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2026年广东省东莞市厚街丰泰外国语学校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.6的倒数是（　　）
A. 6 B. -6 C. D.
2.据国内AI产品榜统计数据，某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.2215×107 B. 2.215×106 C. 22.15×106 D. 2.215×107
3.若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A. x≤2 B. x＜2 C. x≥2 D. x＞2
4.若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＜1 B. k≤1 C. k＜1且k≠0 D. k≤1且k≠0
5.某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展.截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个.设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x,则可列方程为（　　）
A. 10（1+2x）=16.9 B. 10（1+x）2=16.9 C. 10（1+x2）=16.9 D. 10（1+x）=16.9
6.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（　　）
A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天
7.当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　）
A. y=-3x B. C. y=3x+1 D. y=-（x-1）2-3
8.已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）
A. y1＞y2＞2 B. y2＞y1＞2 C. 2＞y1＞y2 D. 2＞y2＞y1
9.我国宋代数学家杨辉发现了（a+b）n（n=0，1，2，3，…）展开式系数的规律：
（a+b）0=1 展开式系数和为1
（a+b）1=a+b 1 1展开式系数和为1+1
（a+b）2=a2+2ab+b2 1 2 1展开式系数和为1+2+1
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 3 3 1展开式系数和为1+3+3+1
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 4 6 1 4　展开式系数和为1+4+6+4+1
以上系数表称为“杨辉三角”，根据上述规律，（a+b）8展开式的系数和是（　　）
A. 64 B. 128 C. 256 D. 612
10.如图，点A、B在双曲线y1=（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2=（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC=20，AB=3BC，AD=DE，则k2的值为（　　）
A. -10 B. -11 C. -12 D. -13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x2-36= .
12.若（x-1)2=2，则代数式x2-2x+5的值为______．
13.方程x2-4=0的根是 ．
14.如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 ．
15.如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3）…均在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则y2026的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
解不等式组，并将解集用数轴表示出来.
18.(本小题7分)
万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑.学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动.下面是某学习小组的活动记录.
活动课题 测量万荣稷王庙的高度
活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题
方案示意图
测量步骤 1.无人机在点A处以5m/s的速度竖直上升6s后，飞行至点B处.
2.调整无人机位置，使得点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上且DE⊥AE.
3.在点B处测得塔顶D的俯角为21°.
4.然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°.
参考数据 sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38
应用 请根据以上数据计算DE的高度（结果精确到0.1米）.
请完成同学们提出的问题.
19.(本小题9分)
在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化.酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色.现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液.
A.酚酞
B.氢氧化钠溶液（碱性）
C.盐酸溶液（酸性）
D.蒸馏水（中性）
（1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是______.
（2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率.
20.(本小题9分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE=BC.连接AE.过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF.
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E=30°，OF=2，求菱形ABCD的面积.
21.(本小题9分)
【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角.
【概念理解】
（1）根据概念，完成下列问题：
①如图1，△ABC是正度三角形，∠C是正度角.若∠B=130°，则∠C=______；
②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为______.
【性质探究】
（2）如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC是正度三角形，∠B是钝角，∠A是正度角时，存在的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论；
【拓展应用】
（3）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E.连接AD，BD，△ACE和△BCD都是正度三角形，且∠CAB、∠DCB分别为正度角时，求∠CAB的度数.
22.(本小题13分)
为迎接春节的到来，某社区在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂了灯笼，营造喜庆的节日氛围.某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 在大门上方的抛物线形框架结构上悬挂灯笼
测量工具 皮尺等
采集数据 如图1是该社区大门及上方抛物线形框架结构平面示意图，信息如下：
1.大门形状为矩形（矩形AOBC）；
2.底部跨度OA的长为8m；
3.大门上方抛物线形框架的顶点P到BC的距离PD=3m；
4.大门B，C两点到地面的垂直距离均为7m（OB=AC=7m）
设计方案 现需在此抛物线形框架上的点M，N处各悬挂一个灯笼.已知点M，N关于抛物线的对称轴对称，且两灯笼之间的水平距离为4m（M，N之间的距离为4m）
确定思路 如图2，小组成员经过讨论，确定以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求大门上方框架所在抛物线的表达式，并写出自变量x的取值范围.
（2）若悬挂点到灯笼最底端的距离为1.5m,求灯笼最底端到地面的高度.
（3）春节期间，该社区举行非遗盛大文化表演，表演时矩形彩车经过该社区大门时不能触碰灯笼.已知宽为5m、高度不等的矩形彩车车队居中行驶，且彩车的高度均为整数.在（2）的条件下，求该车队中彩车的最大高度.
23.(本小题14分)
综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：.
【简单应用】
（1）在图①中，若，，则CD=______.
（2）如图③，有一个圆形公园⊙O，直径AB是贯穿公园⊙O的一条小路，出口点C、D在公园⊙O上，且，线段BC也是一条小路，若路AB=1300米，BC=1200米，现在要在出口C、D之间挖一条小河CD，小河CD最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=a,BC=b（a＜b），求CD的长（用含a,b的代数式表示）.
（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足4AE=AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是______.（直接写出答案）
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】（x+6）（x-6）
12.【答案】6
13.【答案】x=±2
14.【答案】2+2
15.【答案】
16.【答案】-2．
17.【答案】-3＜x＜2，

18.【答案】DE的高度约为11.6m．
19.【答案】
20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AD=BC，
∵BE=BC，
∴AD=BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE∥BD．
∵BF∥AC，
∴四边形AFBO是平行四边形．
∵AC⊥BD，AE∥BD，
∴AE⊥AC，
∴∠OAF=90°，
∴平行四边形AFBO是矩形．
（2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形，
∴∠AFB=90°，OF=AB，
∴∠BFE=∠FBO=90°．
又∵∠E=∠BOF=30°，OF=2，
∴BF=1，
∴BE=2BF=2．
在Rt△AEC中，BE=BC，
∴AB=BE=BC=2，
∴△ABC为等边三角形，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×=2．
21.【答案】40°;30° 如图，作BD⊥AB交AC于D，
∴∠ABD=90°，
∵△ABC是正度三角形，∠ABC是钝角，∠A是正度角，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°+∠DBC=90°+∠A，
∴∠DBC=∠A，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴ ∠ CAB=18°
22.【答案】 7.75 m 7 m
23.【答案】5 米 或
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