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内蒙古自治区呼和浩特市2026年九年级第一次模拟考试 数学
一、单选题
1．“数字人民币”应用场景范围逐步扩大．若转入2元记作元，那么转出6元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．如图为洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
3．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，那么抛掷一枚均匀的硬币一次，正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．下列关于整式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．若点都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
二、填空题
9．一列火车以的速度匀速前进．则它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式为______．
10．在第十五届中国国际航空航天博览会期间，无人机记录了精彩瞬间．建立适当的平面直角坐标系，若无人机所在位置的坐标为，将无人机沿着轴向上平移2个单位，则平移后无人机的坐标为______．
11．在地球仪上，与赤道平行的线叫做纬线，呼和浩特市的纬度约为北纬．如图，赤道半径约为6400千米，，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，则北纬纬线的长度约为______千米．（参考数据：，，，）
12．如图，在中，，，．将绕点旋转得到，连接，分别取，的中点，，则的最大值是______．
三、解答题
13．计算和化简：
(1)计算：；
(2)化简：．
14．促进学生身心健康、全面发展是重要的教育议题．某校坚持“健康第一”的教育理念，深化体育与健康课程改革．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析．
【收集数据】
100 95 86 88 52 78 83 65 83 87 77 89 90 67 79 97 72 83 96 73
【整理数据】
该校规定：为不合格，为合格，为良好；为优秀．（成绩用表示）
等次 不合格 合格 良好 优秀 合计
频数（人数） 1 4 5 20
频率 0.05 0.20 0.50 0.25 1.00
【分析数据】
此组数据的平均数是82，众数是、中位数是．
【解决问题】
(1)填空：______，______；______；
(2)若该校七年级共有400名男生，估计体能测试达到优秀的男生约有多少人；
(3)根据上述统计分析情况，请你对该校七年级男生体能情况做出评价，并提出一条相应的合理化建议．
15．乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶．已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少4元．该店用120元购买奶片的件数，恰好等于用160元购买酸奶的件数．
(1)求奶片和酸奶每件的进价各是多少元；
(2)第一批采购的奶片和酸奶很快售完，现该店准备再次购进这两种商品共70件、恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上提价5%，按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进酸奶多少件．
16．如图，为外一点，为上一点，是的直径，，且与相切于点，连接和．
(1)求证：；
(2)求证：与相切；
(3)若，求阴影部分的面积．
17．综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究．
【探究1】
若抛物线与抛物线能围成“月牙线”．
(1)求出抛物线与轴的交点和，的值；
(2)请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围．
【探究2】
图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是．
(3)求出这两条抛物线的解析式；
(4)求该长方形水幕电影影像的长和宽．
18．完成以下问题：
(1)【操作判断】如图，在矩形纸片中，．点在边上，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，然后展平，连接，请你判断四边形的形状，并说明理由；
(2)【操作探究】如图，继续在该矩形纸片中操作，沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平，连接，，若，请你猜想的形状，并说明理由；
(3)【操作迁移】如图，继续对其他矩形纸片进行同样动手操作，．点在边上，沿过点的两条直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，折痕与边交于点，点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，然后展平，连接交边于点，若，当是以为腰的等腰三角形时，请你求出的长．
参考答案
1．D
【详解】解：∵转入2元记作元，转入与转出是相反意义的量，正数表示转入，
∴转出用负数表示，可得转出6元记作元．
2．A
【详解】解：从正面看和从上面看，看到的轮廓形状相同，
∴主视图与俯视图相同，
从左面看，看到的图形为圆，与主视图与俯视图不同．
3．C
【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币一次，可能出现两种可能的结果，正面朝上，反面朝上，正面朝上的概率为：．
4．A
【详解】解：∵在中，
∴,,
根据题意，得,
∴．
5．C
【详解】解：A、∵合并同类项时，仅系数相加，字母及指数不变，，故此选项错误；
B、根据完全平方公式，，故此选项错误；
C、根据幂的乘方法则，，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
6．B
【详解】解：，，
，
故选：B．
7．D
【详解】 解：根据题意，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭，
∵走了分钟到达离家米的报亭，
∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标的线段；
第二阶段：在报亭看报，∵看了分钟报纸，此时离家距离不变，
∴在分钟内（），图象应为平行于轴的水平线段；
第三阶段：返回家，∵用了分钟返回到家，
∴在分钟内（），图象应为从纵坐标下降至的线段，且终点横坐标为，
观察各选项图象，只有D选项符合上述特征（水平段为，终点在与之间）．
8．C
的取值范围；
【详解】解∵反比例函数中，，
∴函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大，
∵，且，
∴，两点不在同一象限，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
解不等式组得．
9．
【详解】解；由题意得，，
故答案为：．
10．
【详解】解：原无人机位置坐标为，沿着轴向上平移2个单位，
因此平移后坐标为即．
11．28800
【详解】解：如图所示，过点O作，于点D，
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，千米，
∴（千米），
所以北纬纬线的长度是（千米）．
12．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵，，，，
∴．
∵将绕点B旋转得到，
∴．
∵分别是的中点，
∴线段为的中位线，线段为的中位线，
∴，，
∴，
∴当点P，O，Q三点共线时，取得最大值，即的值，
∴的最大值为．
13．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．(1)10，83，83
(2)100人
(3)评价：该校七年级男生体能情况整体良好，大部分学生体能处于良好及以上水平；建议：学校应继续深化体育和健康课程改革，加强体育锻炼，特别关注体能较弱的学生，促进全体学生身心健康．
【详解】（1）解：根据题意，，
由统计数据可知，出现次数最多的数据是83，
∴这组数据的众数是83，
将这组数据按照从小到大的顺序排列，可得52，65，67，72，73，77，78，79，83，83，83，86，87，88，89，90，95，96，97，100，
其中排在第10和11位的数据是83和83，
∴这组数据的中位数是；
（2）由统计数据可知，所抽取的20名男生中，测试成绩为优秀（分数：）的学生共计5人，
∵（人），
∴估计体能测试达到优秀的男生约有100人；
（3）评价：该校七年级男生体能情况整体良好，大部分学生体能处于良好及以上水平；
建议：学校应继续深化体育和健康课程改革，加强体育锻炼，特别关注体能较弱的学生，促进全体学生身心健康．
15．(1)奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元
(2)最多可以购进酸奶34件
【详解】（1）解：设奶片每件进价为元，酸奶每件进价为元，
根据题意可得方程，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元．
（2）解：设酸奶购进件，则奶片购进件，
根据题意可得，
解得，
故最多可以购进酸奶34件．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵与相切于点，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵为半径，
∴与相切；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
17．(1)抛物线与轴的交点为、，，
(2)“月牙线”上点的横坐标的取值范围为
(3)两条抛物线的解析式为、
(4)矩形的长为，则宽为
【详解】（1）解：对于抛物线，
当时，即，
解得或，
故当、时，抛物线，
得，解得，
∴抛物线与轴的交点为、，，；
（2）解：∵抛物线、与轴的交点为、，
∴“月牙线”上点的横坐标的取值范围为；
（3）解：根据题意，
设顶点靠上的抛物线表达式为，
顶点靠下的抛物线表达式为，
根据题意，可得经过点，，，
可得，解得，
∴，
根据题意，可得经过点，，，
可得，解得，
∴，
故两条抛物线的解析式为、；
（4）解：假设矩形的长为，则宽为，
∵，
∴靠下的抛物线顶点为，对称轴为直线，
∴矩形边所在直线为，
∴点坐标为，
将点代入，
得，
化简得，
解得或（舍去），
∴矩形的长为，则宽为．
18．(1)四边形是正方形，理由见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)或
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
由折叠得，，，
∴，
∴，
由（）得，，
∴，，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：设与交于点，如图，
∵，
∴，，
由折叠得，，，，
∴，
设， 则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由折叠得，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，在中，，
∴，
整理得，，
解得（不合，舍去），，
∴；
当时，
∵，
∴，
即，
解得，
∴；
综上，的长为或．

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