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福建厦门双十中学等校2025-2026学年下学期七年级期中考试试卷数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，是无理数的是（）
A. B. C. D.
2.对于二元一次方程，下列用x表示y正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将书本放在如图所示的位置，则一定没有被书本遮住的点是（）
A. B. C. D.
4.下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A. B.
C. D.
5.估计的值在（ ）
A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间
6.如图，下列选项不能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
7.点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
8.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
10.如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，共24分。
11.计算：
(1) ；
(2) 121的平方根是 ．
12.如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是 ．
13.如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ．
14.在平面直角坐标系中，线段MN∥x轴，MN=4，且点M的坐标是（1，3），则点N的坐标是 .
15.关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值是 ．
16.两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
17.已知：如图，中，点D、E分别是、上，平分，．交的延长线于点F，且．求证：．
完成下面的证明，并在括号里补充推理的依据。
证明：∵平分（已知）
（ ）
（已知），
∴∠ ，
（ ）
（已知）
（ ）
（ ）
三、计算题：本大题共1小题，共16分。
18.计算、解方程组．
(1) ；
(2)
(3) ；
(4) ．
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
如图，直线，相交于，若，平分，求．
20.(本小题15分)
如图，四边形所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，若点A的坐标为，，请按要求解决下列问题：
(1) 在图中建立正确的平面直角坐标系；
(2) 求出四边形的面积；
(3) 请画出将四边形向上平移4格，再向左平移2格后所得的四边形．
21.(本小题10分)
某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元．
(1) 求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2) 若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案．
22.(本小题10分)
如图，点D、E、F分别是线段、、上的点，连接、．
(1) 尺规作图：在射线上作，并连接．（不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的条件下，若，，，求证：．
23.(本小题15分)
定义：以二元一次方程的解为坐标的点叫做这个方程的“开心点”．
(1) 在①；②；③三点中，是方程的“开心点”有 ；（填序号）
(2) 已知A，C两点是方程的“开心点”，B，C两点是方程的“开心点”．若点到轴的距离为1，点到轴的距离为3，且A，B均不在第三象限，求A、B、C三点的坐标．
(3) 若，，三点是二元一次方程的“开心点”，探究m，n，p，q之间的关系，请写出结论，并完成证明．
24.(本小题15分)
如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点是第四象限内一点，轴于点，且．
(1) 求点A、B两点的坐标；
(2) 连，求三角形的面积．
(3) 如图2，将点C向左平移5个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．在y轴上是否存在点M，使三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题10分)
如图1，点E在直线上，点G、H在直线上，过点H作，点F在与之间，连接．
(1) 若．
①若，，求的度数；
②如图2，若，，（且n为整数），与交于点O，，用含n的代数式表示的度数；
(2) 如图3，若与不平行时，延长交于点K，作的平分线，交于点P，作的平分线，交于点M，过点F作，交于点N．若满足，，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】【小题1】

【小题2】

12.【答案】垂线段最短
13.【答案】37
14.【答案】（-3，3）或（5，3）
15.【答案】
16.【答案】2或3或5
17.【答案】角平分线的定义
2
3
内错角相等，两直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
两直线平行，同位角相等

18.【答案】【小题1】
解：原式
．
【小题2】
解：原式
．
【小题3】
解：，
①代入②得：，
解得，
将代入①得：，
所以方程组的解为．
【小题4】
解：，
①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．

19.【答案】解：，
，
平分，
．
．

20.【答案】【小题1】
解：∵点A的坐标为，，
∴以点A向右4个单位长度，即点B为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
【小题2】
解：∵，，，
∴点C到的距离为2，
∴
；
【小题3】
解：如图所示，即为所求．

21.【答案】【小题1】
解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元，
，
解得，
答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元．
【小题2】
解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台，
，即，
、均为正整数，
或或，
方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，
方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，
方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台．

22.【答案】【小题1】
解：在射线上作，并连接，如图所示：
．
【小题2】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
③
【小题2】
解：联立，
解得，
∵两点是方程的“开心点”，两点是方程的“开心点”，
∴；
∵点到轴的距离为1，
∴点的纵坐标为1或，
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第二象限，不在第三象限，符合题意；
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第四象限，不在第三象限，符合题意；
∵点到轴的距离为3，
∴点的横坐标为3或，
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第一象限，不在第三象限，符合题意；
将代入方程得：，解得，
∴此时点的坐标为，位于第三象限，不符合题意，舍去；
综上，点的坐标为或，点的坐标为，点的坐标为．
【小题3】
解：，证明如下：
∵，，三点是二元一次方程的“开心点”，
∴，
②①得：，即，
由①和③得：，
∴，
又∵方程是关于的二元一次方程，
∴，
∴．

24.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴，
解得，
∴，
又轴于点，
；
【小题2】
解：连接，如图
∵，；
∴，点B到x轴的距离为4，
∴．
【小题3】
解：∵，
∴，
将点向左平移5个单位得到点，
∴，点到的距离为，
∴，
设点M的坐标为，
①当点M在的上方时，如图
有
，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，
解得，
∴；
②当点M在的下方时，如图

∵，
∴点M在点C的下方，
过点H作轴，有，
∴，
∴
，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，
解得，
∴
综上所述，或．

25.【答案】【小题1】
解：①如图，过点作，
，
，
，，
，
又，
，
；
②由①，知，
，，
，，

，
，，
同①，知；
【小题2】
解：，理由如下：
设
∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴
∵
∴
即
，
∴
∵，
∴
解得，
∴．

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