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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026年浙江省初中毕业生学业水平考试数学模拟预测试卷（解析版）
试卷共三大题．共24小题．满分120分，时间120分钟．
卷I（选择题）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，
如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
3．2026年1月4日，文化和旅游部公布2026年元旦假期文旅市场核心数据：3天假期内，
全国国内出游人次达亿．把数字亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
直接根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】解：∵1亿，
∴亿．
故选：A．
4．如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
【答案】A
【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可．
【详解】解：根据三视图的定义，可知该几何主视图和左视图相同．
故选：A．
5．关于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象位于二、四象限 B．点在这个函数图像上
C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图是解题的关键．
根据反比例函数的图判断各选项正误即可．
【详解】解：根据题意得，反比例函数，
选项A、，图位于第二、四象限，则A正确；
选项B、当时，，则点在图上，故B正确；
选项C、反比例函数图关于原点对称，则C正确；
选项D、由于，反比例函数图在每一象限内随的增大而增大，但选项未指定“在每一象限内”，因此说法错误，
故选：D．
如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与是位似图形，且点的对应点为，
∴与位似比为，
∴点的对应点的坐标为．
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，
问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得．
故选：D．
相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，
整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是750
B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人
C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是
D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人
【答案】D
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中选择自驾出行的人数和所占比例，得到本次调查的样本容量，据此逐项计算即可．
【详解】解：本次抽样调查的样本容量是人，则A正确；
抽样中选择公共交通出行的人数为人，则B正确；
“其他”所对应的圆心角是，则C正确；
“十一”期间到杭州观光的游客选择自驾出行的人数为：万人，则D错误．
人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，
准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，
小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，
小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，
则下列说法不正确的是（ ）
A．小数比小文先出发15秒
B．小文提速后的速度为
C．
D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项．
【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意；
∵当秒时，，当秒时，厘米，
故小文提速前的速度是厘米/秒，
∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍，
∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意；
故提速后小文行走所用时间为：秒，
∴秒，
∴，
∴小数的速度为厘米/秒
∴秒，故选项C错误，符合题意；
设段对应的函数表达式为，
将点代入，可得，
可得，
∴可有，
当时，小数和小文之间距离最大值为厘米；
当时，设，
将，代入，
可得，解得，
∴此阶段有，
∴小数和小文之间距离，
当时，取最大值，最大值为厘米；
设段对应的函数表达式为，
将，代入，
可得，解得，
∴此阶段有，
当时，小数和小文之间距离，
当时，取最大值，最大值为厘米；
当时，小数和小文之间距离最大值为厘米．
综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．
过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，
其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
【答案】D
【分析】分情况讨论：当点运动到点处或点运动到点处或点运动到点处时，点与点重合或路程，利用直角三角形的性质和垂线的性质易证得，进而得到，据此列方程求解即可．
【详解】解：由图2得，当点运动到点处时，为4，即为4，故选项A正确；
如图，当点运动到点处时，路程为8，即为8，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
故选项B正确；
当点运动到点处时，点与点重合，此时，
故选项C正确；
当路程时，如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
点不在该函数图象上，
故选项D错误．
卷II（非选择题）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．不等式组的解集是 ．
【答案】
【分析】分别求解两个不等式，再求公共部分得解集即可．本题考查一元一次不等式组的解，不等式组的解是由两方程解的公共部分组成的；注意不等式两边都除以负数时，不等号的方向要改变．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
12. 使得方程有实数根的最大的整数 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，不等式的特殊解．由方程有实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
13．如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
、、，
，
，，
、，
在中，．
故答案为：
甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．
正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．
把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，
则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是________
【答案】
【分析】利用列举法求概率即可．
【详解】解：随机抽取两张共有美丽，美山，美河，丽山，丽河，山河，共6种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果只有1种，
∴．
故答案为：
15．【文化欣赏】
桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，
桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______．

【答案】米/
【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质；
过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案．
【详解】解：过O作，过A作于G，

∵米，，
∴米，
∵，，
∴，
∴在中，米，
∴点A位于最高点时到地面的距离为米，
故答案为：5米．
如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，
若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________．
【答案】
【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，得，，求出，设，则，由勾股定理列方程可求出．
【详解】解：连接，延长交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的切线，点F是切点，
∴，即,
∴四边形是矩形，
∴，，即,
∴,
∵点是的中点，
∴，
∴，
设，则，
在中，,
∴,
解得：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：.
【答案】
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式进行计算，再去括号后合并同类项即可求解.
【详解】原式=，
=，
=．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
；
将代入，原式．
如图，点O为的对角线的中点，经过点O的直线分别交和于点E，F，
交和的延长线于点G，H．

求证：；
若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则．再根据证明，即可得．
（2）根据平行四边形的性质可得，则．再根据证明，即可得，进而可求得的长．
本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
∥，
，
∵是的中点，
，
又∵，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，即，
，
又，，
，
，
．
为强化学生技能，助力终身运动，帮助学生掌握实用运动技能，提高学生身体素质，
我市中考体育考试项目新增设了足球、篮球、排球、滑冰四项选一项的考试内容．
某校为了解学生选择考试项目情况，在该校学生中随机抽取部分学生做“参加四选一体育项目考试”
问卷调查（每人必选其中一项），其中A：足球、B：篮球、C：排球、D：滑冰，
将参加问卷的学生的数据整理后，依据样本数据得到不完整的条形图和扇形图．
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，______；
补全条形统计图；
扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______度；
若该校有2500名学生，请你估计喜爱排球的学生有多少人？
【答案】(1)50，32
(2)画图见解析
(3)108
(4)
【分析】（1）根据选择D（滑冰）的人数除以其占比即可求得样本容量；根据选择A（足球）的人数除以样本容量即可求得的值；
（2）根据样本容量乘以选择B（篮球）的占比即可计算出选择B（篮球）的人数，再用样本容量减去选择A（足球），B（篮球），D（滑冰）的人数即可得选择C（排球）的人数，再补全条形统计图；
（3）用乘以选择C（排球）的占比即可求解；
（4）用总人数2500名乘以选择C（排球）的占比即可求解．
【详解】（1）解：样本容量：（人），
选择A的人数占比：．
（2）解：B：（人），C：（人）；
补全条形统计图如图，
（3）解：扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为：．
（4）解：（人）．
答：估计喜爱排球的学生有750人．
21．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：
一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，
又∵，
∴，
∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，
又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，
可得，
由此确定59319的立方根的十位数是3，
因此59319的立方根是39．
(1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数字是 ；
③19683的立方根是 ．
(2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
【答案】(1)①两；②7；③27
(2)48
【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算．
（1）仿照例题，进行推理得结论；
（2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论．
【详解】（1）解：①，，
又，
，
能确定19683的立方根是个两位数．
②∵19683的个位数是3，
又，
能确定19683的立方根的个位数是7，
③如果划去19683后面的三位683得到数19，
而，则，可得，
由此能确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27．
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
∵110592的个位数是2，
又∵，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
若划去110592后面的三位592得到数110，
而，
则，
可得，
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48．
22. 如图，已知中，，以为直径的交于，
过点作的切线交的延长线于点．于，
求证：
若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由直径所对的圆周角是直角可得，再根据等腰三角形三线合一即可得到；
（）连接，可得是的中位线，得到，进而得到，由勾股定理可得，又可证明，得到，进而可得，利用线段的和差关系即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∴
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴
∴，
即，
解得，
又∵，
∴．
23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，
并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式；
如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，
该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，
且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，
请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示）
方案二：设点坐标为
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值．
【答案】(1)图见解析，
(2)，；，
(3)的值为或
【分析】（1）描点、连线绘制函数图象即可，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）方式一：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；方式二：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；
（3）由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，的坐标为，的坐标为，求出的顶点距线段的距离为，得出的顶点距线段的距离为，从而可得的顶点坐标为或，再分情况代入计算即可得解．
【详解】（1）解：描点、连线绘制函数图象如下：
由图可得，抛物线经过原点，
故设抛物线的表达式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴与的关系式为；
（2）解：方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为；
②将点坐标代入中得，，
解得；
方案二：设点坐标为
①此时点的坐标为；
②将点坐标代入中得：，
解得；
（3）解：由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，
∵二次函数和都经过，两点，且，
∴的坐标为，的坐标为，
∴的顶点距线段的距离为，
∵和的顶点，距线段的距离之和为10，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，
解得：；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，
解得：，
综上所述，的值为或．
【感知】
新定义：如图1，在四边形中，若在四边形内部存在一点，连接，，，，
满足，且，则称四边形为“蝴蝶四边形”，
其中点为“蝶心”，为“蝶比”．
（1）如图2，正方形___________（填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为___________．
【探究】
如图3，在四边形中，，取线段中点为点，
延长交线段于点，若满足，
请判断四边形是否是以点为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由．
【拓展】
如图4，四边形是“蝴蝶四边形”，点为“蝶心”，其中，，
过点作交于点，延长交于点．
① “蝴蝶四边形”的蝶比为___________．（用含的代数式表示）
② 求证：点是线段的中点．
③ 请直接写出的值为___________．（用含的代数式表示）
【答案】（1）是，1；（2）见解析；（3）①；②见解析；③；
【分析】（1）根据正方形性质，及题意即可判断求解；
（2）延长 到点，使得，连接，根据定义判定，再证，即可求解得到，即可求证；
（3）①根据直角三角形，三角函数即可求解；②延长作交于点，根据定义求得，则，再证，即可求证；③根据，，可得，再根据定义即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知：正方形中；
故答案为：是，1；
（2）四边形是以点为“蝶心”的“蝴蝶四边形”，理由如下，
如图，延长 到点，使得，连接
∵线段中点为点，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
∴
∴
∴四边形是以点为“蝶心”的“蝴蝶四边形”；
（3）①∵四边形是“蝴蝶四边形”，点为“蝶心”，其中，，
∴，
在中，，
故答案为：；
②如图；延长作交于点；
∴
∵四边形是“蝴蝶四边形”，点为“蝶心”，其中，过点作交于点，
∴，
∴，
同理可得：，
∴
∴，
∵四边形是“蝴蝶四边形”，点为“蝶心”，
∴
∴
∴
∴
∴点是线段的中点
③∵
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026年浙江省初中毕业生学业水平考试数学模拟预测试卷
试卷共三大题．共24小题．满分120分，时间120分钟．
卷I（选择题）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，
如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，
若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．2026年1月4日，文化和旅游部公布2026年元旦假期文旅市场核心数据：3天假期内，
全国国内出游人次达亿．把数字亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是（ ）
A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同
C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都相同
5．关于反比例函数，下列结论错误的是（ ）
A．图象位于二、四象限 B．点在这个函数图像上
C．图象关于原点对称 D．y随x的增大而增大
如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．
若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，
问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
相关部门对“十一”期间到杭州观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，
整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是750
B．本次抽样中选择公共交通出行的有375人
C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是
D．若“十一”期间到杭州观光的游客有5万人，则选择自驾出行的约有3万人
人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，
准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，
小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，
小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，
则下列说法不正确的是（ ）
A．小数比小文先出发15秒
B．小文提速后的速度为
C．
D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距
如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．
过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，
其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
卷II（非选择题）
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．不等式组的解集是 ．
12. 使得方程有实数根的最大的整数 ．
13．如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________．
甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．
正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．
把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，
则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是________
15．【文化欣赏】
桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，
桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为______．

如图，边长为4的正方形中，为边的中点，点在边上，连接，
若的外接圆恰好与相切于点，则的半径为__________．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：.
18．先化简，再求值：，其中．
如图，点O为的对角线的中点，经过点O的直线分别交和于点E，F，
交和的延长线于点G，H．

求证：；
若，，求的长．
为强化学生技能，助力终身运动，帮助学生掌握实用运动技能，提高学生身体素质，
我市中考体育考试项目新增设了足球、篮球、排球、滑冰四项选一项的考试内容．
某校为了解学生选择考试项目情况，在该校学生中随机抽取部分学生做“参加四选一体育项目考试”
问卷调查（每人必选其中一项），其中A：足球、B：篮球、C：排球、D：滑冰，
将参加问卷的学生的数据整理后，依据样本数据得到不完整的条形图和扇形图．
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，______；
补全条形统计图；
扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______度；
若该校有2500名学生，请你估计喜爱排球的学生有多少人？
21．跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：
一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
华罗庚（1910-1985）
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：
①∵，，
又∵，
∴，
∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，
又∵，能确定59319的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，
可得，
由此确定59319的立方根的十位数是3，
因此59319的立方根是39．
(1)现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数字是 ；
③19683的立方根是 ．
(2)求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写）
22. 如图，已知中，，以为直径的交于，
过点作的切线交的延长线于点．于，
求证：
若，，求的长．
23．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，
并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，
该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式；
如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，
该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，
且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，
请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
① 此时点的坐标为______；
② 将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示）
方案二：设点坐标为
① 此时点的坐标为______；
② 将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示）
【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，
二次函数和都经过，两点，
且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值．
【感知】
新定义：如图1，在四边形中，若在四边形内部存在一点，连接，，，，
满足，且，则称四边形为“蝴蝶四边形”，
其中点为“蝶心”，为“蝶比”．
（1）如图2，正方形___________（填“是”或“否”）“蝴蝶四边形”，蝶比为___________．
【探究】
如图3，在四边形中，，取线段中点为点，
延长交线段于点，若满足，
请判断四边形是否是以点为“蝶心”的“蝴蝶四边形”？并说明理由．
【拓展】
如图4，四边形是“蝴蝶四边形”，点为“蝶心”，其中，，
过点作交于点，延长交于点．
① “蝴蝶四边形”的蝶比为___________．（用含的代数式表示）
② 求证：点是线段的中点．
③ 请直接写出的值为___________．（用含的代数式表示）
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