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2026年云南省大理州初中学业水平模拟测试数学试题卷
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家．若水库的水位升高米时，水位变化记作米，则水位下降米时，水位变化可记作
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2.地球的表面积约为510000000平方千米，用科学记数法可以把数字510000000表示为
A. B. C. D.
3.如图，直线与直线、都相交．若，，则（ ）
A. B. C. D.
4.反比例函数y＝﹣的图象位于（　　）
A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
5.下列计算正确的为（）
A. B. C. D.
6.如图，与交于点，且．若则（ ）
A. B. C. D.
7.下列几何体中，主视图是三角形的是（）
A. B. C. D.
8.按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式为（ ）
A. B. C. D.
9.在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.下列四个选项所描述的图形中，不是轴对称图形的为
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 线段
11.某校举行啦啦操比赛，从甲、乙、丙三个班的参赛学生中各随机抽取10名学生进行身高测量，三个班抽取的学生平均身高都为米，身高数据的方差分别是，，，则估计参赛学生的身高比较整齐的班级为
A. 甲班 B. 乙班 C. 丙班 D. 无法确定
12.蜜蜂的蜂巢精巧规整、美观有序，从入口望去，整体由无数规整的正六边形紧密拼接而成．如图所示，则正六边形的内角和为
A. B. C. D.
13.小明过完生日后，对圆锥形的生日帽进行了测量，如图，测得圆锥底面半径为，母线长为25，则生日帽的外表面积为
A. B. C. D.
14.如图，在中，．若，，则（ ）
A. B. C. D.
15.某校组织“奋进杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了36场，设该校共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为 ．
17.分解因式：
18.如图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是 .
19.某校组织以“保护洱海，爱我家园”为主题的手抄报作品征集活动，先从中随机抽取了若干作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么，此次一共抽取了 份作品．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
20.计算：
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
如图，已知，，．求证：．
22.(本小题6分)
云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．
某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀．已知快艇的平均速度是游船平均速度的倍，结果快艇比游船早到小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？
23.(本小题8分)
某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小理从这四张卡片中随机抽取2张卡片．
(1) 请用画树状图或列表的方法，求小理抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数；
(2) 求所抽的两张卡片中，有数学家华罗庚邮票图案的概率．
24.(本小题8分)
如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，，求线段的长．
25.(本小题8分)
请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信．
素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元．
素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元；
素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的．
请完成下列任务：
(1) 任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？
(2) 任务二：请给出最节省费用的购买方案．
26.(本小题8分)
已知抛物线经过点，设、是常数．
(1) 求的值（用含的式子表示）；
(2) 点和点是抛物线上的任意两点，且满足，记．若的值为整数，求的所有整数值．
27.(本小题12分)
如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为．
(1) 当，求；
(2) 求证：是的切线；
(3) 在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】A
13.【答案】D
14.【答案】A
15.【答案】A
16.【答案】5
17.【答案】
18.【答案】∠ABC=90°（答案不唯一）
19.【答案】120
20.【答案】解：
．

21.【答案】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．

22.【答案】解：设游船的平均速度为千米/小时，则快艇的平均速度为千米/小时。
依题意得。
解得。检验：当时，，所以是原分式方程的解。
则快艇的平均速度为千米/小时。
答: 游船的平均速度为18千米/小时, 则快艇的平均速度为36千米/小时。
23.【答案】【小题1】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，分别是
【小题2】
解：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种等可能结果，分别为，
（抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）．
答：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为．

24.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴，
∵，
四边形是平行四边形．
∵
平行四边形是菱形．
【小题2】
解：∵，
，
∵，，
在中，，
，
，
∵四边形是菱形，
，
又∵，
在中，，
，
．

25.【答案】【小题1】
解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，
，解得，，
答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元；
【小题2】
解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，
，
购买男款的数量不超过购买女款数量的
，解得
随的增大而增大，
当时，的值最小
当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低，
此时，购买男款扎染服饰套．
当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低．

26.【答案】【小题1】
解：抛物线经过点
；
【小题2】
且
，
点和点是抛物线上的任意两点
，
　
　
　
　
　
的值为整数
，
或2．

27.【答案】【小题1】
解：是的直径，
，
，
；
【小题2】
证明：连接，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
【小题3】
解：存在常数，，使等式成立，且，，理由如下：
连接，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，，
，
∵，
，
，
，
，
∵，
，．

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