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2025-2026学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数-3的相反数是（　　）
A. - B. C. 3 D. -3
2.2025年，神舟二十号载人飞船执行空间任务期间，某新型科学实验装置的搭载总质量达78000多千克，将78000用科学记数法表示为（　　）
A. 78×103 B. 7.8×103 C. 7.8×104 D. 0.78×105
3.一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其俯视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.俗话说“春捂秋冻“，嘉琪每天晚上都会关注第二天的天气情况，及时增减衣物，一天，在看过天气预报之后，嘉琪说：“明天的气温是今天的两倍．”请问明天嘉琪应该（　　）
A. 多穿一些 B. 少穿一些 C. 不用调整 D. 都有可能
5.如图，利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，其数学依据是（　　）
A. 直径所对的圆周角是直角
B. 90°的圆周角所对的弦是直径
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 两角互余的三角形是直角三角形
6.下列运算正确的是（　　）
A. 2x6-x2=2x3 B. （x2）3=x5 C. x5÷x4=x D. x2 x3=x6
7.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长31.8%，求去年第一季度新能源汽车的销量.若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　）
A. （1+31.8%）x=209 B. （1-31.8%）x=209
C. D.
9.如图，AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上.已知点Q在上且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是（　　）
A. B. C. D.
10.已知抛物线y=ax2+bx+c+1经过点中的两点，且当y＞c时，x的取值范围是-1-m＜x＜m+3，则下列判断正确的是（　　）
A. a＞0 B. 2a＜-b C. -2＜m＜-1 D. c＞1
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.不等式3-2x＞1的解集为 ．
12.分解因式：3x2-6x+3=______．
13.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解，则整式m+2n+2026的值为 .
14.一个扇形的圆心角是36°，半径是6，则此扇形的面积是 .
15.已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是 °.
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A，B，C分别为直线a,b,c上的点，且直线a∥b∥c,AB与直线b交于点D，若CD=4，BC=8，cos∠BCD=，则直线a与直线b之间的距离是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
19.(本小题8分)
如图，点C、E、B、F在同一直线上，CE=BF，AC∥DF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF．
20.(本小题8分)
如图，已知∠MON=90°，A，B为射线ON上两点，且OB＜BA.

（1）求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AC，OD，当△OAC∽△OCB时，求tan∠ODC的值.
21.(本小题8分)
福州西湖公园是市民喜爱的休闲景点，相关部门从“自然风光”“文化历史”“文通便利”三个维度统计综合得分，各维度权重为：自然风光：40%，文化历史：40%，交通便利：20%.经统计，得到了2025年三个维度的得分与人流量方差.另一方面，为提升服务质量，公园在关注客流的稳定性的同时，准备了两种投资方案计划对公园进行项目提升，并预测了项目提升后的各维度的得分与人流量方差，如表所示.
维度 2025年 2026年（预测）
方案甲投资成本（60万元） 方案乙投资成本（40万元）
自然风光 8.8 9.2 8.8
历史文化 7.9 7.9 8.1
交通便利 9.1 9.0 9.0
人流量方差 0.02 0.05 0.03
（1）计算2025年的综合得分；
（2）在预测中，通常会用综合效益指数对不同的方案进行比较，综合效益指数越高，说明效果越好.综合效益指数=人流方差变化量（提升分数=2026年综合得分-2025年综合得分），请根据综合效益指数判断选择哪种方案更好，并说明理由.
22.(本小题10分)
如图所示是一个运算程序.
（1）求证：当x为正奇数时，则y为定值；
（2）若y≤2，求x的取值范围.
23.(本小题12分)
已知二次函数y=a（x-1）（x-3）图象过点（4，m），（p,n）.
（1）若m=1，求a的值.
（2）若m＞n＞0，求p的取值范围.
（3）求证：am+an＞0.
24.(本小题12分)
如图，△ABC的A，B两点在圆O上，AB=BC，AC与AB交于点F，连接OC交于点E，连接BE并延长交AC于点D，点D恰好是AC的中点，OE与交于点G.
（1）连接OB，求证：∠BOE=2∠ECD；
（2）求证：FC=AB；
（3）若GE=BE，求.
25.(本小题12分)
综合与实践
刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图.
如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置.
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为10cm,开始放水后每隔1min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：
t（min） 0 1 2 3 4
观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8
【建立模型】
小组讨论发现：“t=0，h=10”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.
任务1：利用t=0，h=10；t=1时，h=9这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式.
【模型优化】
经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w,w越小，偏差越小.
为了减少偏差，小组同学利用“t=0，h=10”和“t=2，h=8.1”这两组数据得到函数表达式为：h=10-0.95t；利用“t=0，h=10”和“t=3，h=6.7”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.1t；利用“t=0，h=10”和“t=4，h=5.8”这两组数据得到函数表达式为：h=10-1.05t.
把自变量（t）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如表：
t（min） 0 1 2 3 4
观察值h（cm） 10 9 8.1 6.7 5.8
h=10-0.95t 10 9.05 8.1 7.15 6.2
h=10-1.1t 10 8.9 7.8 6.7 5.6
h=10-1.05t 10 8.95 7.9 6.85 5.8
对于h=10-0.95t,计算w=（10-10）2+（9.05-9）2+（8.1-8.1）2+（7.15-6.7）2+（6.2-5.8）2=0.365，同理，h=10-1.1t的w值为0.14，h=10-1.05t的w值为0.065.
任务2：（1）计算任务1得到的函数表达式的w值；
（2）写出你认为最优的函数表达式：______.
【设计刻度】
得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.
任务3：（3）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因.
t（min） 0 1 2 3 4
观察值h（cm） 10 5 2.5 2
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】x＜1
12.【答案】3（x-1）2
13.【答案】2028
14.【答案】π
15.【答案】105
16.【答案】
17.【答案】．
18.【答案】，．
19.【答案】解：∵CE=BF，
∴CE+BE=BF+BE，
即BC=EF，
又∵AC∥DF，
∴∠C=∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
20.【答案】解：（1）如图所示，菱形ABCD即为所求；
（2）∵△OAC∽△OCB，
∴∠OCB=∠OAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACB，∠DCA=∠CAB，
∴∠BCO=∠ACB=∠ACD，
∵CD∥OA，
∴∠DCO=90°，
∴∠BCO=30°，
设BC=CD=a.则OC=a,
∴tan∠ODC===．
21.【答案】8.5 选择方案乙更好
22.【答案】∵x为正奇数，
需循环m次x-2，直到-2≤x-2m＜0时，此时输出y=2m-x，
∵x为正奇数，
∴-2≤x-2m＜0，
∴x-2m=-1，
∴y=2m-x=1；∴当x为正奇数时，则y为定值y=1 x≥-2
23.【答案】（1）解：当m=1时，点（4，m）为（4，1），
将（4，1）代入抛物线表达式得：1=a（4-1）（4-3），
解得：a=；
（2）解：由题意得：m=a（4-1）（4-3）=3a,
同理可得：n=a（p2-4p+3），
若m＞n＞0，即3a＞a（p2-4p+3）＞0，
当a＞0时，
即3＞（p2-4p+3）＞0，
解得：0＜p＜1或3＜p＜4；
当a＜0时，
则3＜（p2-4p+3）＜0，
不等式无解；
故0＜p＜1或3＜p＜4；
（3）证明：由（2）得：am+an=a（3a+ap2-4ap+3a）=a2（p-2）2+2a2＞0．
24.【答案】证明：如图，连接OB，
∵AB=BC，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CED=90°-∠ECD，
由对顶角相等得：∠OEB=∠CED=90°-∠ECD，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB=90°-∠ECD，
∴∠BOE=180°-∠OBE-∠OEB=2∠ECD 证明：如图，连接OB，OF，AE，
∵AB=BC，点D是AC的中点，
∴BD垂直平分AC，∠BAC=∠BCA，
∴AE=CE，
∴∠EAD=∠ECD，
由（1）已证：∠BOE=2∠ECD，
∴∠BOE=2∠EAD，
由圆周角定理得：∠BOE=2∠EAB，∠BOF=2∠BAC，
∴2∠BOE=2∠EAB+2∠EAD=2（∠EAB+∠EAD）=2∠BAC，
∴2∠BOE=∠BOF=∠BOE+∠FOE，
∴∠BOE=∠FOE，
在△BOC和△FOC中，
，
∴△BOC≌△FOC（SAS），
∴BC=FC，
又∵AB=BC，
∴FC=AB
25.【答案】0.14；
h=10-1.05t；
任务3：这组数据不准确，理由如下：
计算每分钟水面下降高度0～1min：10-5=5（cm）；1～2min：5-= （cm）；2～3min：-2.5=（cm）；3～4min：2.5-2=0.5（cm），
水面变化1.05cm时间变化1min．水面高度可以用一次函数近似刻画，也就是近似匀速下降．对比：原来实验：每分钟大约下降1 cm 左右，这组数据：第1 分钟直接下降5 cm，是原来的5 倍，速度过快，不符合节流阀控制的流速．
∴这组数据不准确
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