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第9章因式分解单元强化复习专练
一、单选题
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若是的一个因式，则的值为（ ）
A．4 B．1 C． D．0
6．已知的三边长满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
7．多项式加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是①，②，③，④中的（ ）
A．② B．①③ C．②④ D．①②③④
8．阅读材料：若，求x和y的值．
解：∵，
∴．∴．
问题：已知a、b、c是等腰的三边，且满足，求等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．3或6
9．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ）
A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17
10．对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．多项式与的公因式是____________．
12．因式分解：____________．
13．若，则代数式的值为______．
14．关于的代数式分解因式得，则的值为______．
15．正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______．
16．一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为________．
17．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有___________个．
18．已知长方形周长8米，长方形的长和宽满足，则长方形面积为___________平方米．
19．设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则_____________．
20．如图是由5个全等的，，，，，与一个小正方形组成，延长分别交、于点M、N，延长交于点P．若，则______．
三、解答题
21．分解因式∶
(1)　　　　　　　　　　　(2)
22．利用因式分解说明：能被12整除．
23．已知整数．满足．
(1)求证：为正数；
(2)若为偶数，判断是奇数还是偶数，并说明理由．
24．在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了．
(1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式：
①分解因式：_____；②填空：（_____）；
(2)计算：_____；
(3)若，，求的值．
25．阅读与思考：现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们的个人隐私起了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，其原理是：根据整式乘法的逆向运算可将一个多项式分解成几个整式的积的形式，例如，反过来多项式因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当时，，，此时可以得到数字密码1214或1412．
(1)根据上述方法，若密码为1218，请问这个人的年龄是 ；他用于设置密码的多项式是 ．
(2)若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353133，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．
(3)若11岁的小明选取的多项式为的因式分解结果来设置密码，他的4位数密码可能是多少？并说明理由．
26．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式；
解法二：原式．
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解；
（3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值．
27．小刚同学动手剪了如图所示的正方形和长方形纸片若干张．

(1)他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图2）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________；
(2)当他拼成如图3所示的长方形时，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，可以把多项式分解因式，其结果是__________；
(3)请你依照小刚的方法，动手操作，利用拼图分解因式：__________，并画出拼图．
试卷第4页，共5页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B C A C B D A
1．B
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不符合题意；
B. ，是因式分解，符合题意；
C. ，最后运算加法，不是因式分解，不符合题意；
D. ，最后运算加法，不是因式分解，不符合题意；
故选B．
2．B
【详解】解：A．，故A不符合题意；
B．，故B符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，不是因式分解，故D不符合题意；
故选：B．
3．A
【详解】解：∵ A、 ，不含有，符合题意；
B、，含有，不符合题意；
C、，含有，不符合题意；
D、，含有，不符合题意；
∴结果中不含有因式的是A．
故选：A．
4．B
【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
B.符合完全平方公式的特征，故符合题意；
C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意；
故选：B．
5．C
【详解】解：，它的一个因式
分解时是利用平方差公式，
．
故选：C．
6．A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵、、是三角形的三边，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故选：A．
7．C
【详解】解：①加上后，多项式为，是平方差不是完全平方，不符合题意；
②加上后，多项式为，是完全平方，符合题意；
③加上后，多项式为，不是完全平方，不符合题意；
④加上后，多项式为，是完全平方，符合题意；
综上，加上②或④能成为完全平方．
故选：C．
8．B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
是等腰三角形，
可分两种情况：为腰，为底或为腰，为底，
当为腰，为底时，
∵，
∴不能构成三角形，这种情况不成立，
当为腰，为底时，
∵，
∴此时能构成三角形，
等腰三角形的周长，
综上所述，的三边长只能是，其周长为．
故选：B．
9．D
【详解】解：
∴ 这两个整数是15和17。
故选D
10．A
【详解】解：①当，，
则，
则，
故①正确，符合题意；
②当，
则，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③，
∵
则当的值恒为正数时，即可，
∴，
故③正确，符合题意；
④当，且，
则，
∴，，
∵p、q为整数，
∴p、q的值可为或或或或或
∴或或8或或7或，
故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
11．/
【详解】，，
∴多项式与的公因式是，
故答案为：．
12．
【详解】解：原式；
故答案为．
13．3
【详解】解：原式
，
故答案为：3．
14．
【详解】解：
因为，
所以对应项系数相等：二次项系数：；一次项系数：．
因此．
故答案为：．
15．
【详解】解：设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，则．
由面积差得．
根据平方差公式，．
代入，得．
所以．
故这两个正方形的边长之和为
故答案为：10．
16．444
【详解】解：∵直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，斜边长为5，面积为6，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
17．2
【详解】解：由完全平方公式，设，
比较系数得，解得，
于是，即，
解得，
因此整数的值有2个，
故答案为：2．
18．2
【详解】由周长公式得：
设，则，且 ，
代入方程：
故长方形面积为平方米。
故答案为：2．
19．20或28
【详解】解：，，且恒成立，
，，
消去得，即，
,都是整数，
，或，，
解得或，
当时，；
当时，，
故或．
故答案为：20或28．
20．
【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，
∴设，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
故答案为：．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
22．
【详解】解：
，
能被12整除．
23．
【详解】（1）证明：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴为正数．
（2）解：为偶数，理由如下：
∵，，，为整数，为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴为偶数，
∴，同为偶数或者同为奇数，
∴为偶数，
∴为偶数，
∵，
∴是偶数．
24．(1)①；②
(2)
(3)
【详解】（1）解：①；
故答案为：
②；
故答案为：；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：由条件可知，
∴，
∵，
∴当时，；
当时，；
故的值为．
25．(1)15；
(2)王老师当前年龄是33岁，理由见解析
(3)他的4位数密码可能是1409、0914，理由见解析
【详解】（1）解：密码1218可拆分为12和18，
设原来年龄是x岁，可得：
，解得：，
因为，所以用于设置密码的多项式是．
答：这个人的年龄是15岁；他用于设置密码的多项式是．
故答案为：15；．
（2）解：
，
∵密码是353133，
∴当时，，，所以王老师年龄是33岁．
答：王老师当前年龄是33岁．
（3）因为，
当时，，，
那么组成4位数密码时，把14和09进行排列，得到1409、0914．
答：他的4位数密码可能是1409、0914．
26．（1）；（2）；（3），
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
．
当，时，原式．
27．
【详解】（1）解：图1中正方形的面积可以表示为，也可以用两个正方形和两个长方形的面积之和表示为，
因此可以得出乘法公式：．
故答案为：．
（2）解：由题图3可知，长方形的面积为，而6张小纸片的面积和为，所以．
故答案为：．
（3）解：拼图如图所示：

∴．
故答案为：．

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