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2026年河南省九师联盟高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面内对应的点为，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
5.若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数( )
A. B. C. D.
6.若函数，且在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若直线：与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为的中点，为的中点，则( )
A. 圆柱的侧面积为
B. 三棱锥的体积为
C. 圆柱的外接球的表面积为
D. 平面
10.已知椭圆的离心率为，长轴长为，为的右焦点，点，在上，且关于轴对称，其中点在第一象限，分别为线段，的中点，点，为坐标原点，则( )
A. 的方程为 B.
C. 的最小值为 D. 的面积的取值范围为
11.已知函数满足，，，且，则( )
A. B.
C. 的解集为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则实数 ．
13.已知为抛物线：的焦点，过点的直线与在第四象限内交于，两点，若，则直线的斜率为 ．
14.某数学兴趣小组有名男生与名女生参加答题活动，规则如下：先从这人中随机选人回答问题，再从剩下的人中随机选人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩人时答题结束为答题结束时选取答题的人数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取名学生，对其入学的数学成绩分和高一第一学期期末考试数学成绩分进行了统计，如下表：
中考数学成绩
高一第一学期期末数学成绩
规定高一期末数学成绩不低于分为及格，不低于分为优秀，从所抽取的人中随机选取人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求；
由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩成绩保留整数，采用四舍五入法．
附：经验回归模型中，；
参考数据：．
16.本小题分
在数列中，，．
求的通项公式；
设为的前项和，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在中，，，为线段上一点，，，过点作，交于点，将沿翻折至的位置，使得．
证明：平面；
在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知双曲线的左、右顶点分别为，，，的渐近线方程为．
求的方程；
若，是上不同于，的两点，过作与直线平行的直线交直线于点，过作与直线平行的直线交直线于点．
若点在第一象限，记直线，的斜率分别为，，求的最小值；
证明：直线恒过定点．
19.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
证明：；
设，若存在，使得，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：依题意，，
所以．
依题意，，
则，
，因此，
当时，，
所以估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为分．
16.因为，
所以，
所以数列是常数列，
又因为，所以，即；
由可知，，
所以，所以数列是等差数列，
则，
所以，
所以，
．
17.解：证明：因为，所以，，
因为，且，平面，所以平面．
又平面，所以．
由题意易知，又，，
所以，则．
又，且，平面，
所以平面．
取的中点，连接，，则，，
由易证平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以，故，，两两垂直．
以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，，．
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，则，，所以．
易知，所以，
又，，，
所以．
设，．
设平面的一个法向量，
则，则，即，
令，得，，所以．
设平面与平面的夹角为，
则，
解得或舍去，此时，
所以在线段上存在点使得平面和平面的夹角的余弦值为，且此时．
18.解：已知双曲线的左、右顶点分别为，，
且，的渐近线方程为，
则，所以，
又，则，
故双曲线的方程为；
若点在第一象限，记直线，的斜率分别为，，
由知，，设，
由点在第一象限可知，且，所以，如下图：
根据两点间斜率公式可得，
又，，所以根据基本不等式可得，
当且仅当，即时取得等号，
故的最小值为；
证明：若，是上不同于，的两点，过作与直线平行的直线交直线于点，
过作与直线平行的直线交直线于点，
设直线的方程为，
直线的方程为，
将直线与直线联立
得所以，
将直线与双曲线联立得，
即，所以，
，
所以，
由题意得直线的方程为，
即；
由知直线的斜率为，故其方程为，设，
将直线与直线联立
得，所以，
设点为直线上一点，则，又，
，
根据两向量平行的条件可得：
，
所以，
，
，
故直线恒过定点．
19.解：因为，
所以，
令，解得或；
令，解得，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和；
证明：设，
则，
因为，则，，所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为，所以当时，，
所以当时，，
所以，即；
证明：由，得，
则，
即．
由知，在上单调递增，所以，
所以，所以，
所以，
设，则，
所以在上单调递增，则，，即，
又因为，所以，即，
又因为，所以，所以．
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