资源简介

2026年河北省保定市蠡县中学高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数的实部与虚部的和是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支相交于，两点，且，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知某圆台的上、下底面半径分别为和，高为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，，当时，都有；则下列选项不成立的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. ，，使得
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年和高二年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是( )
A. 高一年抽测成绩的众数为
B. 高二年抽测成绩低于分的比率为
C. 估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分
D. 估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A.
B. 为偶函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上单调递增
11.已知，，是平面上一点，下列说法正确的是( )
A. 若，则轨迹是以为直径的圆
B. 若，则与坐标原点间距离恒为
C. 若，则“轨迹是椭圆”的充要条件是“”
D. 若，则“轨迹是双曲线右支”的充要条件是“”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中，的期望值和方差相同，一般情况下当，时，就有很好的近似效果该方法也称为棣莫佛一拉普拉斯极限定理如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于、小于”的概率近似为 结果保留三位小数参考数据：若，则，，
13.诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱现有甲、乙、丙等人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为 ．
14.若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，成一个“等差数列”已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
在人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示问：该种血清对预防感冒是否有效？
未感冒 感冒 总计
使用血清
未使用血清
总计
附：，
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，是线段上的点．
求证：平面平面；
若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长．
18.本小题分
已知．
设，求的极值．
若在上恒成立，求的取值范围．
若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；，都是在上有上界的函数若，则是否在上有上界？若有，求出上界；若没有，给出证明．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，是椭圆上一点，，．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，为线段中点．
求证：点轨迹方程为；
为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理可得，
则，
又因为，则，可得，
即，所以．
因为的面积为，可得，
由余弦定理可得，
即可得，
所以的周长为．
16.解：证明：取的中点，连接、，
因为，，则，
所以，所以，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，
因为为棱上的点，设，其中，
所以，，且，
设平面的法向量为，
则，则，
不妨取，可得，
因为线与平面所成角的正弦值为，
所以，
，
则，
化简可得：，，
解得或舍去．
所以．
设，因为，
其中，
可得，
即点，
因为平面，
则点，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值，
此时，点，
由可知，此时，平面的一个法向量为，
设，其中，
则，
因为平面，则，
所以，，解得，
所以，，
所以即的长为．
18.解：，，
，
令，则，
所以在上，，单调递减；
在上，，单调递增；
所以函数有极小值，没有极大值．
设，，
，
当时，，单调递增，，显然不满足．
当时，令 ，使，
在上，单调递增；在 ，上，单调递减，显然不成立；
当时，，单调递减，；
综上：，即的取值范围是．
没有上界，证明如下：
由可知，在上恒成立，
令，则，
所以，，，，，
将上式相加，
由于没有上界，故也没有上界．
19.解：因为椭圆的离心率为，所以，解得．
因为，，．
在中，由余弦定理得，
解得，则，故椭圆的方程为；
证明：
当直线的斜率存在且不为时，不妨设直线的方程为，
联立得．
因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交．
设，，由韦达定理得，
所以．
因为为线段中点，
所以，此时，则．
要证，只需证明，
而，
所以点轨迹方程为；
联立得，则．
不妨设，所以，．
不妨设，由得
，
即．
因为，，
所以．
，所以，即，
则点在定直线上．
当直线斜率为时，轴，此时，．
因为，所以，则，
故G点在定直线上；
当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴，
所以点在轴上，则．
，所以，即，则点在定直线上．
综上可得：点在定直线上．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑