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2025-2026学年陕西省咸阳市永寿中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，复数z=1-i,则=（　　）
A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i
2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则=（　　）
A. - B. - C. + D. +
3.已知，若与共线，则x=（　　）
A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
4.一物体在力的作用下，由A（16，6）移动到B（10，2）.已知，则对该物体所做的功为（　　）J.
A. -8 B. 26 C. 8 D. 18
5.已知=（-2，1），=（-2，-3），则在上的投影向量是（　　）
A. （-，-） B. （-，-）
C. （-，） D. （，）
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c=1，sinA=2sinC，，则△ABC的面积S=（　　）
A. 1 B. C. D.
7.已知向量，且的夹角为锐角，则m的取值范围为（　　）
A. B.
C. D.
8.记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a,b,c,向量与满足，且，则BC边上的中线长为（　　）
A. B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在复平面内，下列说法正确的是（　　）
A. 若复数（i为虚数单位），则z=i
B. 若复数z满足z2∈R，则z∈R
C. 若复数z=3-4i,则z在复平面对应的点在第二象限
D. 若复数z满足|z|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
10.如图，△ABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（　　）
A.
B.
C. 的最大值为
D. 若，则x+y的最大值为
11.已知a,b,c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（　　）
A. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C. 若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
D. 若cos2A+cos2B＜1+cos2C，则△ABC为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量满足与的夹角为，则= .
13.在△ABC中，BC=2，，△ABC的面积为，则AC= .
14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，.
（1）若，求x的值；
（2）若，求向量与夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
（1）已知复数z=m2-5m+6+（2m2-3m-2）i,m∈R.若z为纯虚数，求m的值；
（2）已知复数z=a+bi（a、b∈R），若z满足，求a、b的值.
17.(本小题15分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角A；
（2）若a=2，则△ABC的面积为，求b,c.
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．
（1）若C=，求B；
（2）求的最小值．
19.(本小题17分)
设Ox,Oy是平面内夹角成θ（0°＜θ＜180°，θ≠90°）的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对（x,y）叫做向量在此坐标系中的坐标，记.已知，.
（1）若θ=60°.
（ⅰ）求.
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得 ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由.
（2）若对 恒成立，求的最大值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】AD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】x=22；
．
16.【答案】解：（1）因为z是纯虚数，所以，
解得，
所以m=3．
（2）因为z=a+bi,所以．
=a2+b2-b+ai=15+3i.
所以，
解得或．
17.【答案】 b=c=2
18.【答案】解：（1）∵=，∴==，
化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）=sinB，
∴-cosC=sinB，C=，
∴sinB=，
∵0＜B＜，∴B=．
（2）由（1）可得：-cosC=sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B=C-．
sinA=sin（B+C）=sin（2C-）=-cos2C，
=====+4sin2C-5
≥2-5=4-5，当且仅当sinC=时取等号．
∴的最小值为4-5．
19.【答案】解：（1）（ⅰ）因为=3+，=+，
又单位向量，则=||||cos60°=，
所以=32+2+4=3+1+4×=6；
（ii）不存在，理由如下：假设y轴上存在一点C，使得ABC是以AB为斜边的直角三角形，
依题意得：，
可得=-=m-（3+）=-3+，
=-=m-（+）=-+，
因为AB为斜边，则AC⊥BC，即=0，
所以[-3+][-+ ]=32+(m-1)22-4(m-1)=0，
化简可得m2-4m+6=0，
因为Δ＜0，所以方程无解，
即y轴上不存在一点C，使得 ABC是以AB为斜边的直角三角形；
（2）=
==
=，
整理可得t2-t++7≥0，恒成立，
当，显然成立
当时，
所以Δ=2-4×2×≤0，
即-（=+1≤0，
解得，
所以综上所述,
所以，
，
=2=2，
设，
设，在上单调递增，
则当时，取得最大值，最大值为．
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