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2025-2026学年广东省东莞市嘉荣外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z1=1+2i,z2=3-i,则z1+z2等于（　　）
A. 4+2i B. 4+i C. 4-2i D. 4-i
2.=（　　）
A. B. C. D.
3.若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a2+b2-c2=ab,则cosC=（　　）
A. B. C. D.
4.已知向量，，若与共线，则m的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知平面向量满足，，且，则=（　　）
A. B. C. 2 D. 1
6.圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为15°，则犇犇估算索菲亚教堂的高度CD约为（结果保留整数）（　　）
A. 44m B. 47m C. 50m D. 53m
7.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
8.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则2λ-μ的取值范围是（　　）
A. [-2，2） B. [-1，1] C. [-1，0] D. [0，2]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若z=2i-1，则（　　）
A. B.
C. zi=-2-i D. z在复平面内对应的点在第二象限
10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若sinB＞sinC，则B＞C
B. 若，则三角形有一解
C. 若bcosB-ccosC=0，则△ABC一定为等腰直角三角形
D. 若△ABC面积为，则
11.如图，在△ABC中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，λ，μ∈（0，+∞），过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则（　　）
A. B.
C. D. m+2n的最小值为2．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，是不共线的两个向量，已知，，若A，B，C三点共线，则k的值为 .
13.如图所示，已知在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，M在OB上，且OM=1，N在OA上，且ON=1，P为AM与BN的交点，则∠MPN= .
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且，，则边AC上的中线BE的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（m2+m-2）+（4-m2）i,m∈R，i是虚数单位.
（1）若复数z是纯虚数，求m的值；
（2）当m=-1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.
16.(本小题15分)
已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,，b=2，c=3.
（1）求A；
（2）求sinB；
（3）求△ABC的面积.
17.(本小题15分)
已知向量与的夹角为，且，.
（1）求；
（2）；
（3）求向量与向量的夹角.
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角C的大小；
（2）若点D在AB上，CD平分∠ACB，a=2，，求CD的长；
（3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx,称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数.
（1）记向量的相伴函数为f（x），若，且求sinx的值；
（2）设，试求函数g（x）的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知A（-3，2），B（3，10），为函数h（x）的相伴特征向量，，请问在y=φ（x）的图象上是否存在一点P，使得若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】（，]
15.【答案】m=1；
4，13．
16.【答案】
17.【答案】2；
；
．
18.【答案】；
；
．
19.【答案】解：（1）由题知，向量的相伴函数为，
当时，sin（x+）=，
，则，所以，
所以
=；
（2）因为
==sinx+3cosx,
故函数g（x）的相伴特征向量，
则与方向相同单位向量为，3）=（，）；
（3）因为函数h（x）的相伴特征向量，
所以，
，
设点，又A（-3，2），B（3，10），
所以，
若，则，
即x2-9+cos2-12cos+20=0，（cos-6）2=25-x2，
因为，故，
又25-x2≤25，故当且仅当x=0时，成立，
故在y=φ（x）的图象上存在一点P（0，1），使得．
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