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第3讲　等式与不等式
1.已知P=a2+3a+2,Q=a+1,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.PC.P>Q D.P≥Q
2.设a>b>0,x=-,y=-,则x,y的大小关系为 (　 )
A.x>y B.xC.x=y D.不确定
3.下列结论中正确的是 (　 )
A.若ab≠0且a
B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a>b,则a+c>b+c
4.设a,b,c∈R,b>c,下列不等式恒成立的是 (　 )
A.a+b2>a+c2
B.a2+cC.ab>ac
D.a2c5.[2025·福州部分学校最后一卷] 已知-3≤a+b≤-2,1≤a-b≤4,则3a+b的取值范围是 (　 )
A.[-3,0] B.[-5,3]
C.[-5,0] D.[-2,5]
6.(多选题)[2025·广东茂名模拟] 下列说法正确的是 (　 )
A.若a>b,则a2>b2
B.若aC.若a>b>0,>,则-aD.若>,则2a<2b
7.已知-38.李明经营一家水果店,为增加销量,李明制定了两种促销方案.方案一:一次购买水果的总价达到100元,顾客就少付x元.方案二:每笔订单按八折销售.在促销活动中,某顾客购买水果的总价为120元,该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所付金额,则x的最大值为　　　　.
9.设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则 (　 )
A.N

C.N10.设a=t-,b=t+,c=t(2+t),其中-1A.bC.b11.(多选题)[2025·长郡中学期末] 已知a>0,b>0,则使得“a>b”成立的一个充分条件可以是 (　 )
A.<
B.a>b-2
C.b2D.ln(a2+1)>ln(b2+1)
12.(多选题)生活经验告诉我们:a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b),若再添加m克糖(m>0)后,糖水会更甜,于是得出一个不等式:<(a>0,b>0,且a>b,m>0),趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列说法,其中一定正确的是 (　 )
A.若a>b>0,-aB.log32C.若a,b,c为△ABC的三条边长,则+>
D.若a,b,c为△ABC的三条边长,则1<++<2
13.若a2+b2=4,b2+c2=3,c2+a2=3(a,b,c∈R),则ab+bc+ca的最小值为　　　　.
14.若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.
15.(多选题)[2025·十堰4月调研] 已知b<0,a+b=2,则 (　 )
A.a2+b2<4
B.a(1-b)>2
C.2a-2-b>3
D.2a+2b>2-a+2-b
第3练　等式与不等式
1.D　[解析] ∵P-Q=a2+3a+2-(a+1)=a2+2a+1=(a+1)2≥0,∴P≥Q.故选D.
2.B　[解析] 由题知x>0,y>0,因为==<1,所以x3.D　[解析] 对于A选项,令a=-1,b=1,满足ab≠0且ab,但a2b,c>d,但acb及不等式的性质可得a+c>b+c,故D正确.故选D.
4.B　[解析] 对于A,若cc,所以a2+b>a2+c,故B正确;对于C,D,若a=0,则ab=ac=0,a2c=a2b=0,故C,D错误.故选B.
5.C　[解析] 因为3a+b=2(a+b)+(a-b),-3≤a+b≤-2,1≤a-b≤4,所以-5≤3a+b≤0,所以3a+b的取值范围是[-5,0].故选C.
6.BC　[解析] 对于A,取a=1,b=-2,满足a>b,但是a2ab,不等式两边同时乘负数b,不等号方向改变,所以ab>b2,所以b2,所以>0,又a>b>0,即b-a<0,所以m(a+m)<0,所以-a可得>,故|b|>|a|,所以2a<2b不一定成立,故D错误.故选BC.
7.　[解析] ∵-38.24　[解析] 由题意可得120-x≥120×80%,解得x≤24,所以x的最大值为24.
9.B　[解析] 根据题意得,M=,N=,P===.对于A,N-P=-=,∵a>b>c,∴a-c>0,b-c>0,∴a+b-2c>0,∴N-P=>0,∴N>P,故A错误.对于B,M-P=-=,∵a>b>c,∴a-c>0,b-c>0,∴a+b-2c>0,∴M-P=>0,∴M>P,故B正确.对于C,M-N=-=,∵a>b>c,∴c-a<0,c-b<0,∴2c-a-b<0,∴M-N=<0,∴MP,N>P,∴M+N>2P,故D错误.故选B.
10.C　[解析] 由-10.由对勾函数的性质可得b=t+<-(1+1)=-2,c=t(2+t)<0,且c=t(2+t)=t2+2t=(t+1)2-1>-1.综上所述,b11.AD　[解析] 对于A,因为a>0,b>0,所以由<得<,故a>b,故A正确;对于B,取a=1,b=2,此时满足a>0,b>0,a>b-2,但a0,b>0时,a>b -<0,-<0 -<1,而-<1 / -<0,故C错误;对于D,由ln(a2+1)>ln(b2+1)可知,a2>b2,因为a>0,b>0,所以a>b,故D正确.故选AD.
12.BCD　[解析] 对于A,由糖水不等式得a>b>0,-a,故A错误.对于B,log32=<==log1510,故B正确.对于C,+>+=>,故C正确.对于D,++>++=1,++<++=2,故D正确.故选BCD.
13.-2　[解析] 因为a2+b2=4,b2+c2=3,c2+a2=3(a,b,c∈R),所以a2=2,b2=2,c2=1,从而a=±,b=±,c=±1,所以当a,b异号时,ab+bc+ca取得最小值-2.
14.[15,19]　[解析] 因为x+y=4-z,2x-y=5-z,所以x=3-,y=1-,由x,y,z≥0,得
解得0≤z≤3,故M=4x+3y+5z=4+3+5z=+15∈[15,19].
15.BCD　[解析] 对于A,若a=3,b=-1,则a2+b2=10>4,故A错误;对于B,a(1-b)=(2-b)(1-b)=b2-3b+2,令f(b)=b2-3b+2,则f(b)在(-∞,0)上单调递减,则f(b)>f(0)=2,故B正确;对于C,2a-2-b=22-b-2-b=3·2-b,因为b<0,所以-b>0,2-b>1,所以2a-2-b=3·2-b>3,故C正确;对于D,因为a+b=a-(-b)=2>0,所以a>-b,设g(x)=2x-2-x,则g(x)在定义域R上单调递增,则g(a)>g(-b),即2a-2-a>2-b-2b,所以2a+2b>2-a+2-b,故D正确.故选BCD.

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