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2025-2026学年吉林省吉林市吉化第一高级中学高一（下）段考数学试卷（一）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设f（x）是可导函数，且=2，则f′（1）=（　　）
A. 2 B. - C. -1 D. -2
2.已知乘积（a1+a2）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+…+cn）（n∈N）展开后共有60项，则n的值为（　　）
A. 5 B. 7 C. 10 D. 12
3.在（1+x）6的展开式中，若xk与xk+2的系数相同，则k=（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相约体育馆一起坐一排看村BA篮球比赛，若甲和乙相邻，丙不坐在两端，不同的排列方式共有（　　）种.
A. 144 B. 192 C. 216 D. 288
5.已知函数在区间（0，m）上存在唯一一个极大值点，则m的最大值（　　）
A. B. π C. D.
6.用0，2，3，5，7，8这6个数字可以组成N个无重复数字的六位数，其中偶数有M个，则=（　　）
A. B. C. D.
7.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜2x,且f（5）=3，则不等式f（2x-1）+4x＞4x2-21的解集是（　　）
A. （-∞，3） B. （3，+∞） C. （0，3） D.
8.若直线y=kx+1（k∈R）是曲线y=lnx+2与曲线y=ex+b（b∈R）的公切线，则b=（　　）
A. 0 B. 1 C. e D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设函数的导函数为f'（x），则（　　）
A. f'（1）=0 B. x=1是函数f（x）的极值点
C. f（x）存在两个零点 D. f（x）在（1，+∞）上单调递增
10.下面正确的是（　　）
A. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法
B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法
C. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法
D. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法
11.已知的展开式中，n=10，则下列说法正确的有（　　）
A. 仅第6项的二项式系数最大 B. 展开式中常数项为180
C. 展开式中各项系数之和为210 D. 有理项有3项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若f（x）=2f′（1）x-x2+7x,则f（-2）= .
13.已知（x-2）n展开式的二项式系数和为2048，若，则a1+a2+a3+ +an= .
14.已知函数，g（x）=3x+b-1，设F（x）=f（x）-g（x），若方程F（x）=0有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[-2，4]，求f（x）的最大值与最小值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2-ax+12lnx（a∈R），曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为4．
（1）求切线l的方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤x2+bx恒成立，求实数b的取值范围．
17.(本小题15分)
已知在的展开式中满足a＞0，且常数项为，求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数绝对值最大的是第几项；
（3）从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx,g（x）=ax2+2x,a≠0.
（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=（x-a）lnx-x+a-3（a∈R）.
（1）讨论函数f′（x）的单调性；
（2）当a=2时，证明：f（x）有且只有2个零点.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】AC
11.【答案】AB
12.【答案】2
13.【答案】1
14.【答案】（2ln2-3，-）
15.【答案】单调递增区间为（-∞，-4）和（2，+∞），单调递减区间为（-4，2）
16.【答案】（1）解：函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，，
由题意知，f'（1）=14-a=4，所以a=10，
故f（x）=x2-10x+12lnx，所以f（1）=-9，切点坐标为（1，-9），
故切线l的方程为y=4x-13；
（2）解：由（1）知，f（x）=x2-10x+12lnx（x＞0），
所以f（x）≤x2+bx，可化为：12lnx-10x≤bx，
即在（0，+∞）上恒成立，
令，则，
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，
所以当x=e时，函数g（x）取得最大值，
故当时，在（0，+∞）上恒成立，
所以实数b的取值范围是．
17.【答案】；
8；
135．
18.【答案】解：（1）h（x）=lnx-ax2-2x（x＞0），
对函数求导数，得h′（x）=-，（x＞0），
依题意，得h′（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax2+2x-1＞0在x＞0时有解．
①显然a≥0时，不等式有解，
②a＜0时，需满足Δ=4+4a＞0，解得a＞-1，
综合①②得a＞-1且a≠0，
即有a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）；
（2）由于h′（x）=-，（x＞0），
由题意可得h′（x）≤0在[1，4]上恒成立．
即有ax2+2x-1≥0在[1，4]上恒成立．
即为a≥-在[1，4]上恒成立．
由y=-+=（-1）2-1，
由于x∈[1，4]，则∈[，1]，
则有y∈[-1，-]，
则a≥-．
即有a的取值范围是[-，0）∪（0，+∞）．
19.【答案】a≥0时，f′（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f′（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增 证明：当a=2时，f（x）=（x-2）lnx-x+2-3=（x-2）lnx-x-1，
由（1）知为增函数，
又f′（2）=ln2-1＜0，，
所以存在x0∈（2，3），使得f′（x0）=0，即，
且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
所以，
显然，所以f（x0）＜0，
因为，
f（e2）=（e2-2） lne2-e2-1=2e2-4-e2-1=e2-5＞0，
所以f（x）在（0，x0）和（x0，+∞）上各有一个零点，
即a=2时，f（x）有且只有2个零点
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