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(共25张PPT)
转化成几何问题就是把这个三角形四等分，如何操作呢？
如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何分？
17.2 第4课时 三角形的中位线与平行四边形的应用
例1 如图，已知 □ ABCD，延长边 AD 至点 F，使 DF = DA. 连结 BF，交边 DC 于点 E. 求证：EF = EB.
F
A
B
C
D
E
思路：
通过证△DFE ≌ △CBE
EF = EB
F
A
B
C
D
E
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DA CB
∥
＝
∴∠FDE = ∠BCE，∠DFE = ∠CBE.
又∵DA = DF，
∴DF = CB.
在△DFE 与△CBE 中，
∵∠FDE = ∠BCE，DF = CB，∠DFE = ∠CBE ，
∴△DFE ≌△CBE.
∴EF = EB.
例1 如图，已知 □ ABCD，延长边 AD 至点 F，使 DF = DA. 连结 BF，交边 DC 于点 E. 求证：EF = EB.
F
A
B
D
E
如图，在△ABF 中，D，E 分别是边 AF，BF 的中点，连结 DE .
像 DE 这样，连结三角形两边
中点的线段叫做三角形的中位线 .
符号语言：
∵D，E 分别是边 AF，BF 的中点，
∴DE 为△ABF 的中位线.
思 考：
（1）以△ABF为例，说说一个三角形有几条中位线？
一个三角形有三条中位线
（2）每条中位线与三角形的边有什么关系？（从位置和数量关系分析）
F
A
B
C
D
E
数量关系
A
B
C
D
E
位置关系
∠ B = 50°，
∠ ADE = 50°，
∠ B = ∠ ADE
DE∥BC
BC = 6cm
DE = 3cm
DE = BC
猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
例 2 如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别是边 AB 和 AC 的中点. 求证： DE∥BC，DE = BC.
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
思路：
A
B
C
D
E
证一证：
猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
F
A
B
C
D
E
证明：如图，延长 DE 到 F，使 EF = DE，连结 CF.
在 △ADE 和△CFE 中，
∵AE = CE，∠AED = ∠CEF，DE = FE，
∴△ADE ≌ △CFE.
∴∠A = ∠ECF，AD = CF. ∴CF∥AB.
∵BD = AD， ∴CF = BD.
∴四边形 DBCF 是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的对边平行），
DF = BC（平行四边形的对边相等）.
∴ DE∥BC，DE = BC.
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
几何语言：
在△ABC 中，
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
∴DE∥BC且 DE = BC .
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
重要发现：
中位线 DE、EF、DF 把△ABC分成四个全等的三角形；
有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和 BDEF，四边形 BFED 和 CFDE，四边形 ADFE 和 DFCE.
顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；
中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.
面积等于原三角形面积的四分之一.
你现在知道怎样分蛋糕了吧
1. 如图，在 □ABCD 中，M 为边 AD 上的一点，AM ＝2DM，
E、F 分别是 BM 、CM 的中点．若 EF ＝ 6，则 AM 的长
为_____.
6
12
4
8
8
例3 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：如图，在 △ABC 中，AD = DB，BF = FC，AE = EC.
求证：AF 与 DE 互相平分.
A
B
C
D
E
F
证明：如图，连结 DF、EF.
∵AD = DB，BF = FC，
∴DF∥AC（三角形的中位线平行于第三边）.
∴同理可得，EF∥BA.
∴四边形 ADFE 是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
∴AF 与 DE 互相平分.
三角形的中线 三角形的中位线
定义
性质
联系 三角形的中线与三角形的中位线的区别与联系
A
B
C
F
E
D
A
B
C
F
E
D
中线和中位线分割的图形的面积和周长特点
S△ABD=S△ACD=S△CBF=S△CAF=S△BAE=S△BCE= S△ABC
C△ABD － C△ACD = AB－AC，
C△CBF － C△CAF = CB－CA，
C△BAE－ C△BCE = BA－BC.
中线
S△AEF=S△BDF=S△CDE=S△DEF= S△ABC
C△AEF=C△BDF=C△CDE=C△DEF=C△ABC
中位线
连接三角形顶点与其对边中点的线段 连接三角形两边中点
的线段
把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于一点(重心) 平行于第三边，且长度是第三边的一半
均与“中点”有关，都是三角形中的重要线段，在三角形的周长、面积、全等证明等问题中都有应用. 2. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，CD的中点.
(1)线段DE是△ACD的________线，也是△ABC的________线；
(2)线段EF是________的中位线，△ABC的中线是线段________．
中
中位
△ACD
CD
3.如图， ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD = 12，求△DOE 的周长.
解：∵ ABCD 的周长为36，
∴ BC + CD = 18．
∵ 点 E 是 CD 的中点，
∴ OE 是△BCD 的中位线，DE = CD.
∴ OE = BC.
∴△DOE 的周长为 OD+OE+DE = (BD+BC+CD) = 15，
即△DOE 的周长为15．
三角形的中位线
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
说说本节课你学到了三角形中位线的哪些知识？
定义
1.如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为（　　）
A.1 B.2 C.4 D.8
2.如图，在 ABCD 中，AD = 8，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
C
3.如图，在△ABC 中，AB = 6，AC = 10，点 D，E，F分别是 AB，BC，AC 的中点，则四边形 ADEF 的周长为（　　）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
D
4.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边 AB、BC、AC 的中点.
(1) 若∠ADF = 50°，则∠B= °；
(2) 已知三边 AB、BC、AC 分别为 12、10、8，
则△ DEF 的周长为 .
50
15
A
B
C
D
F
E
5.如图，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 10 cm，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 F，E 为 BC 的中点，求 DE 的长．
解：∵ AD 平分∠BAC，BD⊥AD，
∴ AB = AF = 6 cm，BD = DF，
∴ CF = AC - AF = 4 cm.
∵ BD = DF，E 为 BC 的中点，
∴ DE = CF = 2 cm．
6.如图，E 为 ABCD 中 DC 边的延长线上一点，且CE＝DC，连接 AE，分别交 BC、BD 于点 F、G，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，判断 AB 与 OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
解：AB∥OF，AB＝2OF.
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，
∴ ∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵ CE＝DC，∴AB＝CE.
∴ △ABF≌△ECF(ASA). ∴BF＝CF.
∵ OA＝OC，∴OF 是 △ABC 的中位线，
∴ AB∥OF，AB＝2OF.
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