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武汉市各区2024——2025年九下数学五调试题分类汇编
——第24题二次函数压轴综合题
1．（2025春 七一华源五调）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣8，0），O（0，0）两点，与直线y＝kx交于点B（﹣10，5）．
（1）直接写出a、b、k的值；
（2）取点C（﹣2.5，0），在抛物线第一象限上取点P，使∠PBO＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移至顶点为原点时，过y轴正半轴上一点P的直线与抛物线交于M、N两点，直线QM、QN与抛物线C2只有一个交点，连接PQ，若存在点Q使得∠MQN＝90°恒成立，求P点坐标．
2．（2025春 二中广雅五调）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，AB＝8，点E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），点Q是直线AE上一动点，直线BQ交抛物线于点T，若，求点D的横坐标；
（3）如图（2），将抛物线C1沿x轴对称得到抛物线C2，不过原点的直线l1与抛物线C2交于点M，交y轴的负半轴于点F，直线l2∥l1，直线l2和抛物线C2有且只有一个公共点N，若EF＝EM+4，请你证明直线MN恒过定点，并求出这个定点的坐标．
3．（2025 武汉模拟）二次函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，在该图象上有一点P，连接BP，CP．设P点的横坐标为m（0＜m＜4）．
（1）若C（0，4），
①求该二次函数的表达式；
②m为何值时，△BCP是直角三角形？
（2）连接AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，求证：是定值．
4．（2025 东西湖区五调）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2）三点，点D（3，0）为x轴上一点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，经过点D的直线l与抛物线有且只有一个公共点，求符合题意的直线l的表达式；
（3）如图2，若线段AB的中点为点M，经过点M的直线l与抛物线交于两点E，F两点，直线AE，BF交于点P，求△ABP的面积．
5．（2025 东湖高新区五调）如图（1），已知抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点，且OB＝OC．
（1）请直接写出：抛物线的解析式为　 　 ；
（2）点P在第四象限内的抛物线上，连接AP交y轴于点D，在B点右侧的x轴上取点E，且PE＝PA，过点B作BF⊥x轴交PE于点F，连接DF，若四边形ODFB的面积为，求P点的坐标；
（3）如图（2），过A点的直线y＝x+1交抛物线于另一点D，T为第二象限内的一个定点，过点T任作直线l交抛物线于M、N两个不同点（点N在第四象限内），若在直线l的变化过程中，射线DA始终平分∠MDN，求定点T的坐标．
6．（2025 洪山区五调）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线顶点N，AN与y轴交于点C，若x轴上存在一点M使∠NBA＝∠CMG，MG交NB于点G，当，求点G坐标；
（3）如图2，点D为x轴上方抛物线上一点，点R（6，0），若Q为线段DR上一点，过Q作PQ∥AD交x轴于点P，求△PQD面积最大值．
7．（2025 江汉区五调）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线交直线y＝kx于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）如图1，已知点A的横坐标为﹣1，求点B的横坐标；
（2）如图2，连接AC、BC．
①当k＞0，且S△ABC＝5时，求k的值；
②试判断∠ACB＝90°是否恒成立？请说明理由．
8．（2025 武昌区五调）已知抛物线C1：y＝x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于C．
（1）直接写出点B，C的坐标；
（2）如图1，设点N在y轴上，满足∠OCA+∠ANO＝∠ABC，求点N的坐标；
（3）如图2，将抛物线C1平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为坐标原点，直线y＝﹣2x与抛物线C2交于O，M两点，过OM的中点K作直线RQ（异于直线OM）交抛物线C2于R，Q两点，直线QO与直线MR交于点H．探究：点H是否一定在某条确定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由．
9．（2025 江岸区五调）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax+c经过点（1，2），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线C1于S、T两点，M为抛物线C1上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值；
（3）如图2，平移抛物线C1的顶点到原点得抛物线C2，直线y＝x+b交抛物线于P、Q两点，已知点H（0，1），连接PH、QH分别交抛物线于另一点N、M，求证：直线MN经过一个定点．
10．（2025 青山区五调）已知，抛物线交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，D是抛物线第四象限上的一点．直线AD与y轴交于点E，若∠CED＝∠CAO，求点D的坐标；
（3）如图2，直线PM过x轴上方的一点（﹣1，t），交抛物线于点P，M，直线交抛物线于另一点N，若直线PN⊥直线MN，求b与t之间的数量关系．
11.（2025 汉阳区五调）已知，如图1，O为平面直角坐标系的原点，过定点C的直线l与抛物线L：y＝2x2交于点A，B（点A在点B左侧）．
（1）若，则求直线l的解析式；
（2）若AC＝BC，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点D，使以A，B，O，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求D点的坐标，若不存在，请说明原因；
（3）如图2，分别过点A，B作与抛物线L均有唯一公共点的直线m，n，直线m，n的交点为E，若，求k的值．
12．（2025 硚口区五调）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），连接AC，D是抛物线第一象限上的一点，连接AD交y轴于点E；过点B作BF∥AC交AD于点F．若F是DE的中点，求点D的横坐标；
（3）如图（2），直线y＝t（t＞0）交抛物线于M，N两点，H（0，h）是y轴上的一点（h＜t），延长NH，MH分别交抛物线于P，Q两点，连接MP，NQ．设点M的横坐标为m（m＜0），若S△QNH＝4S△PMH，求m值．
13．（2025 武汉外校五调）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图1，在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图2，过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．
14．（2025 武汉四区五调）如图1，抛物线交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）D是抛物线第二象限上的一点，连接BD分别交AC，y轴于E，F两点，若DE＝EF，求点D的坐标；
（3）如图2，平移抛物线C1得到抛物线C2，其顶点为（0，1），点M在x轴上方的抛物线C2上，MN∥x轴，点M在点N的左侧，过M且不平行y轴的直线l与抛物线C2只有一个公共点，F为抛物线C2第四象限上一点，直线FN与l交于点E．设点M，F的横坐标分别为m，n，若线段NF＝2NE，问：m与n是否存在确定的数量关系？如果存在，求出其关系；如果不存在，请说明理由．
15．（2025 青山区四调）抛物线y＝ax2+bx+2与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且OA＝2OC＝4OB．
（1）直接写出抛物线解析式；
（2）如图1，点D为第二象限抛物线上一点，作DH⊥AC于点H，求DH的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，直线EF：y＝kx+2k与抛物线交于E，F两点，点P坐标为（﹣2，5），连接PE，PF分别与抛物线交于M，N两点，连接MN，求证：直线MN过定点．
1．【解答】解：（1）设y＝ax（x+8），把B（﹣10，5）代入得：20a＝5，
解得：a，
∴yx（x+8），即yx2+2x，
∴a，b＝2，
把B（﹣10，5）代入y＝kx得：5＝﹣10k，
解得：k；
（2）延长PB交x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图1，
设D（m，0），又C（﹣2.5，0），
∴OD＝﹣m，OC＝2.5，
∵B（﹣10，5），BE⊥x轴，
∴E（﹣10，0），
∴BE＝5，OE＝10，
∴OB2＝BE2+OE2＝52+102＝125，
∵∠ACB＝∠BOC+∠CBO，∠PBO＝∠BOC+∠BDO，∠PBO＝∠ACB，
∴∠CBO＝∠BDO，
∵∠BOC＝∠DOB，
∴△OBC∽△ODB，
∴，
∴OC OD＝OB2，
即2.5 （﹣m）＝125，
解得：m＝﹣50，
∴D（﹣50，0），
设直线BD的表达式为y＝k1x+b1，则，
解得：，
∴直线BD的表达式为yx，
联立得：，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设P（0，t），直线MN的表达式为y＝sx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），
∵将抛物线yx2+2x平移至顶点为原点，
∴平移后的抛物线C2表达式为yx2，
设直线MQ的表达式为y＝k2x+b2，直线NQ的表达式为y＝k3x+b3，
将M（x1，y1），Q（x3，y3）代入y＝k2x+b2，得，
解得：，
同理可得：k3，
直线MQ与抛物线表达式联立得：x2＝k2x+b2，
整理得：x2﹣4k2x﹣4b2＝0，
∵直线QM、QN与抛物线C2只有一个交点，
∴Δ＝（﹣4k2）2﹣4×1×（﹣4b2）＝0，
∴b2＝0，
∴x1＝2k2，
同理可得：x2＝2k3，
过点Q作EF∥x轴，过点M，N分别作EF的垂线，垂足分别为E，F，如图2，
则ME＝y1﹣y3，NF＝y2﹣y3，EQ＝x3﹣x1，FQ＝x2﹣x3，
∵∠E＝∠F＝∠MQN＝90°，
∴∠MQE+∠QME＝∠MQE+∠NQF＝90°，
∴∠QME＝∠NQF，
∴△MQE∽△QNF，
∴，即，
∴，
∴ 1
即k2 k3＝﹣1，
∴ 1，
∴x1x2＝﹣4，
又，
整理得：x2﹣4sx﹣4t＝0，
∴x1x2＝﹣4t，
∴﹣4t＝﹣4，
∴t＝1，
∴P点坐标为（0，1）．
2．【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，AB＝8，
∴y＝ax2﹣4的对称轴为y轴，
∴B（4，0），A（﹣4，0），
把点B的坐标代入抛物线y＝ax2﹣4得：
0＝16a﹣4，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，把点A的坐标，点E（0，3）分别代入得：
，
解得，
∴直线AE的解析式为，
∵，
∴，
设点D的坐标为，
当Q，B，D三点中，点Q在线段BD上时，如图1，过点Q，D作垂线段分别交x轴于点N，M，
∵DM⊥MB，QN⊥MB，
∴△DMB∽△QNB，
∴，
设点Q（a，b），则，，
得，，
把代入直线，得：
，
解得，；
当Q，B，D三点中，点D在线段BQ上时，如图2，过点Q，D作垂线段分别交x轴于点N，M，
同理可得△DMB∽△QNB，
∴，
设点Q（a，b），则，，
得a＝4m﹣12，b＝m2﹣16，
把Q（4m﹣12，m2﹣16）代入直线，得：
，
解得m1＝﹣2，m2＝5，
由于5＞4，不符合前提条件，故舍去，
∴m＝﹣2；
综上所述，点D的横坐标为﹣2或或；
（3）将抛物线C1沿x轴对称得到抛物线C2，
则抛物线C2的解析式为，
设，，
设直线l2的解析式为y＝kx+b，把代入得：
，
解得，
∴直线l2的解析式为，
联立得：，
∵直线l2和抛物线C2有且只有一个公共点N，
∴，
解得，
∴直线l2的解析式为，
∵l2∥l1，
设直线l1的解析式为，把代入得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为，
当x＝0时，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
解得mn＝﹣12，
设直线MN的解析式为y＝kx+b，把，分别代入得：
，
解得，
∴直线MN的解析式为，
∴直线MN经过定点（0，1）．
3．【解答】（1）解：①由二次函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，设y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
∵二次函数图象与y轴交于点C（0，4），
∴﹣4a＝4，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4；
②∵P点的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+3m+4），
△BCP是直角三角形，存在∠BCP或∠CPB为直角两种情况：
当∠BCP＝90°时，过P作PH⊥y轴于H，如图：
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCP＝180°﹣∠OCB﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∴△CHP是等腰直角三角形，
∴HC＝HP，
∴（﹣m2+3m+4）﹣4＝m，
解得m＝0（此时P，C重合，舍去）或m＝2，
当∠CPB＝90°时，过P作PK⊥x轴于K，PT⊥y轴于T，如图：
∵∠BOC＝∠CPB＝90°，
∴∠OCP+∠PBO＝180°，
∵∠OCP+∠TCP＝180°，
∴∠TCP＝∠PBO，
∵∠CTP＝90°＝∠PKB，
∴△CTP∽△BKP，
∴，
∴，
∴，
整理可得：m2﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1或m＝1（舍去），
综上所述，m的值为2或1；
（2）证明：如图：
由二次函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，设y＝a（x+1）（x﹣4），
令x＝0得y＝﹣4a，
∴C（0，﹣4a），
∵P点的横坐标为m，
∴P（m，a（m+1）（m﹣4）），
由A（﹣1，0）、P（m，a（m+1）（m﹣4））得直线AP的表达式为：y＝a（m﹣4）（x+1），
令x＝0得y＝am﹣4a，
∴E（0，am﹣4a），
∴CE＝﹣4a﹣am+4a＝﹣am，
由B（4，0）、P（m，a（m+1）（m﹣4））得直线BP的表达式为：y＝a（m+1）（x﹣4），
令x＝0得y＝﹣4am﹣4a，
∴F（0，﹣4am﹣4a），
∴CF＝﹣4am﹣4a﹣（﹣4a）＝﹣4am，
∴，
∴为定值．
4．【解答】解：（1）由题意，∵抛物线过A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），
∴．
∴．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）∵直线l与抛物线有且只有一个公共点，
∴可分两种情形分析：
①由题意，当直线l与x轴垂直时，直线l与抛物线有且只有一个公共点，直线l的表达式为：直线 x＝3；
②当直线l不与x轴垂直时，设直线l解析式为：y＝kx+b，
又∵直线过D（3，0），
∴3k+b＝0．
∴b＝﹣3k．
∴直线l解析式为：y＝kx﹣3k．
联立方程组，
∴x2+（k﹣1）x﹣3k﹣2＝0．
∴Δ＝（k﹣1）2﹣4×（﹣3k﹣2）＝0．
∴k1＝﹣1，k2＝﹣9．
∴直线l解析式为：y＝﹣x+3或y＝﹣9x+27．
综上所示：直线l解析式为：直线x＝3，y＝﹣x+3或y＝﹣9x+27．
（3）∵线段AB的中点为点M，点A（﹣1，0），B（2，0），
∴．
又∵经过点M的直线l与抛物线交于两点E，F，
∴可设点E（e，﹣e2+e+2），F（f，﹣f2+f+2），
又设直线EF为y＝kx+b，将E（e，﹣e2+e+2），F（f，﹣f2+f+2）
代入到直线解析式可得，．
∴，
∴直线 EF：y＝（﹣e﹣f+1）x+2+ef．
同理可得，直线 AE：y＝（﹣e+1+1）x+2﹣e＝（﹣e+2）x+2﹣e，
∴直线 BF：y＝（﹣f﹣2+1）x+2+2f＝（﹣f﹣1）x+2+2f．
∵直线直线 EF：y＝（﹣e﹣f+1）x+2+ef 经过点M，
∴，可得．
联立方程组，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴交点P的纵坐标始终为，即．
∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴AB＝3，
∴△ABP 的面积．
5．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），即OC＝3，
∴OB＝0C＝3，
∴B（3，0），
将B坐标代入y＝x2+bx﹣3得b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
故答案为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H．
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设P（t，t2﹣2t﹣3），
∴直线AP：y＝（t﹣3）x+t﹣3，
∴D（0，t﹣3），
∵PA＝PE，PH⊥x轴，
∴AH＝EH＝t+1，
∴E（2t+1，0），
∴直线EP：y＝（﹣t+3）x+2t2﹣5t﹣3，
∴F（3，2t2﹣8t+6），
∵四边形ODFB的面积为，
∴，
即：，
整理得：2t2﹣7t+6＝0，
解得：，
∴P（2，﹣3）或．
（3）联立，
解得或（与A重合，舍去），
∴D（4，5）．
【方法一】线参法：
设直线l的解析式为y＝kx+b，
联立，
∴x2﹣（k+2）x﹣3﹣b＝0，且xM、xN为两根，
∴xM+xN＝k+2，xMxN＝﹣3﹣b．
过点D作DG∥x轴，DH∥y轴，过点M作MG⊥DG，过点N作NH⊥DH，
∴∠G＝∠H＝90°，
∵直线AD：y＝x+1，
∴∠DAO＝∠ADG＝∠ADH＝45°，
∵DA平分∠MDN，即：∠ADM＝∠ADN，
∴∠GDM＝∠HDN，
∴△DMG∽△DNH，
∴，
∴，
即：，
∴，
即：，
∴（xM+2）（xN+2）＝1，即：xMxN+2（xM+xN）+4＝1，
∵xM+xxy＝k+2，xMxy＝﹣3﹣b，
∴﹣3﹣b+2k+4+4＝1，即：b＝2k+4，
∴直线l的解析式为y＝kx+2k+4，
∴当x＝﹣2时，y＝4，
∴直线l必过定点（﹣2，4），
即：定点T的坐标为（﹣2，4）．
【方法二】点参法设M（m，m2﹣2m﹣3），N（n，n2﹣2n﹣3），
则直线MN的解析式为：y＝（m+n﹣2）x﹣mn﹣3．
同方法一：△DMG∽△DNH，
∴，
可得：，
∴mn+2（m+n）+4＝1，即：，
代入y＝（m+n﹣2）x﹣mn﹣3，得：，
∴当x＝﹣2时，y＝4，
∴直线l必过定点（﹣2，4），
即：定点T的坐标为（﹣2，4）．
6．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，
由（1）可知，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点N（1，4），
∵N（1，4），A（﹣1，0），
设AN：y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AN：y＝2x+2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴，
∵∠NBA＝∠CMG，∠NBA+∠MGB＝∠CMG+∠CMA，
∴∠MGB＝∠CMA，
由抛物线的轴对称性质可知∠GBM＝∠MAC，
∴△MGB∽△CMA，
∴，∠GMB＝∠MCA，
∴BM＝3，
∵AB＝4，
∴AM＝1，
∴M（0，0），即点M在原点，
如图，过G作GD⊥AB于D，
∴∠CMB＝∠CMG+∠MBG＝∠NBA+∠BMG＝90°，
∴∠MGB＝∠CMA＝90°，
∵GD⊥AB，
∴，
∴设BD＝x，DG＝2x，MD＝4x，
∴MB＝5x＝3，
∴，
∴，
∴；
（3）设P（t，0）（﹣1≤t≤6），
则AP＝t+1，AR＝7，
∵PQ∥AD，
∴，
∴，
∴，
当t，yQ＝yN＝4时，
．
7．【解答】解：（1）∵抛物线交直线y＝kx于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标为﹣1，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴直线AB为，
联立，
解得或，
∴B（4，6）；
（2）①∵抛物线，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
联立，
整理得x2﹣2kx﹣4＝0，
∴xA+xB＝2k，xA xB＝﹣4，
∴xB﹣xA，
∵当k＞0，且S△ABC＝5时，
∴，
∴4k2+16＝25，
解得（k舍去），经检验符合题意；
②∠ACB＝90°恒成立，理由如下：
由①可得：A（xA，yA），B（xB，yB），xA+xB＝2k，xA xB＝﹣4，
而yA2，，
∵C（0，﹣2），
∴，
AB2＝（xA﹣xB）2+（yA﹣yB）2，
∵8，
﹣2（xAxB+yAyB）
＝﹣2
，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2mx﹣3m2，
得1+2m﹣3m2＝0，
（3m+1）（﹣m+1）＝0，
∵m＞0，
∴m＝1．
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0）．
令x＝0，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
（2）由（1）已求得 m＝1，
∴抛物线，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
要满足∠OCA+∠ANO＝∠ABC，分点N在y轴正半轴、负半轴两种情况讨论：
①当点N在y轴正半轴时，
∵B（3，0），C（0，﹣3），∠BOC＝90°（x轴与y轴垂直），且OB＝OC＝3（B到原点距离为3，C到原点距离为3），
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，即∠ABC＝45°，
∵∠OCA+∠ANO＝∠ABC＝45°，过点C作AC的垂线交直线NA于点Q，过Q作QH⊥y轴于H．
∵∠ACQ＝90°（所作垂线），∠QAC＝∠OCA+∠ANO＝45°，
∴在△AQC中，∠QAC＝∠AQC＝45°，
∴AC＝QC．
∴∠AOC＝∠QHC＝90°（QH⊥y轴，x轴与y轴垂直），
∴∠OAC+∠OCA＝90°，∠HCQ+∠OCA＝90°（∠ACQ＝90°），
∴∠OAC＝∠HCQ．
在△AOC和△CHQ中，
，
∴△AOC≌△CHQ．
∴AO＝CH，OC＝HQ．
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AO＝1，OC＝3，
∴CH＝1，HQ＝3．
∵C（0，﹣3），CH＝1且Q在y轴左侧，
∴H点纵坐标为﹣3﹣1＝﹣4，Q点横坐标为﹣3（HQ＝3且QH⊥y轴），即Q（﹣3，﹣4）．
设直线AQ的解析式为y＝px+q（k为斜率，b为截距），
把A（﹣1，0），Q（﹣3，﹣4）代入得：，
解得 p＝2，q＝2．
∴直线AQ的解析式为y＝2x+2．
∵点N在y轴上，令x＝0，则y＝2×0+2＝2，
∴N（0，2）；
②当点N在y轴负半轴时，
根据对称性（y轴正负半轴关于原点对称，角度关系、构造全等的逻辑类似），同理N（0，﹣2）；
综上，点N的坐标为（0，2）或（0，﹣2）；
（3）抛物线C2的解析式为y＝x2，
联立，
解得x＝﹣2或x＝0，
∴M（﹣2，4），K（﹣1，2），
设Q（m，m2），R（n，n2），直线RQ的解析式为y1＝kx+b，
将Q（m，m2），R（n，n2），代入y1＝kx+b，
得，
解得，
∴y1＝（m+n）x﹣mn；
将K（﹣1，2）代入得，2＝﹣（m+n）﹣mn，即mn＝﹣2﹣m﹣n；
同理可求，直线MR的解析式为y2＝（n﹣2）x+2n，直线OQ的解析式为y3＝mx，
联立直线MR、直线OQ解析式，得（n﹣2）x+2n＝mx，
解得，，
∴，
设点H在直线y＝px+q上，则，
整理得，2m+2n+4＝﹣qm+（q﹣2p）n﹣2q，
比较系数得，，
解得，p＝﹣2，q＝﹣2．
∴当p＝﹣2，q＝﹣2时，无论m，n为何值时，恒成立，
∴点H一定在直线y＝﹣2x﹣2上，直线解析式为 y＝﹣2x﹣2．
9．【解答】（1）解：∵y＝ax2﹣2ax+c经过点（1，2）与A（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为yx2+x；
（2）解：设直线ST交ME于点N，如图：
设M（t，t2+t），则MEt2+t，N（t，t），
∴MNt2+ttt2t，ONt；
∵∠MNF＝∠ONE，
∴sin∠MNF＝sin∠ONE，即．
∴MF MN （t2t） （t2t）t2t，
∴ME+MFt2+tt2tt2t（t）2，
∴当t时，ME+MF有最大值，最大值为；
（3）证明：平移抛物线C1的顶点到原点，得到抛物线C2，则抛物线C2：yx2，
由H（0，1），设PH：y＝kx+1，
联立，
得x2+kx+1＝0，
∴xP xN＝2，
∴xP
同理可得xQ，
联立，
得x2+x+b＝0，
∴xp+xq＝﹣2，
∴2，
∴xM+xN＝﹣xN xM，
设直线MN：y＝mx+n，
联立，得x2+mx+n＝0，
∴xN+xM＝﹣2m，xN xM＝2n，
∴﹣2m＝﹣2n，
∴m＝n，
直线MN：y＝mx+m，
当x＝﹣1时，y＝0，
∴直线MN过定点（﹣1，0）．
10．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
当y＝0时，x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）∵∠CED＝∠AEO，∠CED＝∠CAO，
∴∠AEO＝∠CAO，
∴tan∠CAO＝tan∠AEO＝2，
∴AO＝2OE，
∵AO＝1，
∴OE，
∴E（0，），
设直线AE的解析式为y＝k'x，
∴﹣k'0，
解得k'，
∴直线AE的解析式为yx，
当xx2x﹣2时，解得x＝3或x＝﹣1（舍），
∴P（3，﹣2）；
（3）设P（p，p2p﹣2），M（m，m2m﹣2），N（n，n2n﹣2），
设直线PN的解析式为y＝kx+b'，
当kx+b'x2x﹣2时，x2﹣（k）x﹣2﹣b'＝0，
∴p+n＝3+2k，PN＝2b'﹣4，
∴k，b，
∴直线PN的解析式为yx，
同理，直线PM的解析式为yx，
直线MN的解析式为yx，
∵直线PM过点（﹣1，t），
∴t，
∵直线MN的解析式为yx+b，
∴，b，
∴m+n①，mn＝﹣2b﹣4②，
过点N作KH∥x轴，过点P作PK⊥KH交于K点，过点M作MH⊥KH交于H点，
∵PN⊥MN，
∴∠KPN＝∠HNM，
∴tan∠KPN＝tan∠HNM，
∴，
∴（m+n﹣3）（p+n﹣3）＝4③，
由①②③可得b+t．
11．【解答】解：（1）存在，理由如下：
由题意得将代入得：，
解得：，
∴直线l的解析式为：；
（2）由得，
∵直线l：过定点，
∴，
解得：，
∴，
联立得：，
∴，
∴，，
∵AC＝BC，
∴，
解得：k＝1，
∴直线l：，
∴，，，
∴，
以A，B，O，D为顶点的四边形是平行四边形，
①AB，OD为对角线时，
，
∴，
∴；
②AD，OB为对角线时，
则AB＝OD，AB∥OD，
∴，直线OD：y＝x，
∴，
∴；
③AO，DB为对角线时，
则AB＝OD，AB∥OD，
∴，
∴，
∴；
综上所述：存在点D，使以A，B，O，D为顶点的四边形是平行四边形，D点的坐标为或或；
（3）设A（a，2a2），B（b，2b2），
联立得：，
∴，
∴，，
设直线EA：y＝k1x+b1，
联立，
整理得：2x2﹣k1x﹣b1＝0，
∵点A，B作与抛物线L均有唯一公共点，
∴，，
∴直线EA：y＝4ax﹣2a2，
同理可得直线CB：y＝4bx﹣2b2，
∴联立得：，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：k2﹣9k+20＝0，
解得：k1＝4，k2＝5．
12．【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
当x＝0时，y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；
（2）过D、F分别作x轴的垂线，垂足分别是G、R，
则EO∥FR∥DG，
∴，
∵DF＝EF，
∴，
设直线AC解析式为y＝k2x+b2，
由题意可得：
，
∴，
∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵AC∥BF，
∴设直线BF的解析式为y＝﹣3x+b，
∵B（3，0），
∴b＝9，
∴直线BF的解析式为y＝﹣3x+9，
设D（d，d2﹣2d﹣3），则，
设直线AD的解析式为y＝kx+b1，
代入A、D坐标得，
解得，
∴直线AD解析式为y＝（d﹣3）x+d﹣3，
将点F坐标代入得解得d1＝﹣6（不符合提议，舍去），d2＝4，
∴点D的横坐标是4；
（3）由H（0，h），M（m，t），
设直线MQ解析式为y＝qx+h，直线NP解析式为y＝px+h，
∵MN∥x轴，
∴N（2﹣m，t），
∴M、N分别在直线MQ、NP上，
∴t＝qm+h，t＝（2﹣m）p+h
∴qm+h＝（2﹣m）p+h，故，
∴联立两式x2﹣2x﹣3＝qx+h，
∴x2﹣（2+q）x﹣3﹣h＝0，
∴xMxQ＝﹣3﹣h，即，
同理可得，故，
∵，
∴，
由题意可得：4m2＝（2﹣m）2，
∴m＝﹣2或，
∵m＜0，
∴m＝﹣2．
13．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），将A，D两点坐标代入得：
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，如图1，过点E作EF⊥y轴于F，过点D作DG⊥x轴于G，则∠EFC＝∠DGA＝90°，
∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4），
∴AG＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DG＝4，
把x＝0代入y＝x2+2x﹣3得，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
设点E（m，m2+2m﹣3），则EF＝﹣m，OF＝﹣（m2+2m﹣3），
∴CF＝OC﹣OF＝3+（m2+2m﹣3）＝m2+2m，
∵∠OCE＝∠OAD，
∴tan∠OCE＝tan∠OAD，
∴，
即，
整理得，2m2+5m＝0，
解得或m2＝0（不合，舍去），
∴；
（3）过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点D．如图2，设P（﹣1，t），
设直线FG的解析式为：y＝kx+b，
∴t＝﹣k+b，即b＝k+t，
∴直线FG的解析式为：y＝kx+k+t，
设F（x1，y1），G（x2，y2），
由，得x2+2x﹣3＝kx+k+t，即：x2+（2﹣k）x﹣3﹣k﹣t＝0，
∴x1+x2＝k﹣2，x1x2＝﹣3﹣k﹣t，
∴
∵线段FG的中点是M，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当4t+15＝0时，即时，是定值，
∴．
14．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0得，﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∵点A在左边，
∴A（﹣4，0），B（1，0）；
（2）如图，过点D作DG∥CF交AC于G，
则∠EDG＝∠EFC，∠DGE＝∠FCE，
∵DE＝EF，
∴△DGE≌△FCE（AAS），
∴DG＝CF，
设D（t，﹣t2﹣3t+4），则G（t，t+4），
∴DG＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4＝﹣t2﹣4t，
∴DG＝CF＝﹣t2﹣4t，
由B（1，0），D（t，﹣t2﹣3t+4）可得直线BD：y＝﹣（t+4）x+t+4，
令x＝0，得y＝t+4，
∴F（0，t+4），
∴CF＝4﹣（t+4）＝﹣t
∴﹣t2﹣4t＝﹣t，
解得t＝﹣3，t＝0（舍去），
∴D（﹣3，4）；
（3）过F作FS∥x轴，过E作ES∥y轴，两直线交于点S，ES交MN于点T，过N作NR⊥SF于点R，
依题意可得，
直线ME：y＝﹣2mx+m2+1，
设N（﹣m，﹣m2+1），F（n，﹣n2+1），
由FN＝2NE，得FR＝2RS，ST＝2ET，
∴n+m＝2（﹣m﹣xE），．
解得xE，，
∴，，
将点E代入y＝﹣2mx+m2+1，
化简得11m2+2mn﹣n2＝0，
即，
又∵m＜0，n＞0，
∴．
15．【解答】（1）解：在y＝ax2+bx+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
∵OA＝2OC＝4OB，
∴OA＝4，OB＝1，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，
解得，
∴yx2x+2；
（2）解：过D作DK∥y轴交AC于K，如图：
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴AC＝2，直线AC解析式为yx+2，
∴sin∠ACO，
∵DK∥y轴，
∴∠DKH＝∠ACO，
∴sin∠DKH，
∴DHDK，
设D（t，t2t+2），则K（t，t+2），
∴DKt2t+2t﹣2t2﹣2t，
∴DH（t2﹣2t）（t+2）2，
∵0，
∴当t＝﹣2时，DH取最大值为，
此时t2t+24（﹣2）+2＝3，
∴DH的最大值为，此时点D的坐标为（﹣2，3）；
（3）证明：联立得：x2x+2＝kx+2k，
整理得x2+（2k+3）x+4k﹣4＝0，
∴xE+xF＝﹣2k﹣3，xE xF＝4k﹣4，
设M（m，m2m+2），N（n，n2n+2），直线MP解析式为y＝px+q，直线NP解析式为y＝p'x+q'，
∵P（﹣2，5），
∴5＝﹣2p+q，5＝﹣2p'+q'，
∴q＝5+2p，q'＝5+2p'，
∴直线MP解析式为y＝px+5+2p，直线NP解析式为y＝p'x+5+2p'，
把M（m，m2m+2），E（xE，xE+2）代入y＝px+5+2p得：
，
①﹣②得：p（m﹣xE）（m2）（m﹣xE），
∵m≠xE，
∴pmxE③，
把③代入①得：（mxE）m+5+2（mxE）m2m+2，
解得m，
同理可得n，
∴m+nk，
mn k，
设直线MN为y＝k'x+b'，把M（m，m2m+2），N（n，n2n+2）代入得：
，
可解得，
∴直线MN为yx，
把m+nk，mnk代入得：
y＝（k）xk，
令x＝﹣2时，y，
∴直线MN过定点（﹣2，）．
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