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河南许昌市、安阳市2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（ ）．
A. B. C. D.
2.已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
3.已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是（ ）
A. 若上有无数个点不在内，则
B. 若，则与内的任意一条直线都没有公共点
C. 若，则平行于内的任意一条直线
D. 若，且，则
4.设复数，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知的三个顶点分别为，，，则是（ ）．
A. 的直角三角形 B. 的直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
6.在中，，，交于点，设，，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（ ）．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.在中，，，且的面积为，则（ ）．
A. 3 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（）．
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D.
10.下列关于复数，的说法正确的是（ ）．
A. 若，则为实数或纯虚数 B. 若，则
C. 若，则 D.
11.在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（ ）．
A. 当增大时，四棱锥的体积逐渐增大
B. 若，则三棱锥的体积为
C. 若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为
D. 若，则三棱锥的内切球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为 ．
13.已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为___ __．
14.如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数在复平面内对应的点位于第四象限．
(1)求实数m的取值范围；
(2)已知O为坐标原点，若m为整数，且z，在复平面内对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标．
16.(本小题15分)
已知，为不共线的单位向量，，．
(1)若且，求，的夹角的余弦值；
(2)若，的夹角为，且，求实数的值．
17.(本小题15分)
某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3）
(1)求该灯塔主体结构的体积；
(2)已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？
18.(本小题17分)
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A．
(2)已知AD平分且交BC于点D，．
（ⅰ）若，求a；
（ⅱ）求周长的最小值．
19.(本小题17分)
如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点．

(1)若，向量与垂直，求实数a的值；
(2)若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值；
(3)设（且为常数），若的最小值为，求x的值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）复数在复平面内对应的点为，
可得，解得，
所以实数m的取值范围为.
（2）由（1）可知，当m为整数时，，
则，，
所以，可得，
则向量在向量上的投影向量为.

16.【答案】解：（1）
则
则 ,
则 ,
则,
则 .
（2）,
,
,
,
,
,
解得：
当时，，成立，
当时，成立，
或.

17.【答案】解：（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为，
则，所以，
所以圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
所以该灯塔主体结构的体积为；
（2）由（1）得：主体结构材料费为(元)，
又外部的表面积为，
所以外部装饰涂料费为（元），
所以总物料费为：（元），
所以人工施工费为（元），
所以总的费用为：（元），
即总的费用为：万元万元，
所以景区预算够用.

18.【答案】解：（1）因为，所以，即，
所以，因为，所以；
（2）（ⅰ）因为，由正弦定理得：，
因为AD平分，
所以，
因为，
所以，
将代入上式得，解得，，
由余弦定理得，解得.
（ⅱ）由，
得，
将代入上式得，即，即，
则，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为8；
由余弦定理得，
，
令，则，
因为，当时，的最小值为，
则的最小值为，
所以周长的最小值为.

19.【答案】解：（1）因为向量与垂直，
所以，
则，
而，，则，
即，解得.
（2）连接交于点，由于为的重心，

则，
而，，
则，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为.
（3）由于，，则，
所以
，
函数开口向上，对称轴为，
则时，取得最小值，而的最小值为，
则，又，则.

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