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第1课时　二次函数及其性质
1.若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为 (　 )
A.g(x)=2x2-3x
B.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2x
D.g(x)=-3x2-2x
2.已知函数f(x)=2x2-mx+3在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减,则f(-1)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3 B.13
C.7 D.不确定
3.已知a≠0,则函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系内的图象可以是 (　 )
A B C D
4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为-5和3,则二次函数f(x)的单调递减区间为 (　 )
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
5.如果函数f(x)=x2+bx+c,对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么 (　 )
A.f(-2)B.f(0)C.f(2)D.f(0)6.(多选题)[2025·四川眉山一诊] 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是 (　 )
A.c<0
B.b2-4ac<0
C.当x=3时,函数y=ax2+bx+c取得最小值
D.图象的对称轴是直线x=3
7.函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是　　　　　　　　.
8.已知函数f(x)=x2-2x在区间[-1,n]上的取值范围为[-1,3],则实数n的取值范围为　　　　.
9.已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)-(2+t)x,求g(x)在区间[1,2]上的最小值h(t)的表达式.
10.若函数f(x)=x2-3x-4在区间(m-3,2m)上单调递减,则实数m的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
11.已知向量=(ax,-1),=(x-ax,1-x),则函数f(x)=·的图象不可能为 (　 )
A B C D
12.(多选题)已知函数f(x)=ax2-2bx-1,则下列结论正确的是 (　 )
A.若f(x)是偶函数,则b=0
B.若f(x)<0的解集是(-1,1),则ab=1
C.若a=1,则f(x)>0恒成立
D.当a≤0,b<0时,f(x)在(-∞,0)上单调递增
13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式:f(x)=　　　　　.
①f(1-x)=f(1+x);②f(x)有两个零点;③f(x)有最小值.
14.已知函数f(x)=在[1,4]上单调,则实数k的取值范围为　　　　.
15.已知函数f(x)=4x+a·2x.
(1)若a=-5,求不等式f(x)≤-4的解集;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)的最小值为-1,求a的值.
16.(多选题)若函数f(x)=|x2-(m-2)x+1|在上单调,则实数m的值可以为 (　 )
A.-1 B.-
C. D.3
17.[2024·北京卷] 已知M={(x,y)|y=x+t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值,S是M表示的图形的面积,则 (　 )
A.d=3,S<1
B.d=3,S>1
C.d=,S<1
D.d=,S>1
第1课时　二次函数及其性质
1.B　[解析] 二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,设二次函数g(x)=ax2+bx(a≠0),可得则故g(x)=3x2-2x.故选B.
2.B　[解析] 依题意知f(x)=2x2-mx+3的图象的对称轴为直线x=2,所以=2,解得m=8,所以f(x)=2x2-8x+3,所以f(-1)=13.故选B.
3.C　[解析] 若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,若a<0,则一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,排除A,D;对于B,由图可知
不等式组无解,排除B.故选C.
4.A　[解析] 因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为-5和3,所以f(x)的图象的对称轴方程为x==-1,又a>0,所以f(x)的图象开口向上,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1].故选A.
5.D　[解析] ∵f(x)=x2+bx+c,对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),∴函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴方程为x=.∵f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=,x=0距离x=最近,x=-2距离x=最远,∴f(0)6.CD　[解析] 因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),所以ax2+bx+c=0的两根分别为1,5.由图可知,a>0,由根与系数的关系可知=1×5>0,即c>0,故A错误;由图可知,该二次函数与x轴有两个交点,所以Δ=b2-4ac>0,故B错误;由根与系数的关系可知,-=6,即该二次函数的图象的对称轴方程为x=-=3,所以当x=3时,函数y=ax2+bx+c取得最小值,故C,D正确.故选CD.
7.(-∞,1)和　[解析] 令x2-3x+2≥0,得x≥2或x≤1,当x≥2或x≤1时,f(x)=x2-3x+2,其图象的对称轴方程为x=;当18.[1,3]　[解析] 函数f(x)=x2-2x的图象的对称轴方程为x=1,则f(x)在[-1,1]上单调递减,且f(x)∈[-1,3],当x≥1时,函数f(x)单调递增,且f(3)=3,∴要使函数f(x)=x2-2x在区间[-1,n]上的取值范围为[-1,3],则实数n的取值范围是[1,3].
9.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=2,∴f(0)=c=2,
又∵f(x+1)-f(x)=2x+3,∴a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=2x+3,
即2ax+a+b=2x+3,
∴解得∴f(x)=x2+2x+2.
(2)由题意得,g(x)=f(x)-(2+t)x=x2-tx+2,则二次函数g(x)的图象的对称轴为x=.
当t≤2时,≤1,g(x)在[1,2]上单调递增,当x=1时,g(x)取得最小值3-t;当2综上,h(t)=
10.C　[解析] 因为f(x)=x2-3x-4的图象的对称轴为直线x=,所以函数f(x)在上单调递减,又函数f(x)=x2-3x-4在区间(m-3,2m)上单调递减,所以2m≤,解得m≤,又m-3<2m,所以m>-3,故实数m的取值范围是.故选C.
11.C　[解析] 因为=+=(x,-x),所以f(x)=·=ax2+x.当a=0时,f(x)=x,故A可能为f(x)的图象;当a>0时,二次函数f(x)=ax2+x的图象开口向上,由f(x)=ax2+x=x(ax+1)=0,解得x=0或x=-,所以f(x)的零点为0和-,且-<0,故B可能为f(x)的图象,C不可能为f(x)的图象;当a<0时,二次函数f(x)=ax2+x的图象开口向下,f(x)的零点为0和-,且->0,故D可能为f(x)的图象.故选C.
12.ABD　[解析] 对于A,函数f(x)的定义域为R,若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即ax2+2bx-1=ax2-2bx-1,即4bx=0对任意的x∈R恒成立,所以b=0,故A正确;对于B,若不等式f(x)<0的解集为(-1,1),则a>0且-1,1为方程f(x)=0的两根,则
解得故ab=1,故B正确;对于C,若a=1,则f(x)=x2-2bx-1,Δ=4b2+4>0,故f(x)>0不恒成立,故C错误;对于D,当a=0时,因为b<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,当a<0时,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=,且>0,由二次函数的单调性可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,故D正确.故选ABD.
13.x2-2x(答案不唯一)　[解析] 令f(x)=x2-2x,则其图象的对称轴为直线x=1,满足①f(1-x)=f(1+x);令f(x)=x2-2x=0,解得x=0或x=2,满足②f(x)有两个零点;f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1时,f(x)min=-1,满足③f(x)有最小值.
14.(-∞,2]∪[8,+∞)　[解析] f(x)=,令g(x)=x2-kx-8,则“函数f(x)=在[1,4]上单调”等价于“函数g(x)=x2-kx-8在[1,4]上单调”.g(x)的图象的对称轴为直线x=,若g(x)=x2-kx-8在[1,4]上单调递增,则≤1,解得k≤2;若g(x)=x2-kx-8在[1,4]上单调递减,则≥4,解得k≥8.综上所述,实数k的取值范围为(-∞,2]∪[8,+∞).
15.解:(1)当a=-5时,不等式f(x)≤-4即为4x-5·2x+4≤0,
所以(2x-1)(2x-4)≤0,则有1≤2x≤4,则0≤x≤2,故不等式f(x)≤-4的解集为{x|0≤x≤2}.
(2)令t=2x,x∈[-2,2],则t∈,设g(t)=t2+at,则g(t)的图象开口向上,对称轴方程为t=-.
①当-<,即a>-时,g(t)在上的最小值为g=+=-1,解得a=-,不符合题意;
②当≤-≤4,即-8≤a≤-时,g(t)在上的最小值为g=-=-1,可得a=-2;
③当->4,即a<-8时,g(t)在上的最小值为g(4)=16+4a=-1,解得a=-,不符合题意.
综上所述,a的值为-2.
16.BD　[解析] ①当Δ=(m-2)2-4≤0,即0≤m≤4时,f(x)=|x2-(m-2)x+1|=x2-(m-2)x+1,所以f(x)的图象的对称轴为直线x=,当0≤m≤2时,f(x)的图象如图①所示,当20,即m<0或m>4时,令h(x)=x2-(m-2)x+1,则h(x)的图象的对称轴为直线x=,当m<0时,h(x)的图象如图③所示,当m>4时,h(x)的图象如图④所示.由图可知,要使函数f(x)=|x2-(m-2)x+1|在上单调,则或可得417.C　[解析] 对任意的x∈[1,2],x2-x=x(x-1)≥0,因为t∈[0,1],所以x≤x+t(x2-x)≤x+x2-x=x2,即x≤y≤x2,所以集合M={(x,y)|y=x+t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}表示的图形即为不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,其中A(1,1),B(2,2),C(2,4),连接AC.由图可知,d=AC=,S

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