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2025-2026学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最小的数是（　　）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
2.以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔爱心曲线
C. 斐波那契螺旋线 D. 科克曲线
3.若点（a,-4）在反比例函数的图象上，则a=（　　）
A. -3 B. 3 C. 48 D. -48
4.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OE：OB=1：2，△DEF的周长为4，则△ABC的周长为（　　）
A. 16
B. 12
C. 8
D. 4
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC=100°，则∠ABC的度数是（　　）
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
6.估算的结果应在（　　）
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
7.如图，一次函数y=k1x+b1的图象与y=k2x+b2的图象相交于点P（-2，3），则关于x,y的方程组的解是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等.若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（　　）
A. x（1+x）=81 B. 1+x+x（1+x）=81
C. 1+x+x2=81 D. x+x（1+x）=81
9.如图，正方形ABCD的边长为24，点E为BC边上一点，连接AE，将AE绕点A顺时针方向旋转90°到AF，连接CF分别交AB、AE于点G、H，若BG=7，则线段CF的长为（　　）
A. 48 B. 38 C. 50 D. 55
10.已知整式，其中a2，a1，a0为互不相等的正整数且不大于6，下列说法：
①存在唯一的一组a0，a1，a2的值，使得为整式；
②若a2=1，则满足条件的所有式子中，当x取任意实数时，其值为非负数的整式M的和为9x2+25x+46；
③若a2＞a1＞a0，则满足条件的M共有20个.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：= .
12.我校艺术节中的“美淘街”板块一直以来深受广大师生的喜爱、今年“手工书签”、“手绘帆布包”、“DIY串珠饰品”三样商品尤为火爆.小王和小李决定从这三样商品中随机选择一个购买，他们恰好都选到“手绘帆布包”的概率为 .
13.光的速度约为3×km/s，太阳光照到地球上要5×s，那么地球与太阳的距离有____km．（结果用科学记数法表示）
14.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,把长方形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为 cm.
15.如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC为⊙O的直径，，延长AD、BC相交于点E，⊙O的切线BG与DC的延长线相交于点G.若BC=2，，则⊙O的半径为 ；的值为 .
16.对于任意一个四位数M，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多4，百位数字与十位数字之和为4的倍数，则称这样的M为“拉布布数”.例如四位数7263，∵7-3=4，2+6=8=2×4，∴7263是“拉布布数”；四位数5132，∵5-2≠4，∴5132不是“拉布布数”，则最大的“拉布布数”是 ；一个“拉布布数”M=，记，F（M）=4（a-b）.若能被5整除，则所有满足条件的M的最大值与最小值的和为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组：的所有整数解.
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°.
（1）请用尺规完成基本作图：作斜边BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，连接BE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：（请补全下面的证明过程）.
证明：在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=90°-∠C=60°，
∵DE垂直平分BC，
∴①______，
∴②______=∠C=30°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=30°，
在Rt△ABE中，
∵∠A=90°，∠ABE=30°，
∴③______，
∵BE=CE，
∴.
19.(本小题10分)
新春将至，诈骗频发，针对中学生开展防诈骗教育意义重大.学校对七、八年级学生进行了防诈骗教育，为了解此次教育的效果，学校开展了防诈骗知识测试.从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的防诈骗知识测试成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分四组：A.x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100）下面给出了部分信息：
七年级20名学生的测试成绩是：66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100.
八年级20名学生测试成绩在C组中的数据是：8S，87，82，87，80，87，85.
根据以上信息，解答下列问题：
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 D组所占百分比
七年级 86 86 b 40%
八年级 86 a 87 45%
（1）填空：a=______，b=______，A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数为______度；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级参加防诈骗知识测试的学生中，哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八两个年级共有学生1200人参与此次防诈骗知识测试，请估计这两个年级共有多少名学生分数在C等级（80≤x＜90）？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x=|-4|-（π-3.14）0.
21.(本小题10分)
我校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“山城骏马手账本”和“雾都萌马钥匙扣”.若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元.
（1）请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？
（2）由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍.经测算，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元？
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BD是AC边上的高，且BD=4，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿着B→D→A运动，同时动点Q以每秒0.5个单位长度的速度从点C出发，沿着C→A运动，E是射线CB上一动点，连接AP、EQ、△CEQ的面积是△CBD面积的一半，设点P、Q的运动时间为x（0＜x＜7），△ABP的面积为y1，点E到AC的距离为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
2025年是“中国航天之父”钱学森先生归国70周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动.甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章.已知校门C在礼堂A的南偏西30°方向.出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离600米的图书馆D，随后从D向南偏东15°方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处.（参考数据：1.41，，）
（1）求CD的长度（结果保留根号）；
（2）若甲同学步行的平均速度为100米/分，乙同学步行的平均速度为150米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到0.1）.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D（-6，-8）为抛物线上一点，抛物线的对称轴为直线x=-1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PE∥y轴交直线AC于点E，过点E作EF⊥BD于点F，连接PF.当△PEF的面积最大时，求P点的坐标，此时P点保持不动，将线段EF沿直线AC继续平移，求平移过程中PE+EF+PF的最小值；
（3）将抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）沿射线AC方向平移后经过点（-2，2），得到抛物线y1，y1的对称轴与x轴交于点M，线段AC上有一点N，连接MN，过点M作MN⊥MK交抛物线y1于点K，连接NK，若∠MNK=∠ACO，请直接写出所有符合条件的K点的坐标，并写出求解K点坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
△ABC为等边三角形，E、F分别为射线AB、BC上的点，且AE=BF，连接AF、CE，直线AF、CE相交于点D.
（1）如图1，当点E在AB边上时，求∠ADC的度数；
（2）如图2，当点E在AB边的延长线上时，延长CD到点M，使得DM=AD，连接BM交AC于点G、交AF于点H.请用等式表示线段CD与DH的数量关系并证明；
（3）若AB=2，在（2）的条件下，当BH取最大值时，连接BD，请直接写出△ABD的面积.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】5
12.【答案】
13.【答案】1.5×108
14.【答案】
15.【答案】3

16.【答案】9845
16337

17.【答案】-1，0，1．
18.【答案】作图如下：
BE=CE;∠EBC;
19.【答案】87.5;86;18 八年级学生的测试成绩较好，理由如下：
∵七年级、八年级学生的测试的平均成绩相同都是86分，
八年级学生的测试的中位数比七年级的高，
∴八年级学生的测试成绩较好．（答案不唯一） 390名
20.【答案】，6．
21.【答案】每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 每个钥匙扣降低的价格是0.2元
22.【答案】y1=；y2=（0＜x＜7）；
图象见解析，当x=4时，y有最大值是6（答案不唯一）；
2.3≤x≤6.4．
23.【答案】m 乙同学先到达校门C处
24.【答案】 P（-2，4），PE+EF+PF的最小值为 ∵ A（-4，0），C（0，4），
∴沿射线AC平移等同于向右和向上同时移动相同的单位长度，
设抛物线向右平移d个单位长度，再向上平移d个单位长度，得到抛物线y1，
由平移规律可得，
将点（-2，2）代入，得，
，
解得d=2（负值舍去），
∴，对称轴为直线，
∴点M的坐标为（1，0），
设点N的坐标为（n，n+4），点K的坐标为，
①当点K在MN右侧时，如图，分别过点N、K作x轴的垂线，垂足为R、S，
∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
∵∠MNK=∠ACO，
∴∠MNK=45°，
∵MN⊥MK，
∴△MNK是等腰直角三角形，
∴MN=MK，∠NMR+∠KMS=90°，
∵NR⊥x轴，KS⊥x轴，
∴∠NRS=∠KSR=90°，
∴∠NMR+∠MNR=90°，
∴∠MNR=∠KMS，
在△MNR和△KMS中，
，
∴△MNR≌△KMS（AAS），
∴NR=MS，RM=KS，
∵N（n，n+4），，
∴NR=n+4，MS=k-1，RM=1-n，，
∴，
解得或，
∵点N在线段AC上，
∴-4≤n≤0，
∴n=-1，k=4，
∴点K的坐标为（4，2）；②当点K在MN左侧时，如图，分别过点N、K作x轴的垂线，垂足为R、S，
同理可得△MNR≌△KMS，
∴NR=MS，RM=KS，
∵NR=1-n，，RM=n+4，KS=1-k，
∴，
解得或，
∵-4≤n≤0，
∴，，此时点K的坐标为，
综上所述，点K的坐标为（4，2）或
25.【答案】120° CD=2DH，
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