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2025-2026学年吉林省长春市榆树市部分学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某公司抽捡盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数.图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为-0.5ml这盒牛奶的容量最接近标准.下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（　　）
A. 绝对值 B. 相反数 C. 倒数 D. 正负数
2.2024年2月17日，全球首架C919大型客机从上海起飞参加第九届新加坡国际航空航天与防务展.商飞C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具备自主知识产权的喷气式中程干线客机.如图是C919大型客机的实物图，其俯视图是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是（　　）
A. a2+a2=a4 B. a2 a4=a8 C. （a3）n=a3n D. （2a）3=2a3
4.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设矩形田地的长为x（x＞30）步，依题意可列方程（　　）
A. x（60-x）=864 B. x（30-x）=864
C. 2x（60-x）=864 D. 2x（60-2x）=864
5.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E，则∠ABM的度数为（　　）

A. 152°
B. 126°
C. 120°
D. 108°
6.近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便.如图所示，其中一款路灯的灯杆AC高9米，灯臂AB长1米，灯臂与水平面的夹角为α，则灯臂的最高点B到地面的距离为（　　）
A. （9+sinα）米 B. （9+cosα）米 C. （9+tanα）米 D. 9cosα米
7.如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC.按下列要求作图：
①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M；
②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q；
③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D.则∠BAC和∠ADC的关系是（　　）
A. ∠BAC＜∠ADC B. ∠BAC=∠ADC C. ∠BAC＞∠ADC D. 不能确定
8.如图，点在反比例函数y1=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2=（x＞0）的图象上.BC∥x轴交y轴于点C.当△ABC为等腰三角形且面积为6，则k的值为（　　）

A. -4
B. -2
C. 2
D. -1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：36°25'+42°56'= .
10.某多项式按字母a的降幂排列为：2a4+3am-a+1，则整数m的值可能为 .（写出一个即可）
11.已知两组数据，甲组：3、4、5、6、7，乙组：1、3、5、7、9.若甲组数据的方差记为，乙组数据的方差记为，则 .（填“＞”、“＜”或“=”）
12.如图，AB是半径为2的⊙O的一条弦，∠AOB=90°.将△OAB绕点A逆时针旋转，当点O的对应点O'第一次落在⊙O上时，点B运动的路径长是 .（结果保留π）
13.在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）.同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，y3=k3x+b3.分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 .
14.如图，在矩形ABCD中，.∠DAB的角平分线交CD于点E，连结BE，BF⊥AE于点F，连结DF并延长，交BE于点G，连结CG.给出下面五个结论：
①AD=DE；
②FG=CG；
③DE2=DF CD；
④tan∠ADF=3tan∠CBE；
⑤当时，△EFG的面积为.
上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中.
16.(本小题6分)
有三张正面分别标有数字-2，3，4的不透明卡片，它们除数字外都相同；现将它们背面朝上，洗匀后，从三张卡片中随机地抽出一张，记住数字将卡片放回，洗匀后，再从这三张卡片中随机抽出一张，记住数字.用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之和是偶数的概率.
17.(本小题6分)
一次数学能力测验，有20道选择题.评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，要使总分不低于75分，他至少要答对多少道题？
18.(本小题7分)
如图，在 ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E.延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G.
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若BE=EF，EC=4，求△DCF的面积.
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是8×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A，C均在格点上，请按下列要求完成作图.
（1）在图①中，以AC为边画直角三角形ACB，使∠B=45°，且点B在格点上；
（2）在图②中，以AC为边画锐角三角形ACD，使∠D=45°，且点D在格点上；
（3）在图③中，以AC为边画钝角三角形ACE，使∠E=45°，且点E在格点上.
20.(本小题7分)
综合与实践.
【项目背景】无核柑橘是某西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园.在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考.
【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个.在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据.柑橘的直径用x（单位：cm）表示.将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x 3.5≤x＜4.5 4.5≤x＜5.5 5.5≤x＜6.5 6.5≤x＜7.5 7.5≤x＜8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
任务1：a=______.
【数据分析与运用】任务2：A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数.
任务3：下列结论一定正确的是______.（填正确结论的序号）
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等.
任务4：结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次.试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由.
根据所给信息，请完成以上所有任务.
21.(本小题8分)
【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示.
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m,球网上端点B到地面的距离BC=1.55m,人与球网之间的距离OC=1.6m,假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F.
（1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式.
【模型应用】
（2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是______m；
（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s,网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h=5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球.
22.(本小题9分)
【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.点D在边AC上运动，连结BD，以BD为边作Rt△BDE，使点A、E在BD同侧，且∠BED=90°，∠BDE=∠C，连结AE，试探究线段AE长度的最小值.
【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段AE的最小值.乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹.如图②，过点B作BF⊥AC于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F的一条线段.
下面是乐乐关于一般情况的证明过程：
如图②，Rt△BDE顶点D在边AC上运动，
∵∠BDE=∠C，∠BED=∠BFC=90°，
∴△BDE∽△BCF.
证明过程缺失
∴△BEF∽△BDC.
∴∠BFE=∠C.
∴点E的运动轨迹为过点F一条线段.
【问题解决】如图③，设直线EF交AB于点M.
（1）△AMF的面积为______；
（2）线段AE的最小值为______.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC=5，，AD⊥BC于点D，点Q为AB的中点.点O从点D出发沿折线DA-AC向终点C运动（点O不与点A重合），取线段AO的中点M，连结QM，以QM为边、点O为对称中心作 PQMN.
（1）AD= ______；
（2）连结OQ，当点O在AC上且OQ∥BC时，求 PQMN的面积；
（3）当点O在线段AD上，且 PQMN是矩形时，求线段PM的长；
（4）作∠ACN.当∠ACN=90°时，线段AM的长为______.（写出一个即可）
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+3（b为常数）的对称轴为直线x=1.点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上），过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为点B，以AB为边，以点O为对称中心作 ABCD.设点A的横坐标为m.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当点A在抛物线对称轴右侧，且 ABCD被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求AB的长；
（3）当线段CD与该抛物线恰好有两个公共点时，求m的取值范围；
（4）当抛物线在 ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】79°21'
10.【答案】2（答案不唯一）
11.【答案】＜
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】①②⑤
15.【答案】1+x，．
16.【答案】．
17.【答案】他至少要答对16道题．
18.【答案】见解析；
8．
19.【答案】如图①中，△ABC即为所求； 如图②中，△ACD即为所求 如图③中，△ACE即为所求
20.【答案】40 ①
21.【答案】（1）以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，

则A（0，2.4），D（1.6，1.6），
设直线AD的解析式为y=kx+n,
∴，
∴，
∴扣杀球击球路线的函数表达式为y=-x+2.4；
设网前吊球击球路线的函数表达式为y=ax2+2.4，
∴1.6=a×1.62+2.4，
∴a=-，
∴网前吊球击球路线的函数表达式为y=-x2+2.4；
（2）令y=0，则-x2+2.4=0，
∵x＞0，
∴x=，
∴E（，0），
∴OE=（m），
∴CE=OE-OC=（-1.6）m.
故答案为：（-1.6）；
(3)对于y=-x+,令y=0,则-x+=0,
x=,
F(,0),
OF=.
AF===m
扣杀球时, 羽毛球的平均速度约为36m/s,=(秒)
<
乙不能接到扣杀球的击球.
从A点击球,击球点是抛物线的最高点,
=,
t>0,
t=,
>
乙能接到网前吊球的击球.

22.【答案】；
．
23.【答案】4；
5；
2或；
或；
24.【答案】y=-x2+2x+3 AB的长为或 或或3＜m≤5
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