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2026年广东省梅县区东山中学高考数学适应性试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为( )
A. B. C. D.
4.已知顶角为的等腰三角形为黄金三角形，底边与腰长的比值为黄金分割比，根据上述信息，可得( )
A. B. C. D.
5.年，深度求索公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为千亿亿次浮点运算秒根据技术规划，的算力每年增长截止至年，其算力已提升至，并计划继续保持这一增长率问：的算力预计在哪一年首次突破？( )
参考数据：，，
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
6.已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取个，用表示这个零件中合格品的个数，则( )
A. B. C. D.
7.已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦，且，则四边形面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥，满足，且，，两两垂直在底面内有一动点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是( )
A. 一个点 B. 一条线段 C. 一段圆弧 D. 一段抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方形的边长为，向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
10.函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是
11.已知实数，，互不相等，且满足，，，下列说法正确的有( )
A.
B.
C.
D. 对任意，均为整数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为______．
13.用、、、、组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是 用数字作答
14.函数：满足，，，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为，的中点．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知数列的前项积为，且．
证明：是等差数列；
设，记数列的前项和为，求证．
17.本小题分
已知函数．
当时，求在区间上的零点个数；
当，时，求证：．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为．
求的方程；
过点且斜率不为的直线与相交于两点，在的左侧设直线，的斜率分别为，．
求证：为定值；
设直线，相交于点，求证：为定值．
19.本小题分
设的所有可能取值为，称为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：
仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列．
离散随机变量的条件分布的数学期望若存在定义如下：．
设二维离散随机变量的联合分布列为
求给定条件下的条件分布列；
设为二维离散随机变量，且存在证明：；
某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走分钟也回到原处假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：由题意连接，如图所示：
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，
令，则，，得平面的一个法向量为．
易得平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16.证明：由数列的前项积为，得，
．
故，从而，
且，则，所以．
从而是首项为，公差为的等差数列．
由知，，
．
所以
；
观察可知函数在上单调递增，
所以为递增数列，所以．
17.当时，函数，导函数，
当时，，，且这三者不同时为，因此在上恒成立，
因此函数在上严格单调递增，
因为，，
因此函数在上的零点个数为；
证明：当，时，函数，导函数，
令函数，那么导函数，
根据第一问知在上单调递增，从而函数在上单调递减，
又因为在上单调递减，
因此导函数在上单调递减，
因为，
从而存在唯一的，使得，
因此当时，导函数，函数即在上单调递增，
当时，导函数，函数即在上单调递减，
而，
因此当时，，
从而存在唯一的，使得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增，
，
因此当，时，．
18.解：由，，
所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为，焦距为，
则，，
所以，
所以的方程为．
证明：由，直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，，
联立，
得，
则，
，，
所以，
又，所以，
，
所以
．
由知，所以．
作关于轴的对称点，则，，三点共线，
又，，设，
则直线方程即为直线方程．
又直线方程为，
作差，得，
所以，
所以，，
由，得．
又因为，
所以，
即，即，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支椭圆内部上运动，
所以．
19.解：因为，所以用第一行各元素分别除以，可得给定条件下的条件分布列：
二维离散随机变量的概率为，由，
，，
于是，
由：有，
由知，对于二维离散随机变量，，
设他需要小时离开迷宫，记表示第一次所选的门，事件表示选第个门，
由题设有，
因为选第一个门后分钟可离开迷宫，所以，
又因为选第二个门后分钟回到原处，所以，
又因为选第三个门后分钟也回到原处，所以，
所以，
解得，即他平均要分钟才能离开迷宫．
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