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浙江浙里特色联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，且，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ）
A. 12 B. C. 24 D.
4.设、、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，在上单调递增，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，，，是线段上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，放置的边长为的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：①若，则函数是偶函数；②对任意的，都有；③函数在区间上单调递减；④函数在区间上单调递增.其中判断正确的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 若复数是方程的一个根，则
10.已知向量，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为
D. 若，则在上的投影向量为
11.在锐角中，所对边分别为，已知，则（ ）
A. 若，则 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： .
13.若，则的值为 .
14.正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若复数满足，求的最大值.
16.(本小题15分)
小明设计了一款无盖鱼缸,如图,它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米,长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.
(1)小明至少需要多少平方米的玻璃(不考虑损耗)
(2)小明欲将鱼缸注水至0.3m的高度,需要多少立方米的水
17.(本小题15分)
在中，角的对边分别为，若，
(1)求角的大小；
(2)若为中点，，求边.
18.(本小题17分)
已知函数（、为非零常数）
(1)当时，为偶函数，求的值；
(2)当时，求满足的的取值范围；
(3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.
19.(本小题17分)
如图所示，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)已知在仿射坐标系中，，.
①若，求；
②若，求；
(2)在仿射坐标系中，，，设与的夹角为，若，恒成立，求的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】或.
15.【答案】解：（1）
是纯虚数得出得；
（2）设，所以，即，
，
则，
因为当且仅当取等，则，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.

16.【答案】解：(1)=(13+2-)2+
=4-+
=4+，
所以需要4+平方米的玻璃；
(2)因为圆柱体距离鱼缸底部m,
所以注水至米时,圆柱体刚好注至一半的体积
V=21+
=21+
=+，
所以需要+立方米的水.
17.【答案】解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
在中，，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，所以
，
又，所以,所以，
又因为，所以.

18.【答案】解：（1）当时，，
因为是偶函数，所以对任意，都有，
即，化简得，
即对任意的恒成立，故，所以.
（2）当时，，
由得，化简得，
因为，所以，可得，解得.
（3）当，时，.
设，，
因为在上单调递增，在单调递增，
所以在单调递增，所以的最大值为，
从而依题意可得对任意恒成立，
将变形得，可得，
所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，
函数在区间单调递增，有最大值，
函数（当且仅当取等号）有最小值，
所以，即实数的取值范围是.

19.【答案】解：（1）因为，
所以，
①因为，所以.
②因为，
所以，
，
因为，，
所以，解得.
（2）因为，，
所以，，
由，得，
即对恒成立，
因为且，所以，
所以，
化简得，所以，
又因为且，所以或
因为与的夹角为，
所以，
而或，
所以或，
即，故的取值范围为.

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