026年甲区域污水排放总量为（万吨），
2026年乙区域污水排放总量为（万吨），
2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨），
2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨），
，
整理得，，
∵，均为整数，
∴；；；，
共四种方案，
为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意，
∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨；
（2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，则扩建后B厂的污水处理率为，
∵污水处理能力不大于，
∴，且，
∴，
根据题意得，
，，
解得，，
经检验，，是原分式方程的解，并符合题意，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大．
２６．
【详解】（1）解：当，，时，
，，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，由题意可知，，故，即，
∴乙船先返回A港．
故选：B；
②由题意，，
∴，，，
由“糖水不等式”可知：，
，
，
．

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