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17.1 第3课时 平行四边形的性质定理3
1.理解平行四边形性质定理3
2.能综合运用平行四边形的3个性质定理进行有关的计算和证明.
将 □ ABCD 绕点 O 旋转 180°会有什么现象？
A
B
D
C
O
OA = OC，OB = OD，
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心.得到的图形会与原图形重合.
OA 与 OC，OB 与 OD 会有什么关系？
它们分别属于两个三角形？由此你发现能如何证明它们的关系？
只要△AOD≌△COB三角形全等即可
如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：OA = OC，OB = OD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD∥BC.
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴ △AOD≌△COB (ASA).
∴ OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
应用格式：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
平行四边形的性质定理 3
归纳总结
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为15，AB＝6，那么对角线 AC 与 BD 的和是多少？
解：在 □ABCD 中
∵AB = 6，AO+BO+AB = 15，
∴AO + BO = 15 - 6 = 9.
又∵AO=OC且BO = OD(平行四边形的对角线互相平分)，∴ AC+BD = 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2×9 = 18 .
A
C
D
B
O
典例精析
例3 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点 E，F.求证：OE = OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ODF = ∠OBE，
∠DFO = ∠BEO.
∴△DOF≌△BOE（AAS）.
∴AB∥CD， OD = OB.
∴OE = OF.
思考 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗
OE，OF分别在哪两个三角形中？
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
议一议：在上述问题中，若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
●
O
D
C
B
A
E
F
(2)
●
●
●
议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图(3)、(4)的位置时，上述结论是否仍然成立？
E
F
●
O
D
C
B
A
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
●
●
●
●
E
F
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．
(4)
1.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，若AD = 16，AC = 24，BD = 12，则△OBC 的周长为 (　)
A.26 B.34 C.40 D.52
B
2.如图，在□ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB = 6，则对角线 AC，BD 的长度的和是 ( )
A.9 B.18 C.27 D.36
B
平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
1.在□ ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m，则m 的取值范围是( )
A. 24＜m＜39 B.14＜m＜62
C.7＜m＜31 D.7＜m＜12
C
B
C
D
A
O
2.如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AB⊥AC，AB = 3，AD = 5，则 BD 的长是 .
3. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 BE，DF. 求证：BE = DF.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ OB = OD，OA = OC.
∵ E，F 分别是 OA，OC 的中点，
A
B
C
D
O
E
F
∴ △BEO≌△DFO (SAS).
∴ OE = OF.
又∵∠BOE =∠DOF，
∴ BE = DF.

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