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浙江省初中名校发展共同体2025--2026学年第二学期八年级学业质量阶段调研数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（）
A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 方差
5.用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（）
A. 70 B. 75 C. 150 D. 350
7.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知以等腰的斜边为直角边向外作第1个等腰，再以等腰的斜边为直角边向外作第2个等腰，……，以此类推，若，则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（ ）
A. B. C. D.
9.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，，则该方程的解为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.对于实数x，y，存在正整数n和常数，满足，且．甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当，时，则；乙同学：若对于任意的正整数n，都有，则常数k的取值范围是．其中正确的结论有（）
A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
12.某校八年级数学期末总评成绩按平时成绩占，期末考试成绩占计算．若小明平时成绩90分，期末考试成绩80分，则他的数学期末总评成绩为 分．
13.一元二次方程的两根为a与β．则的值是 ．
14.已知a，b满足，则 ．
15.已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
16.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，运用“出入相补（以盈补虚）”原理，即通过图形割补求解一元二次方程，如图1：在边长为x的正方形的四条边向外作边长为x和的长方形，再把它补充成一个边长为的大正方形，得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形的边长为，得到．聪明的小明也用图形割补法解关于x的方程时，构造了类似的图形，如图2，已知大正方形面积为64，小正方形面积为25，则中的 ； ．
三、计算题：本大题共2小题，共17分。
17.计算：
(1)
(2)
18.解下列一元二次方程：
(1)
(2)
四、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行8轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将A，B两名选手8轮射击成绩绘制成如下统计图．
(1) 小华利用平均数和方差进行分析．①处应填 环，由表格中的数据可以看出 （填“A”或“B”）的发挥更稳定．
选手 平均数 方差
A 8.5环 1.75
B ① 0.75
(2) 小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．下表中一部分数据被污染了，请你帮她计算出A选手8轮射击成绩的四分位数．
选手 最小值、四分位数和最大值
最小值 最大值
A 6 10
B 8 8 9 10 10
(3) 根据小华和小颖的分析，A，B两名选手中应选拔 （填“A”或“B”）参加青少年射击比赛．
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程．
(1) 求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根；
(2) 若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值．
21.(本小题9分)
观察下列等式，并回答下列问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
…………
(1) 请直接写出第4个等式 ；
(2) 根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算：
22.(本小题9分)
某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1) 求二、三这两个月的月平均增长率；
(2) 从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
23.(本小题9分)
已知，如图，在直角梯形中，，，，，，E是中点，．已知动点P从点A出发，沿着方向以的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发，沿着方向以的速度向终点D匀速运动．当一个点到达终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为．
(1) 当时，求的长；
(2) 用含t的代数式表示线段的长；
(3) 当时，求t的值．
24.(本小题9分)
我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”．
举例说明：方程①：（，），特征数对；
方程②：（，），特征数对；
验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．
解答下列问题：
(1) 【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”．
①则该方程的两根分别为 ， ；
②若其特征数对为，求k的值．
(2) 【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q．
(3) 【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】84
13.【答案】
14.【答案】10
15.【答案】2026
16.【答案】10
39

17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】【小题1】
解：，
，
或，
；．
【小题2】
解：，
，
或，
，．

19.【答案】【小题1】
9
B
【小题2】
解：将A选手的成绩排序：6，7，8，9，9，9，，，
数据个数为偶数，取第4和第5个数据的平均值．
第4个数据为9，第5个数据为9，
因此环．
下四分位数()是下半部分数据(前4个∶6，7，8，9)的中位数，
取第2和第3个数据的平均值∶环．
上四分位数()∶上半部分数据(后4个∶9，9，，)的中位数，
取第6和第7个数据的平均值∶环．
因此，A选手的四分位数填写如下∶环，环，环．
【小题3】
B

20.【答案】【小题1】
解：
，
该方程总有两个实数根．
【小题2】
解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
即，，
第1种情况：当是腰，2是底边时，，
，
，
的三边长为：、、2，能组成三角形；
第2种情况：当2是腰，是底边时，，
，
，
的三边长为：2、2、3，能组成三角形；
第3种情况：当、2是腰时，，
，
的三边长为：2、2、3，能组成三角形，也满足周长为7；
综上所述：或4或3．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
解：（的自然数）
原式
．

22.【答案】【小题1】
解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
【小题2】
解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当商品降价5元时，超市获利4250元．

23.【答案】【小题1】
解：当时，，，
∵，E是中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：过点D作于点H，
∵，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
过点Q作于点G，于点F．
∵，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴．
若：，
；
若：，
；
综上所述，；
【小题3】
解：，
，
，
∵，
∴，即，
整理得：，
，
解得：，
由于：故．

24.【答案】【小题1】
解：①，
∴，
解得：或，
因此两根为和；
②∵其特征数对为，
∴，，
∵，，
∴，
由第二个方程得，
代入第一个方程验证：时，，符合要求；
时，舍去，因此．
【小题2】
解：∵方程的根为，
由韦达定理得，，
∵方程的根为，
由韦达定理得：，即，
代入得，
整理得．
两根积：，展开得，
代入，得，
因此．
【小题3】
解：，
∴，解得：，
∴方程B的特征数对：，．
对方程A：，
由韦达定理得，，
∴（），，
∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程A：是“全整根方程”，
∴是非负完全平方数，
∴时，，符合，此时；
时，，符合，此时；
其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9．

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