资源简介

第4练　基本不等式
1.若x>0,则x+的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.3
C.2 D.4
2.[2025·广东汕头一模] 已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为 (　 )
A.1 B.2
C.4 D.不存在
3.若x>0,则函数y=的最小值为 (　 )
A.6 B.7
C.10 D.11
4.已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值为 (　 )
A.2 B.
C.4 D.9
5.下列函数中最小值为4的是 (　 )
A.y=x2+2x+4
B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x
D.y=ln x+
6.设a>b>0,则下列不等式中成立的是 (　 )
A.>>
B.>>
C.>>
D.>>
7.已知08.已知a,b>0,满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是　　　　.
9.[2025·佳木斯三模] 已知正数x,y满足2x·4y=4xy,则2x+y的最小值是 (　 )
A.2 B.9
C. D.13
10.(多选题)[2025·湖北四校模拟] 若正实数a,b满足2a+b=1,则下列结论正确的是 (　 )
A.2ab的最大值为
B.a2+b2的最小值为
C.+的最大值为
D.+的最小值为9
11.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　 )
A.x+y<1
B.x+y≥-2
C.x2+y2≥1
D.x2+y2≤2
12.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比.若在距离车站10 km处建仓库,则y1和y2分别为2万元和8万元,这家公司应该把仓库建在距离车站　　　　km处,才能使两项费用之和最小.
13.设x,y是正实数,且x+y=1,则+的最小值是　　　　.
14.已知函数f(x)=|lg x|,若f(a)=f(b)(a≠b),则当2a·3b取得最小值时,=　　　　.
15.[2025·吉林长春东北师范大学附中模拟] 已知△ABC中,C为锐角,若tan A+tan B=tan C,则tan C的取值范围是　　　　.
第4练　基本不等式
1.D　[解析] ∵x>0,∴x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,∴x+的最小值为4.故选D.
2.C　[解析] 由基本不等式得ab≤=4,当且仅当a=b=2时取等号.故选C.
3.D　[解析] ∵x>0,∴y==x++1≥2+1=11,当且仅当x=,即x=5时,等号成立,∴函数y=的最小值为11.
4.C　[解析] 由2a+b=1,得+=+=2++≥4,当且仅当a=b=时取等号,故+的最小值为4.故选C.
5.C　[解析] 对于A,y=(x+1)2+3≥3,最小值为3,不符合条件;对于B,令|sin x|=t,则t∈(0,1],y=t+在(0,1]上单调递减,故y=t+≥1+=5,即y=|sin x|+的最小值为5,不符合条件;对于C,y=2x+22-x≥4,当且仅当x=1时等号成立,符合条件;对于D,y=ln x+没有最小值,不符合条件.故选C.
6.B　[解析] 由a>b>0,得>>0,所以<,所以<=.综上,>>,故选B.
7.　[解析] 因为00,所以x(1-3x)=·3x(1-3x)≤×=×=,当且仅当x=时,等号成立,故x(1-3x)的最大值是.
8.[9,+∞)　[解析] 方法一:因为a,b>0,所以ab=a+b+3≥2+3,即()2-2-3≥0,所以≥3或≤-1(舍去),所以ab≥9,当且仅当a=b=3时等号成立,故ab的取值范围为[9,+∞).
方法二:由ab=a+b+3得(a-1)(b-1)=4,因为a>0,b>0,所以a>1,b>1,ab=[(a-1)+1][(b-1)+1]=5+(a-1)+(b-1)≥5+2=9,当且仅当a-1=b-1且ab=a+b+3,即a=b=3时等号成立.综上,ab的取值范围是[9,+∞).
方法三:由ab=a+b+3得a(b-1)=b+3,由a>0,b>0可得b>1,所以a=.令t=b-1>0,则b=t+1,则ab=·b==
=t++5≥2+5=9,当且仅当t=2,即a=b=3时等号成立.综上,ab的取值范围是[9,+∞).
方法四:令ab=a+b+3=t,因为a>0,b>0,所以t>3.由ab=t得b=,代入a+b+3=t得a++3-t=0,整理得a2+(3-t)a+t=0,所以Δ=(3-t)2-4t≥0,解得t≥9或t≤1(舍去).当t=9时,ab=9且a+b+3=9,解得a=b=3.综上,ab的取值范围是[9,+∞).
9.C　[解析] 由2x·4y=4xy,得2x·22y=22xy,即x+2y=2xy,则+=1,所以2x+y=(2x+y)=++≥2+=,当且仅当=,即x=y=时等号成立,所以2x+y的最小值是.
10.ACD　[解析] 对于A,2ab≤=,当且仅当2a=b=时等号成立,故A正确;对于B,b=1-2a,则a2+b2=a2+(1-2a)2=5a2-4a+1=5+≥,当a=,b=时等号成立,故B错误;对于C,由1=2a+b≥,得0<+≤,当且仅当2a=b=时等号成立,故C正确;对于D,+=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=b=时,等号成立,故D正确.故选ACD.
11.BD　[解析] 方法一:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3,当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确;因为-≤xy≤,所以-≤x2+y2-1≤,所以≤x2+y2≤2,故C错误,D正确.故选BD.
方法二:由x2+y2-xy=1得+=1,令
得故x+y=sin θ+cos θ=2sin∈[-2,2],故A错误,B正确;x2+y2=+=sin 2θ-cos 2θ+=sin+∈,故C错误,D正确.故选BD.
12.5　[解析] 设y1=,y2=tx,当x=10时,y1==2,y2=10t=8,∴k=20,t=0.8,∴y1=,y2=0.8x,∴两项费用之和z=y1+y2=+0.8x≥2=8,当且仅当=0.8x,即x=5时等号成立,即应该把仓库建在距离车站5 km处,才能使两项费用之和最小,且最小费用为8万元.
13.　[解析] 设x+2=s,y+1=t,则s+t=4,所以+=+=+=(s+t)+-6=-2=(s+t)-2=-2≥,当且仅当2t=s,即t=,s=时等号成立,所以+的最小值为.
14.log23　[解析] 由f(a)=f(b)得-lg a=lg=lg b,即ab=1,令z=2a·3b,则ln z=a·ln 2+
b·ln 3≥2=2,当且仅当a·ln 2=b·ln 3,即==log23时,ln z取得最小值,即z取得最小值.
15.[2,+∞)　[解析] 由tan C=-tan(A+B)知tan A+tan B=-,故tan Atan B=2,易知tan A>0,所以tan C=tan A+≥2,当且仅当tan A=时取等号,所以tan C的取值范围是[2,+∞).

展开更多......

收起↑