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17.2 第3课时 平行四边形性质和判定的综合运用
1.能够综合运用平行四边形的性质和判定定理解决进行计算和证明问题.
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
//
=
//
=
//
=
例1 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
思路：线段AD、EF、BC有怎样的关系(位置、大小)？为什么？
1.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD相交于点O，E、F 是对角线 AC 上的两点，给出下列四个条件：
①AE = CF；②DE = BF；③∠ADE = ∠CBF；④∠ABE = ∠CDF．
其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有 ( )　
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
B
例2 如图，G、H 是 □ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AG = CH，E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点.求证：四边形 EHFG 是平行四边形.
证明：连结 EF 交 AC 于点 O .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB = CD.
又∵E、F 分别是边 AB、CD 的中点，∴ AE = CF .
又∵AB // CD，∴∠EAO =∠FCO.
O
在△AOE 和△COF 中，
∠EAO =∠FCO，∠AOE =∠COF，AE = CF，
∴ △AOE≌△COF. ∴ OE = OF，OA = OC.
又 ∵AG = CH， ∴ OG = OH.
∴四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
在利用平行四边形的判定和性质进行证明时，既可以根据已知条件正推出一些结论，再进行证明或求解，也可以根据需要求证或求解的问题反推出需要的条件.
2.如图，在□ ABCD 中，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F，连接AF，CE求证：AF = CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD，
∴∠ABE = ∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB = ∠CFD = 90°，AE∥CF，
在△ABE 和△CDF 中，
∠ABE＝∠CDF， ∠AEB＝∠CFD，AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE = CF，
∵AE∥CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AF = CE．
判定平行四边形的基本思路
已知条件 基本思路
一组对边平行
一组对边相等
一组对角相等
已知条件与对角线有关
可以证明这组对边相等或另一组对边平行
可以证明这组对边平行或另一组对边相等
可以证明另一组对角相等
可以证明对角线互相平分
1. 在□ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是 ( )
A．AF = CE
B．AE = CF
C．∠BAE =∠FCD
D．∠BEA =∠FCE
B
2. 如图，将四根木条钉成一个长方形框架ABCD，向右拉动框架得到四边形BCFE，下列判断错误的是(　　)
A．四边形BCFE为平行四边形
B．点E，F到边BC的距离相等
C．四边形ABCD的周长不变
D．对角线的长度不变
D
3. (1) 在□ABCD 中，∠A = 150°，AE⊥BC 于 E，AB = 8 cm，BC = 10 cm，则 S□ABCD= cm2..
40
(2) 若点 P 是□ABCD 上 AD 上任意一点，那么△PBC 的面积是 cm2..
20
E
4. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN =∠ABC+∠3， ∴∠CAN=2∠3，
∵∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴∠CAN=2∠2，∴∠2=∠3，
又∵∠4=∠5，MA= MC，
∴△MAD≌△MCB.∴MD=MB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点，求证：(1)△AOC≌△BOD；(2)四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(A.A.S.)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BA，DC的延长线上,且BE=DF，连接AF，交BC于点H，连接EC.
(1)求证：四边形EAFC是平行四边形;
(2)若∠E=∠D=65°，求∠AHB的度数.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD,
∵BE=DF，∴AE=CF∴AE∥CF.
∴四边形EAFC是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCF=∠D=65°，
∵四边形AFCE是平行四边形，∴∠E=∠F=65，
∴∠AHB=∠CHF=180°-∠F-∠BCF=50°.

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