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2025-2026学年山东省青岛市李沧区等五区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=3，BC=4，则OC的长为（　　）
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 5
3.下列几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是（　　）
A. B. C. D.
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=17，则cosB的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.在平面直角坐标系中，四边形OBCD与四边形OEFG是位似图形，位似中心是原点O.已知点B与点E是对应顶点，且B，E的坐标分别是B（2，5），E（8，20），那么四边形OBCD与四边形OEFG的相似比为（　　）
A. B. C. 2 D. 4
6.若x1，x2是方程x2+2x-5=0的两个根，则2x1-x1x2+2x2的值为（　　）
A. -9 B. -1 C. 1 D. 9
7.为了保障高速公路行车安全，交通部门常用“区间测速”来判断车辆是否超速.所谓区间测速，是在同一路段上设置两个监控点，根据车辆通过前后两个监控点的时间来计算其在该路段上的平均行驶速度.在某高速公路限速区间AB段，汽车的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）之间满足反比例函数关系（如图）.根据我国《道路交通安全法实施条例》规定，高速公路小型载客汽车最高车速不得超过120km/h,最低车速不得低于60km/h（避免因车速过慢引发追尾等事故）.已知小明的爸爸驾驶小汽车以符合限速规定的速度通过该区间AB段，则他所用的时间t（h）可能为（　　）
A. 0.2h B. 0.4h C. 0.5h D. 0.9h
8.在同一平面直角坐标系中二次函数与一次函数y2=x-c的图象如图所示，则二次函数y=-ax2+（1-b）x-c-2的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
9.已知线段AB的长度是线段CD长度的3倍，则AB：CD的值是 .
10.计算：= .
11.如图，AB与CD相交于点O，且AC∥BD，已知AC=2，OA=1.5，DB=4，则OB的长为 .
12.如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为 .
13.请写出一个满足条件①②的二次函数表达式y= .
①图象经过点（0，3）和点（2，3）；
②图象的开口向下.
14.如图，斜坡CD部分的坡角为45°，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BM长为10米，则大树AB的高为 米（结果保留根号）.
15.如图，矩形ABCD中AB=8，AD=6，点Q在对角线BD上，过点Q作EF⊥BD，交边AB，CD于点F，E，过点E作ME⊥CD交BD于点M，连接DF，FM，BE，下列结论：①△MQE∽△BCD；②当CE：ED=1：2时，S△MQE=；③四边形FBED的面积不变；④DF+EF+BE的最小值是20.正确的是 （只填写序号）.
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
已知：矩形ABCD，
求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．
17.(本小题9分)
（1）解方程：x2+4x=1；
（2）求二次函数y=（x-1）2-4的图象与x轴的交点的坐标.
18.(本小题6分)
青岛以“红瓦绿树，碧海蓝天”著称，拥有丰富的非物质文化遗产.为增强游客文化体验，某景区在非遗文化周宣传活动中设置了免费互动环节：工作人员准备了正面分别印有“胶州黑陶”“胶州秧歌”“即墨柳腔”的三张卡片（分别记为A卡、B卡、C卡），它们除正面图案和文字不同外完全相同，游客可从洗匀的卡片中随机抽取一张，记录后放回并重新洗匀，再抽取一张.若两次抽取的卡片正面相同，则可获得非遗主题纪念品一份.请用画树状图或列表的方法，求游客小明恰好获得纪念品的概率.
19.(本小题8分)
单摆是一种能够产生往复摆动的装置，其摆球在重力的作用下沿着圆弧进行周期性往复运动.某校数学兴趣小组尝试利用摆球与摆线进行与单摆相关的实验探究.他们的实验报告如下：
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球、摆线、支架、摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计）
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BE⊥OA，∠BOA=68°，BE=27.9cm；当摆球运动至点C时，∠COA=45°，CD⊥OA.（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
请你根据以上信息，求ED的长.（结果保留整数）
（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，
20.(本小题8分)
根据相似多边形的定义，我们可以这样定义相似四边形：四角分别相等、四边成比例的两个四边形叫做相似四边形.例如，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′满足：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′，，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，记作四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.
（1）若四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB=4，BC=2，A′B′=8，B′C′=4，它们的相似比为______；
（2）若四边形ABCD为平行四边形，∠A=45°，AB=8，AD=6，且平行四边形ABCD与平行四边形A'B'C'D'是相似四边形，相似比为，则平行四边形A′B′C′D′的周长为______，平行四边形A'B'C'D'的面积为______；
（3）若菱形ABCD∽菱形A′B′C′D′，∠B=60°，A′C=6，则菱形A′B′C′D′的面积为______.
21.(本小题8分)
如图，小明在草稿纸上画出某个反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面.请根据图中信息，求：
（1）反比例函数的表达式；
（2）点B的坐标.
22.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点O，交DC的延长线于点E.
（1）求证：CE=CD；
（2）已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形ABEC的形状，并证明你的结论.
条件①：∠AOC=2∠D；
条件②：∠EAB=2∠CAD.
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
23.(本小题10分)
某水上乐园有一种娱乐项目一飞跃滑梯（如图1所示），游玩者通过抛物线型的滑道，在加速度作用下使之产生强烈的失重感，瞬间冲向滑道尾部向上抛出在空中形成一条抛物线.某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图.如图2，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以水面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，请你解决以下问题：
（1）点B与水面的距离OB为1.5m,水滑道最低点C与水面的距离为，点C到点B的水平距离为，求水滑道ACB所在抛物线的关系式；
（2）如图2，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=10m,人腾空飞出后的落地点D与水池边缘的安全距离不得少于3m,若某人腾空飞出后经过的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB的部分图形关于点B成中心对称.
①请求出此人腾空飞出后距水面的最大高度；
②此人腾空飞出后的落地点D是否在安全范围内？请说明理由.
24.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4cm,动点P从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s,过点P作BD的垂线，垂足为F，E是DP的中点，连接EF，AF，AE，BE，设运动的时间为t（s）（0＜t＜4）.
（1）当点P运动2s时，求EF的长；
（2）设四边形AFPD的面积为S（cm2），求S与t之间的关系式；
（3）是否存在某一时刻t,使∠AEF=45°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】3
10.【答案】
11.【答案】3
12.【答案】162
13.【答案】-x2+2x+3（答案不唯一）
14.【答案】（5-5）
15.【答案】①③④
16.【答案】解：如图，四边形AECF为所作．

17.【答案】， （3，0）和（-1，0）
18.【答案】．
19.【答案】ED的长为10cm．
20.【答案】 42; 18
21.【答案】 B
22.【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AED，
∴∠EAD=∠AED，
∴AD=DE，
∵AD=2AB，DE=DC+CE，AB=CD，
∴CE=CD；
解：若选择条件①，四边形ABEC是矩形；
由 可知，CE=CD，
∴CE=AB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴OA=OE，OB=OC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
∵∠AOC=∠ABC+∠BAE，∠AOC=2∠D，
∴∠ABC=∠BAE，
∴OA=OB，
∴OA=OE=OB=OC，
∴AE=BC，
∴平行四边形ABEC是矩形；
若选择条件②，四边形ABEC是矩形，
由 可知，CE=CD，
∴CE=AB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴OA=OE，OB=OC，
∵∠BAE=∠EAD，∠BAE=2∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠ACB=∠EAC，
∴OA=OC，
∴OA=OE=OB=OC，
∴AE=BC，
∴平行四边形ABEC是矩形
23.【答案】y=（x+）2+ ①此人腾空飞出后距水面的最大高度为；②此人腾空飞出后的落地点D在安全范围内
24.【答案】cm S=-t2+t+8 t=8-4
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