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高三数学
（本试卷共150分　考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x||2x+1|≤7}，B={x|x≤5，x∈N}，则A∩B=
A.{1，2，3} B.{-1，0，1，2}
C.{1，2，3，4} D.{0，1，2，3}
2.已知是复数z的共轭复数，若(1-2i)=2-i，则z+=
A. B.－ C. D.－
3.函数g(x)的图象与函数f(x)=2sin2x-的图象关于直线x=对称，则g=
A.-1 B.1 C. D.-
4.98除(100-1)100的余数是
A.1 B.9 C.3 D.6
5.函数f(x)=x(1+cos x)的部分图象大致是
6.2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星.假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为p，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为q，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件.在有4颗卫星稳定运行(成功入轨后)的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，PA=3，AB=1，AC=2，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥A-DEF的外接球的表面积为
A. B. C. D.3π
8.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F，过点P(0，2b)的直线l与直线PF垂直，且与椭圆C相切，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知α为锐角，若sin2α=2cos 2α-1，则
A.sin 2α= B.tan α=
C.=4 D.sinα++cosα+=
10.如图，抛物线C：y2=2px(p>0)上有一点P(x0，y0)(x0∈N，y0>0)，点P到原点O的距离为4，到准线l的距离为，过点P的直线与x轴交于点A，与抛物线C交于另一点B，且P为线段AB的中点，F是抛物线C的焦点，M是PO的中点，N是抛物线弧PO上的动点，则
A.p=2 B.∠PAO=30°
C.|NF|-|NM|≤ D.△POB的面积为4
11.已知a>0，b>0，e为自然对数的底数，若=a1-ln，则
A.ln b>a B.e>ba C.a(1+ln b)>1 D.ab>1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数f(x)=x2+x的导数为f'(x)，函数f(x)的“牛顿数列”{xn}满足xn+1=xn-(n∈N+)，若x1=1，则x3=　　　　.
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=，AA1=a，面对角线BD与截面AB1D所成的角为45°，则a=　　　　.
14.如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则·的最大值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分) 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，DD1垂直于底面，上、下底面均为正方形，AD=2，A1D1=4，DD1=2，M，N分别为A1B1，B1C1的中点.
(1)证明：BD1⊥平面BMN.
(2)求二面角C1-BM-N的余弦值.
16.(15分) 已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin(2A+B)=csin A.
(1)求证：sin C=cos .
(2)求证：c2≥2ab1+sin .
(3)若c=2，求证：S≤.
17.(15分) 已知函数f(x)=ex-1-ax.
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(2)函数f(x)在(-∞，3)上单调递减，求实数a的取值范围；
(3)若a∈(1，e]，证明函数f(x)有两个零点.
18.(17分) 已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y=x，虚轴的一个端点到渐近线的距离为.双曲线C的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴，过点M与C相切的直线l与x轴交于点P.
(1)求双曲线C的方程.
(2)若点M在x轴上方，求以线段MP为直径的圆的一般方程.
(3)过点P的直线交双曲线C于D，E两点(点D在双曲线的左支上，且不为左顶点)，G为线段PF的中点，直线GE与MF交于点H，求证：直线DH与x轴平行.
19.(17分) 在一次试验中，事件A发生的概率为p，若以x表示本次试验中事件A发生的情况，且x仅取1，0(1表示事件发生，0表示事件不发生)两个值，则这样的分布称为两点分布.在n次这样的独立重复试验中，如果每一次试验都服从两点分布，且每一次试验中目标事件成功发生的概率恒为p，以X表示需要试验的次数，那么目标事件成功发生r(X≥r)次所需要进行的试验次数会服从Pascal分布，记为X~PA(r，p).(参考极限运算：=0)
(1)某商场有两个相同且透明的抽奖箱，每个箱子里有5个球，每次抽奖就随机从两个箱子中不放回地抽出1个球，假设在箱子里的球没有被取完之前，每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，求当把一个箱子里的球全部取完时，另一个箱子里仅剩3个球的概率；
(2)求服从Pascal分布的X~PA(r，p)的分布列；
(3)若X满足X~PA2，，证明：E(X)=4.
参考答案
1.D　【解题分析】因为A={x||2x+1|≤7}={x|-4≤x≤3}，B={x|x≤5，x∈N}={0，1，2，3，4，5}，所以A∩B={0，1，2，3}.故选D.
2.C　【解题分析】由(1-2i)=2-i，得(1-2i)(1+2i)=(2-i)(1+2i)=4+3i，即=+i，所以z=-i，则z+=.故选C.
3.D　【解题分析】依题意，g=f(0)=2sin-=-.
4.A　【解题分析】(100-1)100=(98+1)100=98r=1+98r，故98除(100-1)100的余数是1.故选A.
5.B　【解题分析】因为f(-x)=-x(1+cos x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数，排除选项A；因为1+cos x≥0，当x>0时，f(x)=x(1+cos x)≥0，排除选项D；由f(x)=0知函数f(x)在x>0时的第一个零点为x=π，且f=f=<1，f=<1，由图中所标的单位长度可知，选项B正确，选项C错误.故选B.
6.A　【解题分析】设事件A为5颗卫星都成功入轨，事件B为有4颗卫星稳定运行，
在有4颗卫星稳定运行的条件下，5颗卫星都成功入轨的概率，即P(A|B)，
于是P(A|B)===.故选A.
7.B　【解题分析】设棱AB，AC，PA的中点分别为H，M，G，连接HF，MF，DG，EG，DH，EM，构造长方体DGEN-HAMF，
则长方体DGEN-HAMF外接球的表面积即为三棱锥A-DEF外接球的表面积.
依题意，HD=，HF=1，HA=，设长方体DGEN-HAMF外接球的半径为R，则(2R)2=2+12+2==，所以其外接球的表面积S=4πR2=.故选B.
8.C　【解题分析】因为P(0，2b)，F(c，0)，所以kPF==-.
设直线l与椭圆C的切点为Q(x0，y0)(x0<0，y0>0)，易知直线l的方程为+=1，其斜率为-，因为直线l过点P(0，2b)，所以=1.又因为+=1，所以=.因为直线l与直线PF垂直，所以-×=-1，解得e2==(舍去)或e2=，所以e=.故选C.
9.AC　【解题分析】由sin2α=2cos 2α-1，得=2cos 2α-1，即cos 2α=，所以sin 2α==，选项A正确；tan α=====，选项B错误；===4，选项C正确；由tan α=，可得sin α=，cos α=，所以sinα++cosα+=sinα++=cos α=×=，选项D错误.故选AC.
10.BD　【解题分析】依题意，得消去p，整理得3-14x0+16=0，解得x0=(舍去)或x0=2，所以p=7-2x0=3，选项A错误；抛物线C的方程为y2=6x，得P(2，2)，因为P为线段AB的中点，点A的纵坐标为0，所以点B的纵坐标为4，可得点B的横坐标为8，于是kPB==，所以∠PAO=30°，选项B正确；M(1，)，F，0，由题图可知，|NF|-|NM|≤|MF|==，选项C错误；A(-4，0)，S△POB=S△AOB-S△POA=|OA|×(4-2)=4，选项D正确.故选BD.
11.BCD　【解题分析】由=a1-ln，得=bln b+b=eln bln b+b>eln bln b，令f(x)=xex，则f'(x)=(x+1)ex，由f'(x)>0，得x>-1，由f'(x)<0，得x<-1，则函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，因为a>0，由>eln bln b，得>ln b，即>b，所以e>ba，选项B正确；当b∈(0，1)时，ln b<0，选项A错误；因为>b，=ab(1+ln b)，所以ab(1+ln b)>b，得a(1+ln b)>1，选项C正确；若ab≤1，则=ab(1+ln b)≤1+ln b，又>b，得b<1+ln b，即ln b-b+1>0，令g(x)=ln x-x+1，则g'(x)=-1=，由g'(x)>0，得01，则函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)=0，与ln b-b+1>0矛盾，所以ab>1，选项D正确.故选BCD.
12.　【解题分析】因为f(x)=x2+x，所以f'(x)=2x+1，则xn+1=xn-=.
因为x1=1，所以x2=，x3=.
13.2　【解题分析】如图，过点B作BP⊥AB1于点P，连接PD，B1D，BD，因为AD⊥平面ABB1A1，
所以AD⊥BP，则BP⊥平面AB1D，则∠PDB=45°.
因为BD==，BP==，所以×=，整理得a2=12，得a=2.
14.2(+1)　【解题分析】如图，建立平面直角坐标系，
设M(2cos α，2sin α)，0≤α≤π，N(2+cos β，1+sin β)，|β|≤，
则·=(2cos α，2sin α)·(2+cos β，1+sin β)
=4cos α+2sin α+2cos αcos β+2sin αsin β=2sin(α+θ)+2cos(α-β)，其中cos θ=，sin θ=.因为0≤α≤π，|β|≤，所以当α=β=-θ时，·取得最大值，最大值为2(+1).
15.【解题分析】(1)连接BD，则B=BD2+D=(2)2+22=12，
因为M是A1B1的中点，AB=A1M=2，AB∥A1M，
所以四边形ABMA1是平行四边形，则BM=AA1==2，
又D1M2=42+22=20，且B+BM2=D1M2，所以BD1⊥BM，同理BD1⊥BN.
因为BM，BN 平面BMN，BM∩BN=B，所以BD1⊥平面BMN. 5分
(2)依题意，如图，建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，0)，B(2，2，2)，C1(0，4，0)，M(4，2，0)，N(2，4，0).
=(-2，0，2)，=(-4，2，0)，=(-2，2，0).
设平面BMC1的法向量为m=(x1，y1，z1)，
则即
令x1=1，则z1=1，y1=2，所以m=(1，2，1).
设平面BMN的法向量为n=(x2，y2，z2)，
则即
令x2=1，则z2=1，y2=1，所以n=(1，1，1).
设二面角C1-BM-N的大小为θ，
则cos θ===.
所以二面角C1-BM-N的余弦值为. 13分
16.【解题分析】(1)由asin(2A+B)=csin A及A+B+C=π，
得asin(A+π-C)=csin A，
由正弦定理得=，即asin C=csin A，
所以sin(A+π-C)=sin(C-A)=sin C，
则C-A+C=π或C-A=C(舍去)，
所以2C=π+A，即C=+，
所以sin C=sin+=cos. 6分
(2)由(1)知C=+，所以cos C=cos+=-sin，
由余弦定理得cos C=≥=1-，
当且仅当a=b时，等号成立，
所以-sin≥=1-，
整理得c2≥2ab1+sin. 10分
(3)由(2)知c2sin C≥2absin C1+sin，
则c2sin C≥S1+sin，
所以S≤===，
即S≤. 15分
17.【解题分析】(1)因为f(x)=ex-1-2x，所以f(1)=-1.
因为f'(x)=ex-1-2，所以f'(1)=-1.
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(-1)=-(x-1)，即y=-x. 4分
(2)对f(x)=ex-1-ax求导，得f'(x)=ex-1-a.
当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在R上单调递增，不合题意；
当a>0时，令f'(x)=ex-1-a<0，得x<1+ln a，
所以(-∞，1+ln a)是函数f(x)的单调递减区间，
因为f(x)在(-∞，3)上单调递减，所以(-∞，3) (-∞，1+ln a)，
得3≤1+ln a，解得a≥e2，
所以实数a的取值范围是[e2，+∞). 9分
(3)令f'(x)=ex-1-a=0，得x=1+ln a，
当x∈(-∞，1+ln a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1+ln a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=1+ln a时，f(x)取得最小值，
f(x)min=f(1+ln a)=a-a(1+ln a)=-aln a.
因为a∈(1，e]，所以f(1+ln a)<0.
因为f(0)=e-1>0，所以f(x)在(-∞，1+ln a)上有唯一零点.
又f(e2)=-ae2，因为a≤e，所以-ae2≥-e3，
则f(e2)=-ae2≥e3(-1)>0，
所以f(x)在(1+ln a，+∞)上有唯一零点.
综上，函数f(x)有两个零点. 15分
18.【解题分析】(1)由渐近线的方程为y=x，得=，
由虚轴的一个端点到渐近线的距离为，不妨设一个端点为(0，b)，则=，
所以b=，a=3，
则双曲线C的方程为-=1. 5分
(2)由(1)知点F(4，0)，因为点M在C上，且MF⊥x轴，所以M4，.
设l：x=my+n，与双曲线方程-=1联立，
得(7m2-9)y2+14mny+7n2-63=0.因为直线l与双曲线C相切，
所以Δ=142m2n2-4(7m2-9)(7n2-63)=0，整理得7m2+n2-9=0　①，
又直线l：x=my+n过点M4，，得4=m+n　②，
由①②得m=，n=，所以直线l的方程为x=y+，
所以点P的坐标为，0
所以以线段MP为直径的圆的方程为x-(x-4)+(y-0)y-=0，
即x2+y2-x-y+9=0. 10分
(3)如图，
设直线DE的方程为x=ky+，D(x1，y1)，E(x2，y2)，G，0，
将x=ky+代入-=1，整理得(7k2-9)y2+ky-=0，则
得=k，得y1=，直线EG的方程为y=x-，
令x=4，得H4，，而===y1，
所以H(4，y1)，即直线DH与x轴平行. 17分
19.【解题分析】(1)因为两个箱子是相同且透明的，不妨分别设为一号箱与二号箱，记事件A为“球来自一号箱”，事件B为“球来自二号箱”，则取一次球后的结果是事件A或者事件B发生.又因为每次取出的球来自其中某个箱子的概率始终是相同的，所以P(A)=P(B)=.当一号箱中的球被全部取完时，即已经发生了5次事件A，当二号箱中还剩3个球时，即已经发生了5-3=2次事件B，因此总共做了5+2=7次独立重复试验，并且第7次一定是事件A发生，即最后一次取的球一定来自一号箱，否则最后一次取出的球来自其中某个箱子的概率将会不同.故前6次取球中发生了4次事件A，2次事件B，最后一次是事件A发生，即P=[P(A)]4·[P(B)]2·P(A)=7=.
而对于两个箱子而言，也是需要选择的，因此最终把一个箱子里的球全部取完而另一个箱子里仅剩3个球的概率为·7=. 6分
(2)不妨记“试验成功”为事件D，“试验失败”为事件F，由(1)情景可知Pascal分布所做的试验满足总共做了n(n≥r)次独立重复试验，事件D发生了r次，事件F发生了n-r次，且第n次一定是事件D发生，故P(X=n)=P(D)·[P(D)]r-1[P(F)]n-r=p·pr-1(1-p)n-r=pr(1-p)n-r，
即其分布列为
10分
(3)X~PA2，，由(2)知P(X=k)=2k-2=(k-1)k(k≥2)，E(X)=k(k-1)k，对于k(k-1)k，
设ak=k(k-1)k(n≥k≥2)，Sn=k(k-1)k，
构造Sn=k(k-1)k+1，两式作差得Sn=k(k-1)k-k(k-1)k+1=22+23+…+(n-1)n-n(n-1)n+1.
设Tn=kk+1，构造Tn=kk+2，两式作差得Tn=k-(n-1)n+1=-(n+1)n+1，
即Tn=1-2(n+1)n+1，故Sn=41-2(n+1)n+1-2n(n-1)n+1=4-4(n+1)n-n(n-1)n=4-n(n2+3n+4)，
所以当n→+∞时，Sn=4，即E(X)=4. 17分

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