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七下数学第八周《图形变换拓展》
【考点1.图形的平移】
1．如图，在△ABE中，AB＝4cm，AE＝3cm，∠BAE＝20°，将△ABE沿着MN的方向平移2cm到△FCD的位置，则BC＝　 　 cm，CF＝　 　 cm，∠CFD的度数为　 　 ．
2．如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为 　 　 ．
3．在△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC平移5cm得到△A'B'C'，则AC′的长的最大值为　 　 cm．
4．如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　 　 cm．
5．如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为　 　 ．
6．如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，连接AD，若三角形ABC的周长是14cm，则四边形ABFD的周长是 　 　 cm．
7．画图并填空：
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）将△ABC向左平移3格，再向上平移4格，得到△A1B1C1，在方格纸中画出△A1B1C1；
（2）在方格纸中，画出△ABC的高AD；
（3）线段BC与线段B1C1的关系为 　 　 ．
8．如图，在正方形网格中，点A、B、A1都在格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是　 　 ；
（3）若每个小正方形边长为1，线段AB扫过的面积是　 　 ．
9．综合与实践：【问题情境】：在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线a∥b，将直角三角尺ABC的直角顶点放在直线b上，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
（1）【数学理解】：在图1中，若∠1＝42°，则∠2的度数为　 　 ；
（2）【深入探究】：如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并改变∠2的位置，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由；
（3）【拓展应用】：缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，你能发现∠1与∠2有怎样的数量关系？请说明理由．
【考点2.对称】
10．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．AC，BD相交于点O，请结合图形写出一个正确的数学结论　 　 ．
11．如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC＝9，AE：EC＝2：1，则点B到点E的距离是　 　 ．
12．如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC等于78°，则∠OBC＝　 　 °．
13．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　 　 °．
14．如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　 　 ．
15．如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 　 　 °．
16．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AC于点D，若△ABD的周长为21，AB＝8，则AC＝ 　 　 ．
17．将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，EF，FG为折痕，点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C′，点B′在FG上，点C′在AD上，若∠AEF＝103°，则∠FGC′的度数是（　　）
A．54° B．64° C．66° D．74°
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　 　 ．
19．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示）
20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
21．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E．
（1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数．
（2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度．
①请用含x的代数式表示y，则y＝　 　 ．
②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值．
22．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
【考点3.旋转】
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE交AC于点F，则∠AFE＝　 　 °．
24．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是　 　 ．
25．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　 　 秒时，DE∥AC．
26．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为　 　 ．
第26题 第27题 第28题 第29题
27．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　 　 ．
28．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，连接AA′，则∠AA′B′度数为 　 　 ．
29．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转95°，得到△EBD，若点E恰好落在AD的延长线上，则∠CAD＝　 　 °．
30．如图，在△ABC中，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置．
（1）如图1，当AB'⊥BC时，求∠BAB′的度数；
（2）如图2，连接CC'，当CC′∥AB时，∠C'AB＝130°，求∠ACB的度数．
31．如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质．
32．如图，正方形ABCD中，点E是线段CD延长线上一点，连接AE，AB＝m，DE＝n．
（1）将线段AE沿着射线AB方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段AE扫过的平面部分的面积为　 　 ．
（2）将三角形ADE绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角．
33．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
（1）如图②，已知：入射光线AO，反射光线OB．求作：法线OP．
（2）如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
34．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ．
（1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　 　 ；
（2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由；
（3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数．
∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+3+4＝12（cm），
故答案为：12．
5．如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形EFGH，则阴影部分的面积为　4cm2 ．
【解答】解：∵正方形ABCD向右平移1cm，向上平移1cm，
∴阴影部分是边长为3﹣1＝2cm的正方形，
∴阴影部分的面积＝22＝4cm2．
故答案为：4cm2．
6．如图，将三角形ABC沿BC方向平移3cm得到三角形DEF，连接AD，若三角形ABC的周长是14cm，则四边形ABFD的周长是 　20　 cm．
【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴AD＝CF＝3cm，
∵三角形ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝AB+BC+DF＝14cm，
∴四边形ABFD的周长为：14+3+3＝20cm．
故答案为：20．
7．画图并填空：
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）将△ABC向左平移3格，再向上平移4格，得到△A1B1C1，在方格纸中画出△A1B1C1；
（2）在方格纸中，画出△ABC的高AD；
（3）线段BC与线段B1C1的关系为 　平行且相等　 ．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，AD即为所求．
（3）由平移可知，BC＝B1C1且BC∥B1C1．
故答案为：平行且相等．
8．如图，在正方形网格中，点A、B、A1都在格点上．
（1）平移线段AB，使点A与点A1重合，画出线段A1B1；
（2）连接AA1、BB1，AA1与BB1的关系是　平行且相等　 ；
（3）若每个小正方形边长为1，线段AB扫过的面积是　11　 ．
【解答】解：（1）由题意得，线段AB向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到线段A1B1，
如图，线段A1B1即为所求．
（2）由平移得，AA1与BB1的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
（3）线段AB扫过的面积是4×511．
故答案为：11．
9．综合与实践：【问题情境】：在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线a∥b，将直角三角尺ABC的直角顶点放在直线b上，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
（1）【数学理解】：在图1中，若∠1＝42°，则∠2的度数为　48°　 ；
（2）【深入探究】：如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并改变∠2的位置，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由；
（3）【拓展应用】：缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，你能发现∠1与∠2有怎样的数量关系？请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠1＝42°，∠BCA＝90°，
∴∠3＝180°﹣∠BCA﹣∠1＝180°﹣90°﹣42°＝48°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝48°（两直线平行，同位角相等），
故答案为：48°；
（2）理由如下：过点B作BD∥a．如图所示：
则∠2+∠ABD＝180°，
∵a∥b，
∴b∥BD，
∴∠1＝∠DBC（两直线平行，内错角相等），∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣∠1，
∴∠2+60°﹣∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1＝180°﹣60°＝120°；
（3）∠1＝∠2，理由如下：过点C作CP∥a，如图所示：
∵AC平分∠BAM，
∴∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°，
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝78°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝24°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝12°，
故答案为：12．
13．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 　70　 °．
【解答】解：由折叠的性质可得：∠BED＝∠B′ED，
∵∠BED+∠B′ED＝180°，
∴∠BED＝∠B′ED＝90°，
∴∠EDF+∠B′ED＝180°，
∴AB∥DF，
∴∠CFD＝∠A＝70°，
故答案为：70．
14．如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　13　 ．
【解答】解：连接BE，
由条件可知：EA＝EB，
∵△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC≥BC+AC，
∴当点E在边BC上时，△AEC的周长最小为BC+AC，
∵AC＝5，BC＝8，
∴△AEC周长的最小值为13；
故答案为：13．
15．如图，线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O．连接OB，OC，若∠BOC＝86°，则∠1＝ 　43　 °．
【解答】解：连接AO并延长至M，直线AC与m交于点N，
∵线段AB，AC的垂直平分线m，n相交于点O，
∴OA＝OC＝OB，∠1+∠ONA＝90°，∠A+∠ONA＝90°，
∴∠1＝∠A，∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠MOB＝2∠OAB，∠MOC＝2∠OAC，
∵∠BOC＝∠MOB+∠MOC＝86°，∠A＝∠OAB+∠OAC，
∴，
∴∠1＝∠A＝43°，
故答案为：43．
16．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交边AC于点D，若△ABD的周长为21，AB＝8，则AC＝ 　13　 ．
【解答】解：由条件可知BD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，
∵已知△ABD的周长为21，AB＝8，
∴AC＝21﹣8＝13，
故答案为：13．
17．将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式进行折叠，EF，FG为折痕，点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C′，点B′在FG上，点C′在AD上，若∠AEF＝103°，则∠FGC′的度数是（　　）
A．54° B．64° C．66° D．74°
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠C＝90°，
∵∠AEF＝103°，
∴∠BFE＝180°﹣∠AEF＝77°，
由折叠得∠B′FE＝∠BFE＝77°，
∵点B′在FG上，
∴∠BFG＝∠BFB′＝2∠BFE＝154°，
∴∠FGC′＝FGC＝∠BFG﹣∠C＝154°﹣90°＝64°，
故选：B．
18．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM，PN．若∠APB＝α，求∠MPN．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴EM＝EO，FN＝FO，
∴C△OEF＝OE+OF+EF＝EM+FN+EF＝MN．
又∵MN＝6cm，
∴C△OEF＝6cm．
（2）连接OP，
∵点M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，
∴PA垂直平分MO，PB垂直平分ON，
∴∠MPA＝∠OPA，∠NPF＝∠OPB，
∴∠MPN＝2∠OPA+2∠OPB＝2∠APB＝2α．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 　2.4　 ．
【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称，
∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， AC BC AB CH，
∴CH＝2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值为2.4．
故答案为：2.4．
20．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
21．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E．
（1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数．
（2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度．
①请用含x的代数式表示y，则y＝　180°﹣2x ．
②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值．
【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC，
∴∠AMN+∠MNB＝180°，
又∵∠AMN＝110°，
∴∠MNB＝70°，
由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°，
∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ，
在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE，
∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°，
∴∠GMD＝∠ENQ，
设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度，
在△NEQ中，2x+y＝180°，
∴y＝180°﹣2x，
故答案为：y＝180°﹣2x；
②由①知，∠GMD＝∠ENQ，
∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB，
由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°，
∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°，
∴∠GMD＝36°，
即x＝36°，
由①知，y＝180°﹣2x
∴y＝180°﹣2×36°＝108°．
22．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE交AC于点F，则∠AFE＝　90　 °．
【解答】解：将△ABC绕点A逆时针旋转40°，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE＝40°，∠E＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°＝∠E，
∴∠AFE＝180°﹣50°﹣40°＝90°，
故答案为：90．
24．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是　70°　 ．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴根据旋转的性质可得，∠DCE＝∠ACB＝30°，AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠E（180°﹣90°）＝45°．
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝∠DCE+∠E＝25°+45°＝70°，
即∠ADC的度数为70°．
故答案为：70°．
25．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，且边AB与AD重合，将△ADE绕点A以每秒6°顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 　5或35　 秒时，DE∥AC．
【解答】解：当DE在AC上方时，如图，
∵DE∥AC，
∴∠ADE+∠DAC＝180°．
∵∠ADE＝90°，
∴∠DAC＝90°．
∵∠C＝∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，
此时旋转了30°÷6°＝5（秒）；
当DE在AC下方时，如图，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝90°．
∵∠C＝∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴旋转角度为120°+90°＝210°，
此时旋转了210°÷6°＝35（秒）．
综上所述，在旋转的过程中，第5或35秒时，DE∥AC．
故答案为：5或35．
26．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在边BC上．若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为　48°　 ．
【解答】解：如图，
∵DE⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∵∠CAD＝24°，
∴∠ADE＝180°﹣∠CAD﹣∠AFD＝180°﹣24°﹣90°＝66°，
∵旋转，
∴∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝66°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ABD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
即旋转角α的度数是48°．
故答案为：48°．
27．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　57°　 ．
【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，
∴CO＝AO，
由旋转角为38°，
可得∠AOC＝∠BOD＝38°，
∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝71°，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD＝14°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝52°，
在△AOB中，由内角和定理得∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣71°﹣52°＝57°．
答：∠B的度数为57°．
28．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△A′CB′，若AC⊥A′B′，连接AA′，则∠AA′B′度数为 　20°　 ．
【解答】解：由旋转可知：∠ACA′＝40°，CA＝CA'，
∵AC⊥A′B′于点D，
∴直角△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°．
∵CA＝CA'，
∴∠CAA'＝∠CA'A（180°﹣∠ACA′）（180°﹣40°）＝70°，
∴∠AA'B＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°．
29．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转95°，得到△EBD，若点E恰好落在AD的延长线上，则∠CAD＝　85　 °．
【解答】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转95°，
∴∠ABE＝95°，AB＝BE，∠CAB＝∠E，
∵AB＝BE，
∴∠E＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAB＝∠BAE+∠E＝180°﹣∠ABE
＝180°﹣95°
＝85°，
故答案为：85．
30．如图，在△ABC中，∠B＝30°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置．
（1）如图1，当AB'⊥BC时，求∠BAB′的度数；
（2）如图2，连接CC'，当CC′∥AB时，∠C'AB＝130°，求∠ACB的度数．
【解答】解：（1）如图1，设AB′⊥BC于点F，则∠AFB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAB′＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAB′的度数是60°．
（2）如图2，∵CC′∥AB，∠C'AB＝130°，
∴∠AC′C＝180°﹣∠C′AB＝180°﹣130°＝50°，
由旋转得AC′＝AC，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝50°，
∴∠BAC＝∠ACC′＝50°，
∵∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∴∠ACB的度数是100°．
31．如图，将△ABC绕点O按逆时针旋转得到△DEF，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质．
【解答】解：性质1：△ABC≌△DEF；
性质2：OA＝OD；
性质3：∠AOD＝∠COF．
32．如图，正方形ABCD中，点E是线段CD延长线上一点，连接AE，AB＝m，DE＝n．
（1）将线段AE沿着射线AB方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段AE扫过的平面部分的面积为m2 ．
（2）将三角形ADE绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角．
【解答】解：（1）线段AE扫过的平面部分的面积为：AD AB＝m2，
故答案为：m2；
（2）①如图，旋转中心：AD边的中点O，顺时针旋转180°；
②如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转90°；
③如图，旋转中心：点D，顺时针旋转270°；
④如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转180°．
33．光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
（1）如图②，已知：入射光线AO，反射光线OB．求作：法线OP．
（2）如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【解答】解：（1）如图②，作∠AOB 的角平分线OP，
则OP为法线．
（2）如图③，取点A关于平面镜所在直线的对称点C，连接BC交平面镜于点O，
则点O为入射点．
34．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ．
（1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　25°　 ；
（2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由；
（3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数．
【解答】解：（1）∵MN∥PQ，∠BAQ＝25°，
∴∠BDN＝∠BAQ＝25°（两直线平行，同位角相等），
故答案为：25°；
（2）DE平分∠MDF，理由如下：
∵FE平分∠DFP，∠DFE＝60°，
∴∠DFP＝2∠DFE＝120°，
∵MN∥PQ，
∴∠NDF＝∠DFP＝120°（两直线平行，内错角相等），
∵∠EDF＝30°，
∴∠MDE＝180°﹣∠EDF﹣∠NDF，
∴∠MDE＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠MDE＝∠EDF，
即DE平分∠MDF．
（3）根据题意，分四种情况：
①如图1，当AB∥DF时，
∠DFA＝180°﹣∠A＝90°；
②如图2，当AB∥DE时，
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