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2026年甘肃省陇南市文县二中、三中、东方学校高考数学三诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.复数满足为虚数单位，则的共轭复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
4.已知圆台的上、下底面的半径大小分别为与，其母线与下底面所成角的余弦值为，则该圆台体积的大小为( )
A. B. C. D.
5.下列叙述不正确的是( )
A. 已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面
B. 已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点
C. 已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D. 已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则
6.有一组样本数据，，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，，其中，则两组样本数据的数字特征不一定相同的是( )
A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差
7.已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左焦点为，点，在椭圆上，若四边形为菱形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，则( )
A. 各项系数的和是 B. 各二项式系数的和是
C. 含的项的系数是 D. 第项是系数最大的项
10.已知函数在上单调递增，直线和直线是的图象的两条对称轴，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A.
B. 在上的值域为
C. 方程在内无解
D. 曲线与直线所围成图形的面积为
11.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 周长的最大值为
C. 的最大值为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为 ．
14.在中，，，若当面积取最大值时，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为的等边三角形．
求点到平面的距离；
求二面角的正弦值．
16.本小题分
已知各项均不为零的数列的前项和为，，．
求的通项公式；
若恒成立，求正整数的最大值．
17.本小题分
某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛已知共有名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
规定初赛成绩中不低于分为优秀，分为良好，分为一般，分为合格，分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于分的学生中随机抽取人，求至少有人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望；
由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生初赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且已知小华的初赛成绩为分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
参考数据：；若，则，，
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为抛物线上一点满足，为直线：上的动点，过作曲线的两条切线，，其中，为切点．
求抛物线的方程；
求证：直线恒过定点；
求面积的最小值．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
已知，若存在，使得
求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
14.
15.解：取中点，连接，
由题意，易得，，，
如图建立空间直角坐标系，
易知，，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，得，，
得到平面的一个法向量，
又因为，
所以点到平面的距离等于；
由可知为平面的一个法向量，
又由知平面的法向量为，
所以，
因此二面角的正弦值为，即为．
16.因为各项均不为零的数列的前项和为，满足且，
所以当时，，解得，
当时，，两式相减得，
因为，所以，
所以数列中奇数项是以为首项，为公差的等差数列；
偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
当时，，即；
当时，，即，
综上所述，数列的通项公式为；
由知数列的通项公式为，
所以，
因为，所以，即，
当时，，即不等式恒成立；
当时，，
所以正整数的最大值为．
17.解：在内样本中人数：，
在内样本中人数：，
抽取人中成绩优秀人数可取，，，
则，，，
的分布列为：
所以，
至少有人初赛成绩优秀的概率；
，
，，
所以，
所以，
所以全校参加初赛学生中，不低于分的约有人，
因为，
所以估计小华有资格参加复赛．
18.解：已知抛物线：的焦点为抛物线上一点满足，
则，
故，
所以抛物线方程为．
证明：设，，，
由，
得，
故切线：，
即，
同理可得切线：，
在两条切线上，
则，
所以直线，
即，
因，
故，
故直线恒过定点．
解：联立，
得，
由韦达定理可得，，
则，
又到直线的距离，
则 ，
当时，最小值为．
19.解：由题意，的定义域为，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
由可知，，
令，
若，则，则，
则直线与函数的图象最多有两个交点，不符合题意；
若，，此时存在两个零点，
此时在和上单调递减，在和上单调递增，
此时作直线，其中，直线与的图象存在四个交点，
即存在，使得，
故实数的取值范围是；
证明：由题意得，，
则，，
令，，注意到，则，
即，同理，
要证，即，即证明，
设，
则，
设，设，
则，
故在上单调递减，从而，
则，在上单调递减，
故，也即，
因此．
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