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内蒙古自治区锡林郭勒盟锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年八年级下学期4月阶段检测
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．，2， B．3，4，5 C．，2， D．2，3，4
3．估算的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
4．如图，已知四边形中，，，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
6．如图，是数轴的原点，是数轴上的点，垂直于数轴，垂足为，且，连接，以点为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点，则点所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，中，，，在外，且．若要求的面积，则需要添加的条件是（ ）
A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度
8．如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A的同岸选取点C，测 得米，， 如图，据此可求得A，B之间的距离为 ______ 米．
10．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为_____；的长为_____．
11．如图，，，，，，则的长为_____．
12．如图，在四边形中，对角线，且，连接，若的长为 ___________．

三、解答题
13．如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，并写出点，，的坐标；
(2)点在轴上，当时，点的坐标为________．
14．如图，点在线段上，，，，平分．
(1)证明：；
(2)若，，求的面积．
15．如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板离地高为，将它往前推进到（即的长为，且），此时踏板离地的高为．求秋千绳索的长度．
16．运算能力计算：
(1)；
(2)．
17．问题提出
（1）如图1，点A，B分别在直线l的两侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题探究
（2）如图2，点A，B分别在直线l的同一侧，分别过点A，B作直线l的垂线，垂足分别为M，N，，P是直线l上一点，求的最小值．
问题解决
（3）如图3，某市进行河滩治理，将原来一条废弃的小河通过规划后建成一条集旅游、休闲、餐饮于一体的景点．如图，是两条互相垂直的旅游大道，A，B是位于河中的两座休闲小岛，且岛A与的距离为20m，与的距离为30m，岛B与的距离为40m，与的距离为20m．现计划在旅游大道处选一点P，修建桥梁，通往A，B两岛，并修建桥梁，将A，B两岛连起来，计算所修建的所有桥梁的最短长度．（结果保留根号）

18．如图，点在线段的垂直平分线上，为垂足，以为边作等边三角形，（逆时针排列）连接，直线交于点．
(1)点在线段上方，连接：
①如图1，若为等边三角形，直接写出的值及的度数；
②如图2，若为等腰直角三角形，求证：．
(2)如图3，连接，移动点，当最小时，，求线段的长．
参考答案
1．D
【详解】因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为是最简二次根式，所以D符合题意．
故选：D．
2．D
【详解】解：A.，故可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
B. ，故可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C. ，故可以作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D. ，故不可以作为直角三角形的三边长，符合题意．
故选：D．
3．C
【详解】解：
；
∵，
即，
∴，
∴，
故的值应在到之间．
故选：C．
4．B
【详解】解：连接交于，作交于，
∵，，
∴垂直平分，则，
∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．C
【详解】解：连接，
由题意，，，
∴垂直平分，即，
∵，
∴，
∴点P在与成的射线上，
故当时，最小，如图，则，
∴，
由勾股定理得，
∴，则，
即的最小值是，
故选：C．
6．A
【详解】解：，，
在中，，
，
在原点左侧，
表示的数是．
故选：A．
7．C
【详解】解：过点B作于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图所示：
∴，
设，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴若要求的面积，则需要添加的条件的长度即可．
故选：C．
8．A
【详解】连接，过C点作于点M，如图，
根据平移有：，
∴，
根据翻转，可知：，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，，，，
∵在中，，
∴，
∴，即，
根据对称，点O的对应点为点C，有：，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴解得：，即，
∴，
∵，
∴根据平移可知：点C向右平移得到点F，
∴，
∴，
故选：A．
9．
【详解】解；∵，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
故答案为：．
10．
【详解】解：为中点，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
11．
【详解】解：，
，，
在中，，
．
故答案为：．
12．2
【详解】解：如图中，作，使，连接．

由知：
，
即，
在与中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴,又
∴，
∵，
∴．
故答案为2．
13．(1)图见解析，，，
(2)点的坐标为或
【详解】（1）解：如图，即为所作，
，
由图可得：，，；
（2）解：由题意可得：，
设点，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或．
14．(1)证明见解析
(2)的面积是60
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
又平分，
，，
，
，
在中，
，
，
即的面积是60．
15．秋千绳索的长度为米
【详解】解：∵踏板A离地高为，为，
∴，
∵的长为，
设，，
∴在中，，即
解得，
故秋千绳索的长度为米．
16．(1)0
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）过A作垂线，交延长线于C，如图：

由图可知，，
∴A，P，B共线时，最小，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
即最小值是；
（2）作A关于的对称点，过作垂线，交延长线于C，如图：

由对称的性质可知，，，
∴，
∴当，P，B共线时，最小，
同（1）可知，四边形为长方形，
∴，，
∴，
∴，
即的最小值是；
（3）∵长度一定，
∴的最小值在最小时取得，
取A关于的对称点C，连接交于G，连接，过B作交延长线于D，交于E，过A作于F，如图：则：，即：的最小值为，

∴
由对称的性质可知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为长方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴最小为．
18．(1)①，；②证明见详解
(2)
【详解】（1）解：①均为等边三角形，
，，
是线段的垂直平分线，
即，
由等腰三角形三线合一性质可得平分，
；
如图所示：
，，
由等腰三角形三线合一性质得到，
在中，设，则，
由勾股定理可得，
，
是线段的垂直平分线，
，
在中，，则，
解得，
则，
；
②如图所示：
是的垂直平分线，
点关于对称，
，
，，
则，
在等边中，再由，可得，
，
，
在和中，，
，
，且是的一个外角，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
作于，如图所示：
，，
，
即；
（2）解：连接，如图所示：
由垂直平分线的性质得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又四边形的内角和为，
∴，
，
∴，
在等腰中，由三角形内角和定理可得，
即在点运动过程中，动点在直线上运动，且，
由垂线段最短可知，当时，有最小值，
此时，过点作于，连接，如图所示：
，
在中，点为中点，即是斜边上的中线，则，
即是等边三角形，
，
又，，
，
，
于，，
，
∴，
在中，，，
设，则，由勾股定理得，
解得，
．

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