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2025-2026学年北京市海淀区育英学校七年级（下）期中数学模拟试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（　　）
A. m=2 B. m=4 C. m=8 D. m=10
3.画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是（　　）
A. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B. 全等三角形的周长和面积分别相等
C. 所有的等边三角形都是全等三角形
D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上
5.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A. 72° B. 60° C. 58° D. 50°
6.如图，BE和CD是△ABC的高，它们相交于点O.且BE=CD，则图中全等三角形共有（　　）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
7.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A. 9 B. 7 C. 12 D. 9或12
8.如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B=70°，∠C=30°，则∠FAE的度数为（　　）
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 30°
9.在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，当0＜a＜1时，点C的横坐标m的取值范围是（　　）
A. 0＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. m＜3 D. m＞3
10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共7小题，共24分。
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，则AC= .
12.如图，工人师傅制作门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是 .
13.如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD=2，如果E是射线OB上一点，那么CE长度的最小值是______.
14.如图A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是 度，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是 度.
15.已知点A的坐标为（-2，3），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于y轴的对称点为点C，则点B的坐标是 ，点C的坐标是 .
16.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF=2，BC=8，则△CDF的面积为 ．
17.在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB=100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ．
三、解答题：本题共8小题，共41分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA= ______”（点A，B，P是网格线交点）.
19.(本小题5分)
如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=40°，求∠D的度数．
20.(本小题5分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）.
（1）作△ABC关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形△A1B1C1，其中点A，B，C的对称点分别为点A1，B1，C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积.
21.(本小题5分)
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：DE=DC；
（2）连接EC，若AB=6，求△EBC的周长.
22.(本小题5分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.
23.(本小题6分)
如图，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E．F，求证：EF=CF-AE．
24.(本小题5分)
如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD.以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90°.解答下列问题.
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，求证：BD=CE，BD⊥CE.
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，请说明理由.
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动.试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）.先画出相应图形，再说明理由.
25.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线.点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2.例如，点P（-2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）.根据定义，回答下列问题：
（1）点（4，3）的一次反射点为______，二次反射点为______；
（2）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，OA1=OA2，∠A1OA2=60°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数；
（3）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接写出点A在平面直角坐标系xOy中的位置.
四、操作解答题：本大题共1小题，共5分。
26.下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠______=∠______．
∵∠ABC=90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB=DE（ ______）（填推理的依据）
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】3
12.【答案】三角形具有稳定性
13.【答案】2
14.【答案】60
90

15.【答案】（-2，-3）
（2，3）

16.【答案】4
17.【答案】64°或28°
18.【答案】45°
19.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在ABE和DCF中，
，
∴ABE DCF（AAS），
∴AB=CD；
（2）解：∵ABEDCF，
∴AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，
∵∠B=40°，
∴∠C=40°
∵AB=CF，
∴CF=CD，
∴∠D=∠CFD=．
20.【答案】如图所示，△A1B1C1即为所求； A1（1，6），B1（5，6），C1（4，3） 6
21.【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=60°-30°=30°
∴BD平分∠ABC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE=DC；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，
∴，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴，
∴BC=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴△EBC的周长为9．
22.【答案】解：∵∠4=∠1+∠2，∠3=∠4，∠1=∠2，∠BAC=63°，
∴∠3=∠1+∠2=2∠2，
∵∠BAC+∠2+∠3=180°，即3∠2+63°=180°，
∴∠2=39°，
∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°．
23.【答案】证明：∵过A、C作BD的垂线，垂足分别为E．F，
∴∠E=∠BFC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，∠FBC+∠ABE=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△AEB和△BFC中
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=BE-BF=CF-AE．
24.【答案】①证明见解析部分．
②结论成立，证明见解析部分 如图4中，当∠BCA=45°时，CE⊥BD．证明见解析部分
25.【答案】（-4，3）;（3，-4） 射线OA与x轴所夹锐角的度数为15°或75° 设点A（x，y），则A1（-x，y），A2（y，-x），
∵△AA1A2是等腰直角三角形，
∴分三种情况：
①当AA1⊥AA2时，
x-y=0，即x=y，
且AA1=AA2，即，
解得：x=y，即y=x（x＜0）上的点均满足，如图所示：
②当AA1⊥A1A2时，不存在；③当AA2⊥A1A2时，∠A2AA1=45°，且AA2=A1A2，即，
解得y=0，即在x轴的负半轴上，如图所示：
综上，点A在x轴的负半轴上或直线y=x（x＜0）上
26.【答案】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM=∠PAN．
∵∠ABC=90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：PAM，PAN，角平分线上的点到角的两边的距离相等.
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