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第2课时　一元二次方程、不等式
1.不等式(2-x)(2x-3)>0的解集是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.R
C.
D.
2.[2025·全国二卷] 不等式≥2的解集是 (　 )
A.{x|-2≤x≤1}
B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1}
D.{x|x>1}
3.若关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集是,则a的取值范围是 (　 )
A.
B.
C.
D.∪(0,+∞)
4.已知不等式ax2+bx-3>0的解集为{x|x>1或x<-3},则不等式>0的解集为 (　 )
A.{x|-1B.{x|-2C.{x|x>2或x<-1}
D.{x|x>1或x<-2}
5.在物理学中,若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系h=v0t-gt2,其中g≈10 m/s2,一名同学以初速度v0=11 m/s竖直上拋一排球,排球能够在拋出点2 m以上的位置最多停留 (　 )
A.1.6 s B.1.7 s C.1.8 s D.1.9 s
6.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥3},则下列说法正确的是 (　 )
A.a<0
B.ax+c<0的解集为{x|x<3}
C.8a+4b+3c<0
D.cx2+bx+a<0的解集为
7.不等式x2-6x+10>0的解集为　　　　.
8.若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[1,4]上有解,则实数m的最小值为　　　　.
9.已知a,b,c∈R且c>1,关于x的不等式bx2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>c}.
(1)求b,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
10.关于x的方程x2+(a-2)x+5-a=0有两根,其中一根小于2,另一根大于3,则实数a的取值范围是 (　 )
A.a<-5或a>-4 B.-5C.a<-5 D.a>-4
11.[2025·广西南宁二模] 已知函数f(x)=2ax|x-b|,a≠0.若不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤2b},则b= (　 )
A. B.1 C. D.2
12.(多选题)若关于x的不等式在(0,1)上恒成立,则该不等式称为单位区间不等式,则下列不等式是单位区间不等式的有 (　 )
A.2x2-x<0
B.x+>2
C.x2-2x<0
D.x+>2
13.若函数y=lg(c+2x-x2)的定义域是(m,m+4),则实数c的值为　　　　.
14.[2025·渭南二模] 若关于x的不等式2ax2-4x15.已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b为实数).
(1)若函数图象过点(1,1),对任意x∈R,y>0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若函数图象过点(1,1),对任意a∈[-2,-1],y>0恒成立,求实数x的取值范围;
(3)若对任意x∈R,y≥0恒成立,当b>0时,求的最小值.
16.(多选题)[2025·重庆八中月考] 已知a,b,c∈R,满足a2+b2+c2=4,且(a-2)(b-2)(c-2)=abc,则下列结论正确的有 (　 )
A.a+b+c=2
B.ab+bc+ac=1
C.a的最大值为2
D.a的最小值为-
17.设a<0,若不等式sin2x+(a-1)cos x+a2-1≥0对于任意的x∈R恒成立,则a的取值范围是　　　　.
第2课时　一元二次方程、不等式
1.C　[解析] 由(2-x)(2x-3)>0得(x-2)(2x-3)<0,解得2.C　[解析] 由≥2,得-2≥0,即≥0,可得-(x+2)(x-1)≥0且x-1≠0,所以-2≤x<1,故不等式≥2的解集为{x|-2≤x<1}.
3.C　[解析] 因为关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集是,所以a<0且<-2,解得-4.A　[解析] 由题意知-3,1为方程ax2+bx-3=0的两根且a>0,所以解得则不等式>0可化为(x+1)(2-x)>0,即(x+1)(x-2)<0,解得-15.C　[解析] 由题意可得h=11t-5t2,令h=11t-5t2>2,得5t2-11t+2<0,解得0.26.AD　[解析] 对于A,∵ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-1或x≥3},∴解得故选项A正确;对于B,ax+c<0可化为ax-3a<0,即x-3>0,故ax+c<0的解集为{x|x>3},故选项B不正确;对于C,8a+4b+3c=8a-8a-9a=-9a>0,故选项C不正确;对于D,cx2+bx+a<0可化为-3ax2-2ax+a<0,即3x2+2x-1<0,其解集为,故选项D正确.故选AD.
7.R　[解析] 因为x2-6x+10=(x-3)2+1>0恒成立,所以不等式x2-6x+10>0的解集为R.
8.5　[解析] 关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在区间[1,4]上有解,等价于关于x的不等式(m+1)x≥x2+9在区间[1,4]上有解,即关于x的不等式m+1≥x+在区间[1,4]上有解,又x+≥6,当且仅当x=3时,等号成立,所以m+1≥6,可得m≥5,故m的最小值为5.
9.解:(1)由题意,1,c是关于x的方程bx2-3x+2=0的两根.
由b-3+2=0,得b=1,由c2-3c+2=0,解得c=2或c=1(舍去),
故b=1,c=2.
(2)由(1)可知,原不等式可化为ax2-(2a+1)x+2<0,即(ax-1)(x-2)<0.若a=0,则-x+2<0,解得x>2;若a<0,则(x-2)>0,解得x<或x>2;
若a>0,则(x-2)<0,
当<2,即a>时,解得当=2,即a=时,解得x∈ ,当>2,即0时,不等式的解集为.
10.C　[解析] 设f(x)=x2+(a-2)x+5-a,则由题意可知
即解得a<-5,故实数a的取值范围是a<-5.故选C.
11.A　[解析] f(x)=2ax|x-b|=根据选项可知只需要考虑b>0的情况,要使不等式a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤2b},则当a<0时,f(x)的图象如图①所示(x,y轴的单位长度不相等),则可得
解得b=.当a>0时,f(x)的图象如图②所示,由图可知,若a≤x≤2b,则f(x)min=0,无法满足a≤f(x)≤b的解集为{x|a≤x≤2b},故舍去.故选A.
12.BCD　[解析] 2x2-x<0的解集为,故A错误;当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时,等号成立),因为1 (0,1),所以x+>2对x∈(0,1)恒成立,故B正确;x2-2x<0的解集为(0,2),所以x2-2x<0对x∈(0,1)恒成立,故C正确;当x>0时,x+≥2(当且仅当x=时,等号成立),因为 (0,1),所以x+>2对x∈(0,1)恒成立,故D正确.故选BCD.
13.3　[解析] 依题意,得-x2+2x+c>0,即x2-2x-c<0的解集为(m,m+4),所以m,m+4是方程x2-2x-c=0的两个根,所以
解得
14.[1,2)　[解析] 当a=0时,不等式为-4x<-2,解得x>,不满足条件,故a≠0,不等式2ax2-4x0,则x1=,x2=<0,所以不等式的解集为∪,不满足条件.当a>0时,不等式可化为(2x-1)<0,当x1>x2时,>,即a>4,不等式的解集为,要使不等式有且只有一个整数解,则-1≤<0,又因为a>0,所以不满足条件;当x1=x2时,=,即a=4,不等式的解集为空集;当x115.解:(1)依题意得a+b+2=1,即b=-1-a,由对任意x∈R,y>0恒成立,得
即
整理得解得3-2(2)由(1)知,b=-1-a,由y>0,得ax2-(1+a)x+2>0,即(x2-x)a-x+2>0.
依题意得,(x2-x)a-x+2>0对任意a∈[-2,-1]恒成立,
令g(a)=(x2-x)a-x+2,
则解得(3)由对任意x∈R,y≥0恒成立,得则a≥,因此≥=+,显然+≥2=1,当且仅当=,即b=4时取等号,由a=且b=4,得a=2,所以当a=2,b=4时,取得最小值1.
16.ACD　[解析] 由(a-2)(b-2)(c-2)=abc,得4(a+b+c)-8=2(ac+bc+ab),所以a2+b2+c2+2(ac+bc+ab)=(a+b+c)2=4+4(a+b+c)-8,解得a+b+c=2,故A正确;4(a+b+c)-8=0=2(ac+bc+ab),即ac+bc+ab=0,故B错误;由a+b+c=2,得b+c=2-a,bc=-ac-ab=-a(b+c)=-a(2-a)=a2-2a,构造以b,c为两根的一元二次方程x2-(2-a)x+a2-2a=0,则Δ=(2-a)2-4(a2-2a)≥0,解得-≤a≤2,故C,D正确.故选ACD.
17.a≤-2　[解析] 因为不等式sin2x+(a-1)cos x+a2-1≥0对于任意的x∈R恒成立,所以不等式-cos2x+(a-1)cos x+a2≥0对于任意的x∈R恒成立,令t=cos x,即t2-(a-1)t-a2≤0对于任意的t∈[-1,1]恒成立,设f(t)=t2-(a-1)t-a2,因为a<0,所以<-,则f(1)≤0,即1-(a-1)-a2≤0,解得a≤-2或a≥1(舍去),故a≤-2.

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